Logo
Logo

Сферические аберрации

Аберрация оптической системы --- ошибка или погрешность изображения в оптической системе, вызываемая отклонением луча от того направления, по которому он должен был бы идти в идеальной оптической системе. Аберрации можно характеризовать на основе и геометрической, и волновой оптики. В зависимости от различных параметров (координат лучей и углов падения) оптическая система может проявлять различные аберрации (и их композиции): сферическую аберрацию, кому, астигматизм и пр.
В этой задаче в рамках геометрической оптики исследуется только сферическая аберрация монохроматического света. Рассматриваются только линзы со сферическими поверхностями. Сферическая аберрация возникает из-за несовпадения фокусов для лучей света, проходящих на разных расстояниях от оптической оси.
Обратите внимание, что в части C задание состоит в доказательстве некоторых соотношений. Если вы не справитесь с этим, вы все равно можете использовать приведенные соотношения для решения частей D и E задачи.
В задаче вы должны будете проделать много вычислений. Для удобства при описании аберраций вводятся некоторые договоренности о наименованиях величин. Этих договоренностей нужно обязательно придерживаться в своем решении.
- Все величины, которые относятся к тому, что происходит ПОСЛЕ преломляющей поверхности --- штрихованные, а те, что ДО преломляющей поверхности -- нештрихованные.
- (Задним) фокусом $F'$ линзы называется точка схождения параллельного параксиального пучка лучей, падающего на собирающую линзу. Для рассеивающей линзы понятие вводится аналогично. Передний фокус $F$ линзы в этой задаче нас интересовать не будет.
- Фокальной плоскостью называется плоскость перпендикулярная оптической оси, проходящая через фокус линзы.
- Продольной сферической аберрацией $\delta s'$ называется расстояние между точкой $F'$ и точкой пересечения с оптической осью преломленного крайнего луча пучка.
- Величина сферической аберрации считается положительной, если крайние лучи сходятся дальше от линзы, чем фокус. Величина сферической аберрации считается отрицательной, если крайние лучи сходятся ближе к линзе, чем фокус. Ответы должны всегда даваться с учетом знака.
- Поперечной сферической аберрацией $\delta g'$ называется радиус кружка рассеяния, наблюдаемый в фокальной плоскости.
- Различные точки на рисунке (на линзе, луче, пересечения) обозначаются заглавными буквами. Указывая точку, выделите ее (жирный кружок).
- Различные расстояния между точками обозначаются строчными буквами. Если в решении необходимо ввести какую-то величину расстояния, помимо указания ее на рисунке, напишите ее явно рядом с рисунком, например, $OA = a$.
- Расстояние от оптической оси до произвольного рассматриваемого луча обозначается буквой $h$. Полная ширина симметричного пучка --- $2H$.
- Расстояния вдоль оптической оси от преломляющей поверхности до точек пересечения лучей с оптической осью обозначаются $s$ (для лучей до преломления) и $s'$ (после преломления). А сами точки $S$ и $S'$, соответственно. Для $s$ и $s'$ важен выбор знака. Нулем принято считать точку пересечения преломляющей поверхности и оптической оси.
В задаче рассматривается следующая поправка к параксиальной оптике, т.е. можно будет считать, что $h$ малы по сравнению с радиусами кривизны поверхностей. Но т.к. в задаче исследуются именно малые эффекты аберраций, то при получении ответов, разлагая в ряд Тейлора, необходимо удерживать соответствующие слагаемые.
Часть А. Прямые построения аберраций (0.75 балла)
В этой части задачи необходимо точно (количественно) построить ход запрашиваемых лучей в линзах в листе ответов. Для чернового построения или тренировки используйте дополнительные листы. В листе ответов должно быть окончательное построение. Крайне желательно без исправлений. Толщина лучей в листе ответов не должна превышать 1 мм.
A1  0.45 Постройте точно ход лучей в плоско-выпуклых и в плоско-вогнутой линзе. Радиусы кривизны поверхностей $R=5 см$, показатель преломления стекла $n=1.5$. Укажите точку $F'$ схождения (расхождения) параллельного параксиального пучка.
A2  0.30 Измерьте величину максимальной сферической аберрации $\delta s'$ для всех построений. Запишите результаты (в мм) в лист ответов.
