Logo
Logo

Физика синхротрона

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Подсказки

A1  0.50 Определите величину магнитного поля $B(t)$ электромагнитов в момент, когда энергия электронов $E(t)$. Выразите ответ через $E(t)$, $T$ и физические постоянные.

H1 Для релятивистских частиц $p = \gamma m v$, $E = \gamma mc^2$.
A2  0.40 Определите при каком соотношении на $T$, $U$ и $dB/dt$ существуют равновесные электроны.

H1 Используйте факт, что $|\cos \varphi| \leqslant 1$
A3  0.50 Найдите зависимость частоты $\omega_U(t)$ от времени. Ответ выразите через $B(t)$, $n$, $R$ и физические постоянные.

H1 Связь энергии и импульса релятивистских частиц: $E = \sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$.
B1  0.50 Получите значение $\alpha$ для случая слабой фокусировки.

H1 Вам может пригодиться следующее соотношение $dL/L = dR/R$.
H2 Найдите импульс частицы на орбите с радиусом $R$ с точностью до множителя.
B2  1.50 Выразите $K$ через $\gamma$ и $\alpha$.

H1 Используйте выражение для периода через скорость и длину $T = L/v$.
H2 Покажите, что:
$$\frac{EdL}{LdE} = \alpha \frac{Edp}{pdE}.$$
B3  0.50 Отметьте при какой фокусировке существует критическая энергия. Найдите $\gamma$ у частиц с критической энергией.

H1 $\gamma \leqslant 1$.
C1  0.90 Учитывая, что начальные энергии частиц отличаются слабо, выразите $\dot \varphi$ через $K$, $\mathcal E$, $n$, $\omega_0$ и $E_0$.

H1 Скорость изменения фазы поля равна $\omega_U = n\omega_0$.
H2 У равновесной частицы фаза не меняется, поэтому если другая частица совершит оборот за время большее на $\Delta t$, то фаза этой частицы увеличится на $\omega_U \Delta t$.
C2  0.30 Выразите $\dot{\mathcal{E}}$ через $\varphi_0$, $\varphi$, $U$, $\omega_0$ и физические постоянные. Используйте тот факт, что отличие $\omega$ от $\omega_0$ достаточно мало, чтобы им можно было пренебречь в данном случае.

H1 По условию $\dot E = \frac{eU\omega_0}{2\pi}\cos\varphi$, $\dot E_0 = \frac{eU\omega_0}{2\pi}\cos\varphi_0$.
С3  0.60 Получите выражение для $\ddot\varphi$ через $K$, $E_0$, $\omega_0$, $U$, $\varphi_0$, $\varphi$, $n$ и физические постоянные. Определите, при каких $\varphi_0$ равновесная орбита устойчива (то есть изначально бесконечно малые отклонения $\varphi$ не растут со временем).

H1 Продифференцируйте ответ на C1 и подставьте результат прошлого пункта.
H2 Равновесная орбита устойчива, если при разложении до первого порядка по отклонению фазы получится уравнение колебаний: $\ddot \varphi = k\left(\varphi -\varphi_0\right)$, где $k<0$.
C4  0.50 Выразите $\dot \varphi^2$ через $K$, $E_0$, $\omega_0$, $U$, $\varphi_0$, $\varphi$, $n$, $\varphi_i$ и $\mathcal{E}_i$ и физические постоянные.

H1 Связь $\dot \varphi$ и $\mathcal E$ получена в C1.
H2 Выражение для второй производной по времени можно проинтегрировать, используя $\ddot\varphi = \frac{1}{2}\frac{d\left(\dot\varphi^2\right)}{d\varphi}$.
С5  1.80 Определите, при каких значениях $\varphi_i$ и $\mathcal E_i$ частица вовлекается в процесс ускорения, то есть в среднем она получает столько же энергии как и равновесная.

Качественно изобразите границы найденной области плоскости $(\varphi_i, \mathcal E_i)$ для $\varphi_0=0$ (резонансное ускорение) и $\varphi=\pi/4$.

H1 Заметьте, что результат прошлого пункта аналогичен выражению ЗСЭ для движения со скоростью $\dot\varphi$ в некотором потенциале $V(\varphi)$.
H2 Нарисуйте характерный вид $V(\varphi)$ для различных значений $K$.
H3 Найдите потенциальную яму и "энергию" частиц, которые могут в ней находиться.
H4 Заметьте, что для вовлечения в процесс ускорения частица должна "находиться в яме", то есть начальный $\varphi$ соответствует координате в потенциальной яме $V(\varphi)$ и начальная "энергия" недостаточна для "вылета из ямы".