| 1 $n_1 = \dfrac{n+m}{2}$ | 0.05 |
|
| 2 $n_2 = \dfrac{n-m}{2}$ | 0.05 |
|
| 3 $\Gamma = \frac{n!}{\left(\frac{n+m}{2}\right)! \left(\frac{n-m}{2}\right)!}$ | 0.20 |
|
| 4 $\Gamma \approx 2^n \sqrt{\frac{2}{\pi n}} \exp\left( - \frac{m^2}{2n}\right)$ | 0.10 |
|
| 1 $h_x = ma$ | 0.20 |
|
| 2 $\Gamma $ выражена через $h_x$: $\Gamma = 2^n \sqrt{\frac{2}{\pi n}} \exp\left( - \frac{h_x^2}{2n a^2}\right)$. | 0.20 |
|
| 3 В выражение для $S$ подставлена $\Gamma$: $S = k \ln\left( 2^n \sqrt{\frac{2}{\pi n}} \right) - \frac{k h_x^2}{2 n a^2}$ | 0.20 |
|
| 4 $\gamma = \frac{k}{2 na^2}$ | 0.20 |
|
Примечание: при повороте одного звена $h_x$ меняется на $2a$.
| 1 Используется $f(h_x) \sim \Gamma(h_x)$ | 0.20 |
|
| 2 Получено $\alpha = \dfrac{1}{2 n a^2}$ | 0.10 |
|
| 3 M1 Указано или используется $dN = dh_x/2a$ | 0.10 |
|
| 4 M1 Указано или используется $p(h_x) = \frac{1}{2^n} \Gamma(h_x)$ | 0.10 |
|
| 5 M2 Указано или используется $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{- \beta x^2} = \sqrt{\frac{\pi}{\beta}}$ | 0.10 |
|
| 6 M2 Записано условие нормировки $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} dh_x\, f(h_x) = 1$ | 0.10 |
|
| 7 Получено $A = \frac{1}{a \sqrt{2 \pi n}}$ | 0.10 |
|
Примечание: если Вы не смогли выполнить этот пункт, далее во всей задаче можете считать $\langle h_x^2\rangle = nl^2$.
| 1 Записано усреднение квадрата суммы независимых величин | 0.10 |
|
| 2 $\langle h^2 \rangle = n l^2$ | 0.10 |
|
| 3 Указано или используется, что $\langle h_x^2 \rangle = \langle h_y^2 \rangle = \langle h_z^2 \rangle$ | 0.20 |
|
| 4 $\langle h_x^2 \rangle = nl^2/3$ | 0.10 |
|
|
1
M1
Вычислен интеграл для нахождения нормировочного множителя $ A = \left(\dfrac{\beta}{\pi}\right)^{3/2} $ |
0.20 |
|
| 2 M1 Вычислен интеграл для $\langle h^2\rangle = \dfrac{3}{2 \beta}$ | 0.20 |
|
| 3 M1 Вычислен интеграл для $\langle h \rangle= \dfrac{2}{\sqrt{\pi \beta}} $ | 0.20 |
|
| 4 M1 Определено значение $\beta=\frac{3}{2 nl^2}$ | 0.10 |
|
| 5 M2 Явно указана аналогия с распределением Максвелла | 0.20 |
|
| 6 M2 Для распределения Максвелла записаны выражения для $\langle v^2 \rangle$ и $\langle v \rangle$ | 2 × 0.15 |
|
| 7 M2 Получено отношение $\langle v \rangle^2 /\langle v^2 \rangle$ или другое, позволяющее перейти от распределения Максвелла к средним для $\langle h \rangle$ | 0.20 |
|
| 8 Получен ответ $h = \sqrt{\frac{8 n}{3\pi}} l$ | 0.30 |
|
| 1 Записано выражение для потенциальной энергии звена $U = - Fl \cos \theta$ | 0.20 |
|
| 2 Записано распределение Больцмана по телесным углам | 0.20 |
|
| 3 Вычислен интеграл для определения нормировочной постоянной в распределении | 0.20 |
|
| 4 Вычислен интеграл для определения средней проекции звена | 0.30 |
|
| 5 Указано или используется, что среднее для одного звена нужно умножить на число звеньев $n$ | 0.10 |
|
|
6
$$ h = n l \left(\coth \frac{Fl}{kT} - \frac{kT}{Fl}\right)$$ |
0.20 |
|
|
7
Получено разложение при малых силах $$ h \approx \frac{nl^2}{3 kT}F $$ |
0.30 |
|
| 1 Подписаны оси | 0.10 |
|
| 2 У графика есть линейный участок при малых $F$ | 0.20 |
|
| 3 При больших $F$ длина молекулы стремится к постоянной | 0.10 |
|
| 4 Указано предельное значение $nl$ | 0.10 |
|
Примечание: если Вы не смогли сделать B1, то используйте $\langle h_x^2\rangle = nl^2$.
| 1 Записана энтропия одного звена в растянутом состоянии через $h_x',h_y',h_z'$ $S_1(\vec{h'}) = S_0 - \dfrac{3k}{2nl^2}(h_x'^2 + h_y'^2 + h_z'^2)$ | 0.20 |
|
| 2 Изменение энтропии одного звена выражено через коэффициенты растяжения по осям и проекции вектора $\vec{h}$ в нерастянутом состоянии $\Delta S_1 = - \dfrac{3k}{2nl^2}((\lambda_x^2-1)h_x^2 + (\lambda_y^2-1)h_y^2 + (\lambda_z^2-1)h_z^2)$ | 0.10 |
|
| 3 Записано изменение энтропии сетки через средние величины $\Delta S = - \dfrac{3kN}{2nl^2}((\lambda_x^2-1)\langle h_x^2 \rangle+ (\lambda_y^2-1)\langle h_y^2 \rangle + (\lambda_z^2-1)\langle h_z^2\rangle)$ | 0.20 |
|
|
4
Подставлено $\langle h_x^2\rangle = nl^2/3$: $\Delta S = -\dfrac{kN}{2}(\lambda_x^2 + \lambda_y^2 +\lambda_z^2 -3)$ или подставлено $\langle h_x^2\rangle = nl^2$: $\Delta S = -\dfrac{3kN}{2}(\lambda_x^2 + \lambda_y^2 +\lambda_z^2 -3)$ |
0.20 |
|
| 1 Указано или используется $\lambda_y = \lambda_z$ при рассмотрении поперечной деформации | 0.20 |
|
| 2 Указано или используется условие несжимаемости $\lambda_x\lambda_y\lambda_z = 1$ | 0.20 |
|
|
3
Изменение энтропии сетки выражено через $\lambda$: $\Delta S = -\dfrac{kN}{2}\left(\lambda^2 + \dfrac{2}{\lambda}-3\right)$
|
0.20 |
|
| 1 Указано или используется первое начало термодинамики $T\,dS + F\,dl = dU$ | 0.20 |
|
| 2 Получено соотношение $F = -T\left(\dfrac{\partial S}{\partial l}\right)_T$ | 0.20 |
|
| 3 Получено уравнение состояния через требуемые величины $F = \dfrac{kNT}{l_0}\left(\lambda - \dfrac{1}{\lambda^2}\right)$ | 0.20 |
|
| 4 Ошибка в знаке | -0.10 |
|
| 1 Получено разложение при $\varepsilon = \lambda - 1 \ll 1$: $F\approx \dfrac{3kNT\varepsilon}{l_0}$ | 0.20 |
|
| 2 Указано или используется $E = \dfrac{F}{S_0\varepsilon}$ | 0.10 |
|
| 3 Получено $E = 3k\nu T$ | 0.20 |
|
| 4 Концентрация цепей найдена через известные величины $\nu = \dfrac{\rho N_A}{\mu}$ | 0.20 |
|
| 5 Получено численное значение $E \approx 9\cdot 10^4~\text{Па}$ | 0.10 |
|
| 1 Записано $U_\text{терм} = C_lT$ | 0.20 |
|
| 1 Указана или используется работа на изотерме: $A = \dfrac{E\varepsilon^2V}{2}$ | 0.20 |
|
| 2 Указано или используется, что изменение $U_\text{терм}$ на изотерме равно нулю. | 0.10 |
|
| 3 Получено изменение внутренней энергии на участке подвода тепла $\Delta U_+ = - U_\text{мех}$ | 0.20 |
|
| 4 Указано или используется первое начало термодинамики $Q_+ = A_+ + \Delta U_+$ | 0.10 |
|
| 5 Указана или используется работа стержня за цикл $dA = \dfrac{ \varepsilon^2 V\,dE}{2}$ | 0.20 |
|
| 6 Использовано выражение для КПД цикла Карно | 0.20 |
|
| 7 Получено $U_\text{мех} = \dfrac{\varepsilon^2 V}{2}\left(E - T\dfrac{dE}{dT}\right)$ | 0.20 |
|
| 8 Любая ошибка в знаке | -0.20 |
|
| 1 Указано или используется $U_\text{мех} = 0$ | 0.10 |
|
| 2 Указано или используется $E - T\dfrac{dE}{dT} = 0$ | 0.10 |
|
| 3 Получено $E= E_0\dfrac{T}{T_0}$ | 0.20 |
|
| 1 Найдена произодная $\left(\dfrac{\partial F}{\partial T}\right)_l\approx \dfrac{E_0S_0}{3T_0}\left( \lambda - \dfrac{1+3\alpha T_0}{\lambda^2}\right)$ | 0.40 |
|
| 2 Найдено изменение температуры $\Delta T = \dfrac{E_0S_0l_0}{3C_l}(\lambda - 1)\left(\dfrac{\lambda +1}{2} - \dfrac{1+3\alpha T_0}{\lambda}\right)$ | 0.40 |
|
| 1 График выходит из $(1,0)$ | 0.10 |
|
| 2 Есть промежуток $[1,\lambda_0]$, в котором $\Delta T < 0$ | 0.20 |
|
| 3 График выпуклый вниз | 0.20 |
|
| 1 M1 Получено численное значение $ \lambda_0 \approx1.132$ | 0.50 |
|
| 2 M2 Получена расчётная формула | 0.30 |
|
| 3 M2 Получено численное значение $ \lambda_0 \approx1.132$ | 0.20 |
|
| 1 Получено численное значение $\Delta T_1 = -1.05\cdot10^{-3}~\text{К}$ | 0.20 |
|
| 2 Получено численное значение $\Delta T_2 = 3.00\cdot10^{-2}~\text{К}$ | 0.20 |
|