A1  ^0.50 Определите величину магнитного поля $B(t)$ электромагнитов в момент, когда энергия электронов $E(t)$. Выразите ответ через $E(t)$, $T$ и физические постоянные.

Запишем второй закон Ньютона:
$$e v B = p \frac{2\pi}{T}.$$$$B = \frac{2\pi}{eT}\cdot\frac{p}{v} = \frac{2\pi}{eT}\cdot\gamma m = \frac{2\pi}{eT}\cdot\frac{E}{c^2}$$

A2  ^0.40 Определите при каком соотношении на $T$, $U$ и $dB/dt$ существуют равновесные электроны.

Выразим энергию из результата прошлого пункта и продифференцируем с учётом того, что $T = \text{const}$.
$$\frac{dE}{dt} = \frac{eTc^2}{2\pi}\cdot\frac{dB}{dt} = \frac{eU}{T}\cos\varphi$$$$\cos\varphi = \frac{T^2c^2}{2\pi U}\cdot\frac{dB}{dt}$$Косинус не превышает 1, что даёт условие на допустимые параметры синхротрона.

A3  ^0.50 Найдите зависимость частоты $\omega_U(t)$ от времени. Ответ выразите через $B(t)$, $n$, $R$ и физические постоянные.

Второй закон Ньютона аналогичен прошлым пунктам:
$$e v B = p \frac{2\pi}{T} = \frac{p \omega_U}{n}.$$Выразим $p$ и $E$:
$$p = eB\frac{vT}{2\pi} = eBR.$$$$E=\sqrt{(m_p c^2)^2 + (pc)^2}=\sqrt{(m_p c^2)^2 + (ceBR)^2}$$Связь $E$ и $B$ можно получить и аналогично прошлому пункту:
$$eB = \frac{p \omega_U}{vn} = \frac{E\omega_U}{c^2n}.$$$$\omega_U(t) = \frac{nec^2B}{E}$$Осталось только подставить значение энергии.

B1  ^0.50 Получите значение $\alpha$ для случая слабой фокусировки.

Аналогично прошлому пункту выражение для импульса на круговой орбите радиусом $R$:
$$p(R) = eB(R)R=\text{const}\cdot R^{1-\xi}.$$Тогда связь на относительные изменения:
$$\frac{dp}{p} = (1-\xi)\frac{dR}{R} = (1-\xi)\frac{dL}{L}.$$

B2  ^1.50 Выразите $K$ через $\gamma$ и $\alpha$.

Воспользуемся выражением для циклической частоты:
$$\omega = \frac{2\pi v}{L}.$$$$\frac{d\omega}{\omega} = \frac{dv}{v} - \frac{dL}{L} = \frac{dv}{v} - \alpha\frac{dp}{p}$$$$K = \frac{E}{v}\frac{dv}{dE} - \alpha\frac{E}{p}\frac{dp}{dE}$$Найдём производные и подставим.
$$\frac{vdE}{Edv} = \frac{vd\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}{dv/\sqrt{1-v^2/c^2}} = -\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\cdot \frac{d\sqrt{1-v^2/c^2}}{dv} = \frac{v^2}{c^2-v^2} = \beta^2\gamma^2 = \left(1-\frac{1}{\gamma^2}\right)\gamma^2 = \gamma^2-1$$$$\frac{p}{E}\frac{dE}{dp} = \frac{p}{\sqrt{(mc)^2+p^2}}\frac{d\sqrt{(mc)^2+p^2}}{dp} = \frac{p^2}{(mc)^2+p^2} = 1-\frac{(mc^2)^2}{E^2}=1-\frac{1}{\gamma^2}= \frac{\gamma^2-1}{\gamma^2}$$

B3  ^0.50 Отметьте при какой фокусировке существует критическая энергия. Найдите $\gamma$ у частиц с критической энергией.

Для критической ситуации имеем:
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}.$$$\gamma > 1$, поэтому для существования критической энергии необходимо $\alpha < 1$. Для слабой фокусировки это условие не выполнено.

C1  ^0.90 Учитывая, что начальные энергии частиц отличаются слабо, выразите $\dot \varphi$ через $K$, $\mathcal E$, $n$, $\omega_0$ и $E_0$.

Рассмотрим изменяется фаза частицы в отличие от равновесной за один оборот:
$$\Delta \varphi =\omega_U\left(\frac{2\pi}{\omega} - \frac{2\pi}{\omega_0}\right).$$Поделим на время этого изменения, то есть период обращения частицы равный $2\pi/\omega$.
$$\dot\varphi = \omega_U\left(1-\frac{\omega}{\omega_0}\right) = n(\omega_0 - \omega)$$Воспользуемся определением $K$ и получим:
$$\omega - \omega_0 = K\frac{\omega_0}{E_0}\mathcal E.$$

C2  ^0.30 Выразите $\dot{\mathcal{E}}$ через $\varphi_0$, $\varphi$, $U$, $\omega_0$ и физические постоянные. Используйте тот факт, что отличие $\omega$ от $\omega_0$ достаточно мало, чтобы им можно было пренебречь в данном случае.

Запишем производные $E$ и $E_0$.
$$\dot E = \frac{\omega}{2\pi} eU \cos\varphi \approx \frac{\omega_0}{2\pi} eU \cos\varphi$$$$\dot E_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} eU \cos\varphi_0$$

С3  ^0.60 Получите выражение для $\ddot\varphi$ через $K$, $E_0$, $\omega_0$, $U$, $\varphi_0$, $\varphi$, $n$ и физические постоянные. Определите, при каких $\varphi_0$ равновесная орбита устойчива (то есть изначально бесконечно малые отклонения $\varphi$ не растут со временем).

Продифференцируем $\dot \varphi$ с учётом указанных приближений.
$$\ddot\varphi=-\frac{nK\omega_0}{E_0}\dot{\mathcal E}$$

Для устойчивости разложим до первого порядка:
$$\ddot\varphi=\frac{nK\omega^2_0eU}{2\pi E_0}\sin\varphi_0 (\varphi - \varphi_0).$$

C4  ^0.50 Выразите $\dot \varphi^2$ через $K$, $E_0$, $\omega_0$, $U$, $\varphi_0$, $\varphi$, $n$, $\varphi_i$ и $\mathcal{E}_i$ и физические постоянные.

Воспользуемся результатом прошлого пункта.
$$\ddot\varphi = \frac{d\dot\varphi}{dt} = \frac{d\dot\varphi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt} =\frac{d\dot\varphi^2}{2d\varphi}$$$$d\dot\varphi^2 = -\frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\cos\varphi - \cos\varphi_0\right)d\varphi$$$$\dot\varphi^2 + \frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi - \varphi\cos\varphi_0\right) = \text{const}$$Осталось подставить начальные значения.
$$\dot\varphi_i = -\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E_i$$

С5  ^1.80 Определите, при каких значениях $\varphi_i$ и $\mathcal E_i$ частица вовлекается в процесс ускорения, то есть в среднем она получает столько же энергии как и равновесная.

Качественно изобразите границы найденной области плоскости $(\varphi_i, \mathcal E_i)$ для $\varphi_0=0$ (резонансное ускорение) и $\varphi=\pi/4$.

Воспользуемся результатом прошлого пункта:
$$\dot\varphi^2 + \frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi - \varphi\cos\varphi_0\right) = \text{const} = \left(\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E_i\right)^2+\frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi_i - \varphi_i\cos\varphi_0\right).$$Заметим, что вовлечение в ускорение равносильно ограниченности движения $\varphi$.
$$\dot\varphi^2 + V(\varphi) = \text{const} = H$$Получили задачу исследования движения в некотором "потенциале" $V$ с "энергией" $H$.
Рассмотрим случай $K>0$. Построим качественный вид $V$ для этого случая.

Красным указан максимальный уровень "энергии", при котором движение финитно (происходит в ограниченной области). При большей "энергии" $\varphi$ может расти неограниченно (движение вправо на графике).
Найдём это значение $H$. Оно определяется значением максимума $V$.
$$\frac{dV}{d\varphi} = \frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\cos\varphi-\cos\varphi_0\right)$$Максимум соответствует $\varphi = |\varphi_0|$.
$$H = \frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin|\varphi _0|- |\varphi_0|\cos\varphi_0\right)$$Тогда условие на $\varphi_i$ и $\mathcal E_i$ имеет вид:
$$\left(\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E_i\right)^2+\frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi_i - \varphi_i\cos\varphi_0\right) \leqslant \frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin|\varphi _0|- |\varphi_0|\cos\varphi_0\right).$$Стоит отметить, что при этом существует дополнительное условие на $\varphi_i$. Изначально частица должна находится в "потенциальной яме", что соответствует $\varphi_i \leqslant |\varphi_0|$.
Заметим, что при $K<0$ ситуация аналогичная, но теперь потенциал имеет максимум при $\varphi = -|\varphi_0|$. Тогда максимальная "энергия":
$$H = \frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(-\sin|\varphi _0|+ |\varphi_0|\cos\varphi_0\right).$$И аналогичное ограничение на фазу $\varphi_i \geqslant -|\varphi_0|$.
Заметим, что можно обобщить на произвольный знак $K$:
$$H = \frac{n|K|\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin|\varphi _0|- |\varphi_0|\cos\varphi_0\right).$$$$\frac{K}{|K|} \varphi_i \leqslant|\varphi_0|$$Итоговое выражение для искомой области:

Граница области:
$$\left(\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E_i\right)^2+\frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi_i - \varphi_i\cos\varphi_0\right) = \frac{n|K|\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin|\varphi _0|- |\varphi_0|\cos\varphi_0\right);$$$$\frac{K}{|K|} \varphi_i \leqslant|\varphi_0|.$$

Случай $\varphi_0 = 0$

$$\left(\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E_i\right)^2+\frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi_i - \varphi_i\right) = 0;$$$$K \varphi_i \leqslant 0.$$Несложно заметить, что при $\varphi_i \neq 0$:
$$K\left(\sin\varphi_i - \varphi_i\right) = -K\varphi_i\left(1-\frac{\sin\varphi_i}{\varphi_i}\right).$$При этом $1-\frac{\sin\varphi_i}{\varphi_i}>0$, поэтому:
$$K\left(\sin\varphi_i - \varphi_i\right) = -K\varphi_i\left(1-\frac{\sin\varphi_i}{\varphi_i}\right) > 0.$$Подставим в первое неравенство и получим:
$$\left(\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E_i\right)^2 < 0.$$Таким образом, единственная точка, удовлетворяющая условиям $(\varphi_i,\mathcal E_i) = (0,0)$.
Стоить отметить, что данный факт очевиден из рассмотрения энергетической аналогии. При $\varphi_0 = 0$ у потенциала нет минимума, есть только точка перегиба в нуле, поэтому единственный случай ограниченного движения – равновесие в нуле.

Случай $\varphi_0 = \pi/4$

$$\left(\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E_i\right)^2+\frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi_i - \frac{\varphi_i}{\sqrt 2}\right) = \frac{n|K|\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\frac{1}{\sqrt 2}- \frac{\pi}{4\sqrt 2}\right)$$$$\frac{K}{|K|} \varphi_i \leqslant\frac{\pi}{4}$$Получили два случая в зависимости от знака $K$: