Logo
Logo

Пятна на солнце

Разбалловка

A1  2,00 Вам представлена таблица экспериментальных данных $\omega(\varphi)$. Данные получены исходя из эффекта Доплера, влияющего на частоту электромагнитного излучения Солнца, регистрируемого на Земле. Определите параметры $a$ и $b$.

A1. 1 Верно пересчитаны точки 36 × 0,03
A1. 2 Точки верно нанесены на график
(две неправильных точки - 0 баллов;
не хватает более 5 точек - 0 баллов)
0,21
A1. 3 Построена прямая 0,21
A1. 4 Неправильный масштаб -0,14
A1. 5 Не подписаны оси -0,14
A1. 6 Оси оцифрованы некорректно -0,14
A1. 7 \[
a \in [2.97; 3.01] \cdot 10^{-6}~1/\text{с}
\]
0,25
A1. 8 \[
b \in [0.64; 0.70]\cdot 10^{-6}~1/\text{с}
\]
0,25
A2  0,30 Найдите границы применимости формулы, указанной выше.

A2. 1 \[
\varphi_{\text{max}} \in [40^{\circ}, 60^{\circ}]
\]
0,30
B1  0,30 Получите все составляющие магнитного поля на поверхности Солнца $B_{0,r}(\phi)$, $B_{0,\phi}(\phi)$, $B_{0,\lambda} (\phi)$. Ответы выразите через $\varphi$, $\mathfrak{M}$, $R_0$ и $\mu_0$.

B1. 1 \[
B_{0,r} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{\mathfrak{M}}{R_0^3} 2 \sin \varphi
\]
0,10
B1. 2 \[B_{0,\varphi} = -\dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{\mathfrak{M}}{R_0^3} \cos \varphi\] 0,10
B1. 3 \[B_{0,\lambda} = 0\] 0,10
B2  0,60 Получите величину магнитного поля $B_e$ на экваторе внутри Солнца у его поверхности. Ответ выразите через $\mathfrak{M}$, $\mu_0$, $R_0$, $\xi$.

B2. 1 \[2\pi R_0 H_0 B_e = \Phi_0\] 0,10
B2. 2 \[
\Phi_0 = \int B_{0,r} dS
\]
(интеграл по северному или южному полушарию)
0,10
B2. 3 \[
\Phi_0 = \frac{\mu_0 \mathfrak{M}}{R_0} \int\limits_0^{\pi/2} \sin \varphi \cos \varphi d\varphi
\]
0,10
B2. 4 \[
\Phi_0 = \frac{\mu_0 \mathfrak{M}}{2R_0}
\]
0,10
B2. 5 \[ B_e = \frac{\mu_0 \mathfrak{M}}{4\pi\xi R_0^3} \] 0,20
B3  0,10 Найдите численное значение $B_e$.

B3. 1 \[B_e = \dfrac{\Phi_0}{2\pi \xi R_0^2}=0.53~\text{мТл}\] 0,10
B4  0,60 Получите величину магнитного поля $B_\varphi(\varphi)$ внутри Солнца у его поверхности в зависимости от широты $\varphi$. Ответ выразите через $\varphi$, $B_e$.

B4. 1 Поток через поверхность от экватора до широты $\varphi_0$:
\[
\Phi(\varphi_0) = \frac{\mu_0 \mathfrak{M}}{2R_0} \sin^2 \varphi_0
\]
0,20
B4. 2 \[
\Phi(\varphi) + 2\pi R_0 \cos \varphi \, H_0 \cos^2 \varphi\, B_\phi(\varphi) = \Phi_0
\]
0,20
B4. 3 \[ B_\varphi = \frac{B_e}{\cos \varphi} \] 0,20
C1  1,70 Точно рассчитайте 30 пар точек $(\varphi, \lambda)$, через которые будет проходить магнитная линия, пронизывающая точки $\varphi=\pm 50^\circ$, $\lambda=0$ в момент времени $t=150~\text{дней}$.

C1. 1 \[
\lambda = (a-b \sin^2 \varphi)t
\]
0,20
C1. 2 Посчитаны точки $(\lambda, \varphi)$
(допускается сдвиг всех $\lambda$ так, чтобы при $\varphi = 50^{\circ}$ было $\lambda=0$)
30 × 0,05
C1. 3 Углы не берутся по модулю $2\pi$ -0,20
C2  1,00 Используя эти данные постройте в листе ответов, как будет выглядеть эта линия для земного наблюдателя.

C2. 1 \[
x = R \cdot \sin \lambda\, \cos \varphi
\]
0,10
C2. 2 \[
y = R \cdot \sin \varphi
\]
0,10
C2. 3 Проведена гладкая симметричная кривая, которая "охватывает" от $\pi$ до $2\pi$ долготы. 0,80
C2. 4 Не гладкое касание с внешней окружностью. -0,30
C2. 5 Не изображена часть линии, находящаяся на "обратной" стороне Солнца. -0,10
C3  0,30 Найдите угол $\psi (\varphi,t)$, который составляют магнитные линии с меридианом. Ответ выразите через $\varphi$, $t$, $a$, $b$.

C3. 1 \[ \psi = \arctan \left( 2bt \sin \varphi \, \cos^2 \varphi \right) \]
(с точностью до знака)
0,30
С4  0,20 Пусть внутри Солнца вблизи его поверхности магнитные линии составляют угол $\psi$ с меридианом. Найдите модуль магнитного поля $B$ в этой точке. Ответ выразите через $\psi$, $\varphi$, $B_e$.

С4. 1 \[ B = \frac{B_\phi}{\cos \psi} \] 0,10
С4. 2 \[ B = \frac{B_e}{\cos \phi \, \cos \psi} \] 0,10
D1  2,70 Используя приближение $\sin \psi \approx 1 $, найдите $B_\text{крит}$.

D1. 1 Правильная линеаризация
\[
t = \frac{\text{A}}{\sin 2\varphi}
\]
(где $t$ отсчитывается от начала 11-летнего цикла)
0,30
D1. 2 M1 $A$ находится усреднением более чем $8$ точек $t_i \sin 2\varphi_i$. 0,50
D1. 3 M2 $A$ находится из зависимости $t(\sin 2\varphi)$ по более чем 7 точкам из одного солнечного цикла. 1,00
D1. 4 M2 $A$ находится из зависимости $t(\sin 2\varphi)$ по более чем 7 точкам из более чем 4 солнечных циклов. 1,00
D1. 5 Ответ:
\[
B_{\text{крит}} = A B_e b = (15 \pm 5) \, мТл
\]
0,40
D2  0,20 Определите период солнечной активности $T_0$, т.е. время через которое магнитное поля Солнца возвращается в исходное состояние.

D2. 1 \[
T_0 \in [20; 24] \, \text{года}
\]
0,20