Часть B. Расчет аберраций «в лоб» (3.75 балла)
Рассмотрим простейшую оптическую систему, для которой можно не громоздко рассчитать величину сферической аберрации: плоско-выпуклая тонкая линза. На плоскую сторону линзы падает пучок света, параллельный оптической оси. Для «тонкой линзы» можно пренебречь ее толщиной. Также можно считать, что точки $O$ и $H'$ (рис. 1) находятся в центре линзы. Радиус кривизны поверхности выпуклой поверхности равен $R$, показатель преломления линзы --- $n$.
B1  0.25 Чему равно фокусное расстояние $f'$ для тонкой плоско-выпуклой линзы?
B2  1.50 Для данной линзы найдите зависимость величины продольной сферической аберрации $\delta s'$ от полуширины пучка $h$. Ответ выразите через $R, n$ и $h$.
Запишите приближенное выражение для $\delta s'(h)$, разложив ответ в ряд Тейлора по степеням $h$ до $h^2$.
Постройте схематический график полученной зависимости.
B3  0.50 Найдите величину поперечной сферической аберрации $\delta g'$. Ответ выразите через $\delta s', f'$ и $h$.
Рассмотрим теперь, как выглядит распределение интенсивности в кружке рассеяния, наблюдаемого в фокальной плоскости. Пусть на плоскую сторону плоско-выпуклой линзы падает широкий пучок света.
B4  1.50 Разобьем кружок рассеяния кольцами радиусов $0.2\delta g', 0.4\delta g', 0.6\delta g', 0.8\delta g'$.
С какой доли (в \%) поперечной площади падающего пучка собираются лучи в центральный круг (радиуса $0.2\delta g'$)?
С какой доли (в \%) поперечной площади падающего пучка собираются лучи в последующие кольца (между $0.2\delta g'$ и $0.4\delta g'$ и так далее соответственно)?
Какую долю площади кружка рассеяния занимает каждое кольцо? Сведите все расчеты в таблицу в листе ответов.
Постройте схематический график зависимости интенсивности света от радиальной координаты в кружке рассеяния.
Часть C. Теория аберраций (1 балл)
Для начала рассмотрим одну сферическую поверхность, на которой будет происходить преломление (напомним, что линза --- это две преломляющие поверхности). Т.к. предметом для этой преломляющей поверхности может быть изображение, созданное другой преломляющей поверхностью, то в общем случае и предмет, и изображение могут иметь продольную аберрацию ($\delta s$ и $\delta s'$, соответственно). Исходный же предмет, реальный объект, аберрацией, конечно, не обладает.
Вашей задачей будет показать справедливость следующего соотношения (с точностью до более высоких порядков $h$):
$$
\cfrac{n'\delta s'}{s'^2}-\cfrac{n\delta s}{s^2}=-\cfrac{h^2}{2} Q^2(s)\left(\cfrac{1}{n's'}-\cfrac{1}{ns}\right),
$$
где $Q(s)=n\left(\cfrac{1}{r}-\cfrac{1}{s}\right)=n'\left(\cfrac{1}{r}-\cfrac{1}{s'}\right)=\mathrm{inv}.$
Сначала требуется получить некоторое инвариантное соотношение на геометрические параметры. Под словом «инвариантное» в данном случае понимается сохранение вида зависимости для параметров до преломления луча и после.
C1  0.30 Используя теорему синусов для треугольников $MSC$ и $MS'C$, а также закон преломления Снеллиуса, получите инвариант вида $n\cdot f(r, s, p)=n'\cdot f(r, s', p')=\mathrm{inv}$.
C2  0.10 Воспользовавшись теоремой косинусов в треугольнике $MSC$, перейдите в инварианте от величины $p$ к углу $\theta$.
Считая угол $\theta$ малым, разложите множители в виде корней в ряд Тейлора до первого слагаемого с ненулевой степенью $\theta$.
Разделите полученное приближенное значение на «$-r$» и получите приведенное значение инварианта.
Все, что описано выше, относится просто к явлению преломления. Чтобы перейти к величинам аберраций, нужна некая точка, от которой их отсчитывать. Так же как и в части B, за такую точку выберем точку схождения (исхождения) параксиальных лучей (т.е. для которых $\theta =0$). Расстояния для этих точек нужно обозначить $s_0$ и $s_0'$. Соответственно, для непараксиальных лучей можно будет учесть величины аберраций: $s=s_0+\delta s$ и $s'=s_0'+\delta s'$.
C3  0.10 Записав инвариант из пункта C2 для параксиальных лучей до и после преломления, покажите инвариантность величины $Q(s_0)$.
C4  0.10 Левая часть инварианта, полученного в С2, является функцией $f$ от $s$ и $\theta$. Найдите значение $f(s,\theta)-f(s_0,\theta)$. Считайте, что $\delta s$ и $\theta$ являются малыми параметрами.
C5  0.20 Используя результаты предыдущих пунктов, выразив малый угол $\theta$ через радиус кривизны поверхности и малую высоту $h$, получите искомое соотношение:
$$
\cfrac{n'\delta s'}{s'^2_0}-\cfrac{n\delta s}{s^2_0}=-\cfrac{h^2}{2} Q^2(s_0)\left(\cfrac{1}{n's'_0}-\cfrac{1}{ns_0}\right).
$$
Как правило оптические системы состоят включают в себя много сферических поверхностей (например, линза --- 2, примитивный микроскоп (две линзы) --- 4 и т.п.). Доказанное выше соотношение можно последовательно применить для каждой преломляющей сферической поверхности, связав в итоге аберрацию предмета и конечного изображения, не рассчитывая промежуточные аберрации.
Рассмотрим несколько преломляющих поверхностей (на рисунке 3 их две). Введем малые углы $\alpha _i=\cfrac{h_i}{s_i}$ и $\alpha_i'=\cfrac{h_i}{s_i'}$.
C6  0.20 Покажите, что аберрации предмета и изображения после $k$-й преломляющей поверхности, связаны соотношением:
$$
n_k'\, \delta s_k' \, \alpha_k'^2 - n_1\, \delta s_1\, \alpha_1^2=-\cfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{k} h_i^4\, Q^2_i(s)\, \left(\cfrac{1}{n'_{i}s'_{i}}-\cfrac{1}{n_is_i}\right).
$$
Иными словами, для вычисления суммарной аберрации нужно по всем поверхностям сложить правые части доказанного соотношения, умноженного на $h_i^2$.
Часть D. Оптимальная собирающая линза (3.5 балла)
Результаты, полученные в части С можно без вывода использовать здесь и далее.

В этой части задачи необходимо рассчитать параметры собирающей линзы, для которой минимизировалась бы сферическая аберрация для падающего параллельного пучка света.
Требуется изготовить тонкую собирающую линзу фокусным расстоянием $f'=10 см$ из стекла с показателем преломления $n=1.5$. Т.к. линзу нужно считать тонкой, то для двух преломляющих поверхностей можно считать, что $h_1=h_2=h$. Ясно, что система обладает одним оптимизационным параметром --- радиусом кривизны одной из поверхности, т.к. второй радиус однозначно определен показателем преломления и фокусным расстоянием.
D1  2.00 Найдите сферическую аберрацию $\delta s_2'$ тонкой собирающей линзы для падающего параллельного пучка света. Примените результат пункта C6 для двух преломляющих поверхностей и формулу тонкой линзы, оставив зависимость только от радиуса кривизны первой поверхности (куда падает исходный пучок света). Ответ выразите через показатель преломления $n$ и обратные величины $\rho=1/r$ и $\varphi=1/f'$.
D2  0.50 Найдите значение $\rho^*$, при котором сферическая аберрация $\delta s_2'$ минимальна. Ответ выразите через $n$ и $\varphi$.
D3  0.50 Рассчитайте значение радиусов кривизны поверхностей линзы. Нарисуйте (качественно) вашу рассчитанную линзу в листе ответов.
Линзы с заданным фокусным расстоянием могут быть изготовлены с различными радиусами кривизны поверхностей.
D4  0.50 Схематично изобразите график зависимости модуля продольной сферической аберрации $\delta s_2'$ для линз, приведенных на рисунке 4.
Часть E. Исправление аберраций дефокусировкой (3 балла)
С помощью дефокусировки (смещения плоскости наблюдения от фокальной к плоскости ближе/дальше от линзы) можно добиться уменьшения кружка рассеяния, наблюдаемого на экране.
Пусть на линзу падает широкий параллельный пучок света, и наблюдаемая продольная сферическая аберрация равна $\delta s'$.
E1  1.50 В какую сторону и на какое расстояние нужно сместить плоскость наблюдения от фокальной плоскости, чтобы кружок рассеяния был минимального размера?
E2  1.50 Постройте схематический график зависимости интенсивности света от радиальной координаты в минимальном кружке рассеяния. Для этого выполните шаги, аналогичные пункту B4.