| A1. 1 Лучи для плоско-выпуклой линзы. Точки пересечения с оптической осью находятся на расстоянии 4.82 см, 8.05 см, 9.54 см от выпуклой поверхности. (ворота +- 1 см, важен порядок лучей) | 3 × 0.03 |
|
| A1. 2 Фокус для плоско-выпуклой линзы находится на расстоянии 10 см от выпуклой поверхности линзы. (ворота +- 2 мм) | 0.03 |
|
| A1. 3 Лучи для выпукло-плоской линзы. Точки пересечения с оптической осью находятся на расстоянии 9.52 см, 10.19 см, 10.55 см от выпуклой поверхности. (ворота +- 1 см, важен порядок лучей) | 3 × 0.05 |
|
| A1. 4 Фокус для выпукло-плоской линзы находится на расстоянии 10.67 см от выпуклой поверхности. (ворота +- 2 мм) | 0.06 |
|
| A1. 5 Лучи для плоско-вогнутой линзы. Точки пересечения с оптической осью находятся на расстоянии 4.82 см, 8.05 см, 9.54 см от выпуклой поверхности. (ворота +- 1 см, важен порядок лучей) | 3 × 0.03 |
|
| A1. 6 Фокус для плоско-вогнутой линзы находится на расстоянии 10 см от вогнутой поверхности. (ворота +- 2 мм) | 0.03 |
|
|
A2. 1
Плоско-выпуклая линза $\delta s'_{\max}= -51.8~мм$
(ворота +- 7 мм) |
0.10 |
|
|
A2. 2
Выпукло-плоская линза $\delta s'_{\max}= -11.5~мм$
(ворота +- 7 мм) |
0.10 |
|
|
A2. 3
Плоско-вогнутая линза $\delta s'_{\max}= -51.8~мм$
(ворота +- 7 мм) |
0.10 |
|
| B1. 1 фокусное расстояние $f'=\cfrac{R}{n-1}$ | 0.25 |
|
|
B2. 1
Расстояние вдоль оптической оси от точки преломления до точки $S$
$$h \mathrm{ctg} \left( \mathrm{arcsin} \left(\frac{n h}{R} \right)- \mathrm{arcsin} \left(\frac{h}{R} \right) \right)$$ |
0.20 |
|
| B2. 2 Учет того, что преломление происходит в точке, смещенной на $R-\sqrt{R^2-h^2}$ | 0.20 |
|
|
B2. 3
Ответ для $\delta s'$
$$\delta s'=\cfrac{\sqrt{R^2-n^2h^2}\sqrt{R^2-h^2}+nh^2}{n\sqrt{R^2-h^2}-\sqrt{R^2-n^2h^2}}-\cfrac{nR}{n-1}+\sqrt{R^2-h^2}$$ или $$\delta s'=\frac{n \sqrt{R^2-h^2 n^2}+\sqrt{R^2-h^2}}{n^2-1}-\cfrac{nR}{n-1}+\sqrt{R^2-h^2}$$ или $$h \mathrm{ctg} \left( \mathrm{arcsin} \left(\frac{n h}{R} \right)- \mathrm{arcsin} \left(\frac{h}{R} \right) \right)-\cfrac{nR}{n-1}+\sqrt{R^2-h^2}$$ |
0.20 |
|
|
B2. 4
Разложение
$$h \mathrm{ctg} \left( \mathrm{arcsin} \left(\frac{n h}{R} \right)- \mathrm{arcsin} \left(\frac{h}{R} \right) \right) = f'-\frac{(1 - n + n^2)h^2}{2R(n-1)}$$ |
0.40 |
|
| B2. 5 Разложение $\delta s' = -\frac{h^2 n^2}{2R(n-1)}$ | 0.30 |
|
| B2. 6 Схематический график | 0.20 |
|
| B3. 1 $\delta g'=|\delta s'|\,\cfrac{h}{f'}$ | 0.30 |
|
| B3. 2 Правильный знак выражения или наличие модуля | 0.20 |
|
|
B4. 1
|
10 × 0.13 |
|
| B4. 2 Схематический график | 0.20 |
|
| C1. 1 $\cfrac{n(r-s)}{p}=\mathrm{inv}$ | 0.30 |
|
|
C2. 1
Теорема косинусов
$p^2 = r^2 + (r-s)^2 - 2 r (r-s) \cos \theta$ |
0.05 |
|
|
C2. 2
Ответ
$\cfrac{n(r-s)}{\sqrt{s^2+r(r-s)\theta^2}}=\mathrm{inv}$ $n\left(\cfrac{1}{r}-\cfrac{1}{s}\right)\left(1-\cfrac{r(r-s)\theta^2}{2s^2}\right)=\mathrm{inv}$ |
0.05 |
|
| C3. 1 $n\left(\cfrac{1}{r}-\cfrac{1}{s_0}\right)=n'\left(\cfrac{1}{r}-\cfrac{1}{s_0'}\right)=Q(s)=\mathrm{inv}$ | 0.10 |
|
|
C4. 1
$$\frac{n \delta s}{s_0^2}$$
или $$-\frac{r n \delta s}{s_0^2}$$ (если не делить на $-r$) |
0.10 |
|
| C5. 1 Доказано | 0.20 |
|
| C6. 1 Доказано | 0.20 |
|
|
D1. 1
Формула тонкой линзы
$\frac{1}{R_2}=\frac{\varphi}{n-1}+\rho$ |
0.50 |
|
|
D1. 2
Изображение после первой преломляющей поверхности
$s_2 = s'_1 = R_1 \frac{n}{n-1}$ |
0.50 |
|
|
D1. 3
Параллельные лучи падают на линзу
$s_1 = \infty$ |
0.10 |
|
|
D1. 4
Лучи собираются в фокусе
$s'_2 = -f'$ (минус потому, что для картинки из части C изображение оказывается по другую сторону преломляющей поверхности) |
0.10 |
|
|
D1. 5
Ответ
$\delta s_2'=-\cfrac{h^2}{2}\left[\cfrac{\rho^2}{\varphi}\cfrac{n+2}{n}-\rho\,\cfrac{2n+1}{n-1}+\varphi\,\cfrac{n^2}{(n-1)^2} \right]$ |
0.80 |
|
| D2. 1 $\rho^*=\cfrac{\varphi}{2}\,\cfrac{2n+1}{n-1}\,\cfrac{n}{n+2}$ | 0.50 |
|
| D3. 1 $R_1 = 5.83 см$ (выпуклая) | 0.20 |
|
| D3. 2 $R_2 = 35 см$ (выпуклая) | 0.20 |
|
| D3. 3 Картинка: 5.83 см в сторону падающих лучей | 0.10 |
|
D4. 1
|
0.50 |
|
|
E1. 1
Используется факт из части B, что
$\delta s = \frac{h^2}{\varepsilon}$ |
0.10 |
|
|
E1. 2
Координата луча в точке на расстоянии $x$ от фокуса, который до преломления идёт на расстоянии $h$ от оси
$r =\frac{1}{f}\left (xh - \frac{h^3}{\varepsilon}\right)$ |
0.40 |
|
|
E1. 3
Находим при каком $h$ при некотором фиксированном $x$ будет максимум
$h_1 = \sqrt{\frac{\varepsilon}{3}}x^{1/2}$ |
0.10 |
|
|
E1. 4
Максимальный радиус пучка в зависимости от плоскости наблюдения
$r_{\mathrm{max}}(x) = \frac{2 \varepsilon^{1/2} x^{3/2}}{3^{3/2}f}$ |
0.10 |
|
|
E1. 5
Зависимость крайнего противоположного луча от координаты
$y(x) = \frac{H}{f}(\delta s' - x)$ |
0.20 |
|
|
E1. 6
Из уравнения
$\frac{H}{f}(\delta s' - x) = \frac{2 \varepsilon^{1/2} x^{3/2}}{3^{3/2}f}$ Получаем $x = \frac{3}{4} \delta s'$ |
0.60 |
|
| E2. 1 Таблица | 1.00 |
|
| E2. 2 График | 0.50 |
|