|
1
Записан второй закон Ньютона: $$evB = \frac{2\pi}{T}p.$$ |
0.30 |
|
|
2
Получен ответ: $$B(t) = \frac{2\pi E(t)}{eT c^2}$$ |
0.20 |
|
|
1
Получена связь производных энергии и поля: $$\frac{dE}{dt} = \frac{eTc^2}{2\pi}\cdot\frac{dB}{dt}$$ |
0.20 |
|
| 2 Указано, что значение косинуса не превышает 1. | 0.10 |
|
|
3
Получен ответ: $$\frac{T^2c^2}{2\pi U}\cdot\frac{dB}{dt} \leqslant 1.$$ |
0.10 |
|
|
1
Из второго закона Ньютона выражен импульс: $$p = eBR.$$ |
0.10 |
|
|
2
Получено выражение для энергии: $$E=\sqrt{(m_p c^2)^2 + (ceBR)^2}.$$ |
0.20 |
|
|
3
Получен ответ: $$\omega_U(t) = \frac{necB(t)}{\sqrt{(m_p c)^2 + \left(eB(t)R\right)^2}}.$$ |
0.20 |
|
|
1
Получен вид зависимости $p(R)$: $$p(R)=\text{const}\cdot R^{1-\xi}.$$ |
0.30 |
|
|
2
Получен ответ: $$\alpha = \frac{1}{1-\xi}.$$ |
0.20 |
|
|
1
Циклическая частота записана в виде: $$\omega = \frac{2\pi v}{L}.$$ |
0.20 |
|
|
2
M1
Получено выражение для $K$ без производных по $L$: $$K = \frac{E}{v}\frac{dv}{dE} - \alpha\frac{E}{p}\frac{dp}{dE}.$$ |
0.20 |
|
|
3
M1
Вычислено: \[ \frac{dE}{dv} = \frac{\gamma mc^2}{v} \left( \gamma^2 -1 \right).\] Получено: $$\frac{vdE}{Edv} = \gamma^2-1.$$ |
0.40 |
|
|
4
M2
Получено выражение для $K$ без производных по $L$: \[ K = -\frac{E}{T} \left( \alpha \frac{L}{p} \frac{dp}{dE} + \frac{L}{pc^2} - \frac{LE}{p^2c^2} \frac{d p}{dE} \right)\] |
0.60 |
|
|
5
Получено: $$\frac{p}{E}\frac{dE}{dp} = \frac{\gamma^2-1}{\gamma^2}.$$ |
0.40 |
|
|
6
Получен ответ: $$K = \frac{1-\alpha\gamma^2}{\gamma^2-1}.$$ |
0.30 |
|
| 1 Указано, что для слабой фокусировки $\alpha>1$. | 0.10 |
|
|
2
Отмечено, что критическая энергия есть только при сильной фокусировке. Примечание: баллы ставятся только при правильной формуле для $K$. |
0.20 |
|
|
3
Получен ответ: $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}.$$ |
0.20 |
|
|
1
Получено выражение для отклонения фазы за один оборот: $$\Delta \varphi =\omega_U\left(\frac{2\pi}{\omega} - \frac{2\pi}{\omega_0}\right).$$ |
0.20 |
|
|
2
Получено выражение: $$\dot\varphi = n(\omega_0 - \omega).$$ |
0.20 |
|
|
3
Получено: $$\omega - \omega_0 = K\frac{\omega_0}{E_0}\mathcal E.$$ |
0.20 |
|
|
4
Получен ответ: $$\dot\varphi = -\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E.$$ |
0.30 |
|
|
1
Выражение для скорости изменения энергии: $$\dot E = \frac{\omega_0}{2\pi} eU \cos\varphi$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$\dot{\mathcal E} = \frac{\omega_0eU}{2\pi}\left(\cos\varphi - \cos\varphi_0\right).$$ |
0.20 |
|
|
1
Получено выражение: $$\ddot\varphi=-\frac{nK\omega_0}{E_0}\dot{\mathcal E}.$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$\ddot\varphi=-\frac{nK\omega^2_0eU}{2\pi E_0}\left(\cos\varphi - \cos\varphi_0\right).$$ |
0.20 |
|
|
3
Для малых отклонений получено: $$\ddot\varphi=\frac{nK\omega^2_0eU}{2\pi E_0}\sin\varphi_0 (\varphi - \varphi_0).$$ |
0.20 |
|
|
4
Получено условие устойчивости: $$K \sin\varphi_0 < 0.$$ |
0.10 |
|
|
1
Уравнение из прошлого пункта проинтегрировано: $$\dot\varphi^2 + \frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi - \varphi\cos\varphi_0\right) = \text{const}.$$ |
0.20 |
|
|
2
Получено начальное условие: $$\dot\varphi_i = -\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E_i$$ |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ: $$\dot\varphi^2 = \left(\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E_i\right)^2+\frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi_i - \varphi_i\cos\varphi_0\right) - \frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi - \varphi\cos\varphi_0\right) $$ |
0.20 |
|
| 1 Используется идея энергетической аналогии. | 0.30 |
|
|
2
Найдено положение локального максимума потенциала и рассмотрены все варианты знаков $K$ и $\varphi_0$: $$H = \frac{n|K|\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin|\varphi _0|- |\varphi_0|\cos\varphi_0\right).$$ |
0.30 |
|
| 3 Рассмотрен только один случай знаков $K$ и $\varphi_0$. | 0.20 |
|
|
4
Получено первое условие для $\varphi_i$ и $\mathcal E_i$ и рассмотрены все варианты знаков $K$ и $\varphi_0$: $$\left(\frac{nK\omega_0}{E_0}\mathcal E_i\right)^2+\frac{nK\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin\varphi_i - \varphi_i\cos\varphi_0\right) \leqslant \frac{n|K|\omega^2_0eU}{\pi E_0}\left(\sin|\varphi _0|- |\varphi_0|\cos\varphi_0\right).$$ |
0.30 |
|
| 5 Рассмотрен только один случай знаков $K$ и $\varphi_0$. | 0.20 |
|
|
6
Получено второе условие для $\varphi_i$ и $\mathcal E_i$ и рассмотрены все варианты знаков $K$ и $\varphi_0$: $$\frac{K}{|K|} \varphi_i \leqslant|\varphi_0|.$$ |
0.20 |
|
| 7 Рассмотрен только один случай знаков $K$ и $\varphi_0$. | 0.10 |
|
| 8 Верно изображена область для случая $\varphi_0 = 0$. | 0.20 |
|
| 9 Верно изображена область для случая $\varphi_0 = \pi/4$ и рассмотрены все варианты знаков $K$ и $\varphi_0$. | 0.50 |
|
| 10 Рассмотрен только один случай знаков $K$ и $\varphi_0$. | 0.30 |
|