Рассмотрим смещение ножа на $\mathrm dr$ по направлению резки. Отрез не растягивается, поэтому его относительное смещение по клину также равно $\mathrm dr$.
Запишем закон сохранения энергии для системы нож-обрез:
\[F_C\mathrm dr=Rw\mathrm dr+\mu N\mathrm dr\]Отсюда получаем:
Запишем второй закон Ньютона для клина в проекции на горизонтальную ось:
\[F_C=\mu N\cos\theta+N\sin\theta\]Комбинируя это выражение с результатом предыдущего пункта, получаем:
Построим график:
Эта зависимость имеет экстремум:
\[\cos\theta-\mu\sin\theta=0,\quad \theta=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{\mu}\approx73^{\circ}\]Минимальное значение силы $F_C$ выражается как:
\[F_C=\dfrac{Rw}{1-\dfrac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}}}\approx 1.40Rw\]
Упрощая ответ из A2, получаем:
В отсутствие трения суммарная сила, действующая на клин, направлена под углом $\theta$ к вертикали, поэтому:
Для смещения параллельно линии реза не нужно прикладывать усилие, поэтому:
Введем проекции $F_{\parallel}$ и $F_{\perp}$. По закону Кулона-Амонтона сила трения, действующая на стружку, равна $\mu N$ по модулю и направлена против скорости движения стружки относительно клина.
Запишем второй закон Ньютона:
\[F_{\perp}=N(\sin\theta+\mu\cos\theta\cos\psi)\]В проекции на перпендикулярную горизонтальную ось условие равновесия следующее:
\[F_{\parallel}=\mu N\sin\psi\]Запишем ЗСЭ, для этого приравняем мощность силы $F$ к мощности потерь энергии в системе на трение:
\[\mu N v+Rwv\cos\psi=F_{\perp} v\cos\psi+F_{\parallel} v\sin\psi\]Выразим $N$, комбинируя результаты:
\[N=\dfrac{Rw}{(\sin\theta+\mu\cos\theta\cos\psi)-\mu\cos\psi}\]Выразим $F$ как $F=\sqrt{F_{\parallel}^2+F_{\perp}^2}$:
Длина стружки остается постоянной, отсюда:
\[\dfrac{t}{\sin\varphi}=\dfrac{t_c}{\cos(\varphi-\alpha)}\]Выразим $t_c$:
Приравняем синусы углов:
\[\sin\varphi=\cos(\varphi-\alpha)=\sin(\pi/2-\varphi+\alpha)\]Отсюда:
Первое решение
Рассмотрим треугольник скоростей:
Отсюда по теореме синусов: \[\dfrac{|\vec v_2-\vec v_1|}{|\vec v_1|}=\dfrac{\cos\alpha}{\cos(\varphi-\alpha)}\]Выразим ответ:
Второе решение
Из уравнения несжимаемости металла:
\[v_1 t=v_2 t_c\]
Выразим ответ:
\[\gamma=\dfrac{\sqrt{1+\left(\dfrac{\sin\varphi}{\cos(\varphi-\alpha)}\right)^2-2\dfrac{\sin\varphi}{\cos(\varphi-\alpha)}\sin\alpha}}{\sin\varphi}=\dfrac{\sqrt{\cos^2\varphi\cos^2\alpha+\sin^2\varphi\sin^2\alpha+2\sin\varphi\sin\alpha\cos\varphi\cos\alpha+\sin^2\varphi-2\sin\varphi\sin\alpha\cos\varphi\cos\alpha-2\sin^2\varphi\sin^2\alpha}}{\sin\varphi\cos(\varphi-\alpha)}\]Путем несложных преобразований ответ упрощается до:
\[\gamma=\dfrac{\cos\alpha}{\cos(\varphi-\alpha)\sin\varphi}\]
Свяжем силу трения, действующую на отрез, с $F_C$, для этого запишем равенство горизонтальных сил, действующих на клин:
\[F_C=N(\mu\sin\alpha+\cos\alpha)\]Выразим ситу трения $F_t$:
\[F_t=\mu N=\dfrac{\mu F_C}{\mu\sin\alpha+\cos\alpha}=\dfrac{F_C\sin\beta}{\cos(\beta-\alpha)}\]Запишем закон сохранения энергии:
\[F_C\mathrm dr=Rw\mathrm dr+F_t\mathrm dr\dfrac{|v_2|}{|v_1|}+k\gamma wt\mathrm dr\]Из теоремы синусов:
\[\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{\sin\varphi}{\cos(\varphi-\alpha)}\]Комбинируя результаты, получаем:
Подставим значение $\gamma$ и пренебрежем $R$:
Найдем максимум знаменателя. Для этого приравняем к нулю производную знаменателя:
\[\cos\varphi\cos(\varphi-\alpha)-\sin\varphi\sin(\varphi-\alpha)-\dfrac{2\sin\beta\sin\varphi\cos\varphi}{\cos(\beta-\alpha)}=0\]Отсюда:
\[\cos(2\varphi-\alpha)\cos(\beta-\alpha)=\sin 2\varphi\sin\beta\]Преобразуем полученные выражения по формулам полусуммы и полуразности косинусов:
\[\dfrac{\cos(2\varphi+\beta-2\alpha)+\cos(2\varphi-\beta)}{2}=\dfrac{\cos(2\varphi-\beta)-\cos(2\varphi+\beta)}{2}\]Отсюда получим уравнение:
\[\pi-2\varphi-\beta=2\varphi+\beta-2\alpha\]Оптимальный угол:
Подставим значение $\varphi$ и определим минимально возможную силу:
Запишем закон сохранения энергии:
\[F\mathrm da=Rw\mathrm da-\mathrm d\Lambda\]Отсюда:
Самопроизвольное распространение разреза возможно при $F\le 0$.
Тогда: \[Rw\mathrm -\mathrm d\Lambda/\mathrm da\le 0\]Поверхностная плотность энергии материала:
\[\mathrm d\Lambda/\mathrm dS=\dfrac{1}{2}E\varepsilon^2w\]Выразим площадь свободной треугольной области:
\[S=ta\]Отсюда:
\[\mathrm d\Lambda/\mathrm da=\dfrac{1}{2}E\varepsilon^2wt\]Тогда: