Pho.rs: Пятна на солнце

A1 ^2.00 Вам представлена таблица экспериментальных данных $\omega(\varphi)$. Данные получены исходя из эффекта Доплера, влияющего на частоту электромагнитного излучения Солнца, регистрируемого на Земле. Определите параметры $a$ и $b$.

1 Верно пересчитаны точки	36 × 0.03
2 Точки верно нанесены на график (две неправильных точки - 0 баллов; не хватает более 5 точек - 0 баллов)	0.21
3 Построена прямая	0.21
4 Неправильный масштаб	-0.14
5 Не подписаны оси	-0.14
6 Оси оцифрованы некорректно	-0.14
7 \[ a \in [2.97; 3.01] \cdot 10^{-6} 1/\text{с} \]	0.25
8 \[ b \in [0.64; 0.70]\cdot 10^{-6} 1/\text{с} \]	0.25

A2 ^0.30 Найдите границы применимости формулы, указанной выше.

1 \[
\varphi_{\text{max}} \in [40^{\circ}, 60^{\circ}]
\]

0.30

B1 ^0.30 Получите все составляющие магнитного поля на поверхности Солнца $B_{0,r}(\phi)$, $B_{0,\phi}(\phi)$, $B_{0,\lambda} (\phi)$. Ответы выразите через $\varphi$, $\mathfrak{M}$, $R_0$ и $\mu_0$.

1 \[ B_{0,r} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{\mathfrak{M}}{R_0^3} 2 \sin \varphi \]	0.10
2 \[B_{0,\varphi} = -\dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{\mathfrak{M}}{R_0^3} \cos \varphi\]	0.10
3 \[B_{0,\lambda} = 0\]	0.10

B2 ^0.60 Получите величину магнитного поля $B_e$ на экваторе внутри Солнца у его поверхности. Ответ выразите через $\mathfrak{M}$, $\mu_0$, $R_0$, $\xi$.

1 \[2\pi R_0 H_0 B_e = \Phi_0\]	0.10
2 \[ \Phi_0 = \int B_{0,r} dS \] (интеграл по северному или южному полушарию)	0.10
3 \[ \Phi_0 = \frac{\mu_0 \mathfrak{M}}{R_0} \int\limits_0^{\pi/2} \sin \varphi \cos \varphi d\varphi \]	0.10
4 \[ \Phi_0 = \frac{\mu_0 \mathfrak{M}}{2R_0} \]	0.10
5 \[ B_e = \frac{\mu_0 \mathfrak{M}}{4\pi\xi R_0^3} \]	0.20

B3 ^0.10 Найдите численное значение $B_e$.

1 \[B_e = \dfrac{\Phi_0}{2\pi \xi R_0^2}=0.53~\text{мТл}\]

0.10

B4 ^0.60 Получите величину магнитного поля $B_\varphi(\varphi)$ внутри Солнца у его поверхности в зависимости от широты $\varphi$. Ответ выразите через $\varphi$, $B_e$.

1 Поток через поверхность от экватора до широты $\varphi_0$: \[ \Phi(\varphi_0) = \frac{\mu_0 \mathfrak{M}}{2R_0} \sin^2 \varphi_0 \]	0.20
2 \[ \Phi(\varphi) + 2\pi R_0 \cos \varphi \, H_0 \cos^2 \varphi\, B_\phi(\varphi) = \Phi_0 \]	0.20
3 \[ B_\varphi = \frac{B_e}{\cos \varphi} \]	0.20

C1 ^1.70 Точно рассчитайте 30 пар точек $(\varphi, \lambda)$, через которые будет проходить магнитная линия, пронизывающая точки $\varphi=\pm 50^\circ$, $\lambda=0$ в момент времени $t=150~\text{дней}$.

1 \[ \lambda = (a-b \sin^2 \varphi)t \]	0.20
2 Посчитаны точки $(\lambda, \varphi)$ (допускается сдвиг всех $\lambda$ так, чтобы при $\varphi = 50^{\circ}$ было $\lambda=0$)	30 × 0.05
3 Углы не берутся по модулю $2\pi$	-0.20

C2 ^1.00 Используя эти данные постройте в листе ответов, как будет выглядеть эта линия для земного наблюдателя.

1 \[ x = R \cdot \sin \lambda\, \cos \varphi \]	0.10
2 \[ y = R \cdot \sin \varphi \]	0.10
3 Проведена гладкая симметричная кривая, которая "охватывает" от $\pi$ до $2\pi$ долготы.	0.80
4 Не гладкое касание с внешней окружностью.	-0.30
5 Не изображена часть линии, находящаяся на "обратной" стороне Солнца.	-0.10

C3 ^0.30 Найдите угол $\psi (\varphi,t)$, который составляют магнитные линии с меридианом. Ответ выразите через $\varphi$, $t$, $a$, $b$.

1 \[ \psi = \arctan \left( 2bt \sin \varphi \, \cos^2 \varphi \right) \]
(с точностью до знака)

0.30

С4 ^0.20 Пусть внутри Солнца вблизи его поверхности магнитные линии составляют угол $\psi$ с меридианом. Найдите модуль магнитного поля $B$ в этой точке. Ответ выразите через $\psi$, $\varphi$, $B_e$.

1 \[ B = \frac{B_\phi}{\cos \psi} \]	0.10
2 \[ B = \frac{B_e}{\cos \phi \, \cos \psi} \]	0.10

D1 ^2.70 Используя приближение $\sin \psi \approx 1 $, найдите $B_\text{крит}$.

1 Правильная линеаризация \[ t = \frac{\text{A}}{\sin 2\varphi} \] (где $t$ отсчитывается от начала 11-летнего цикла)	0.30
2 M1 $A$ находится усреднением более чем $8$ точек $t_i \sin 2\varphi_i$.	0.50
3 M2 $A$ находится из зависимости $t(\sin 2\varphi)$ по более чем 7 точкам из одного солнечного цикла.	1.00
4 M2 $A$ находится из зависимости $t(\sin 2\varphi)$ по более чем 7 точкам из более чем 4 солнечных циклов.	1.00
5 Ответ: \[ B_{\text{крит}} = A B_e b = (15 \pm 5) \, мТл \]	0.40

D2 ^0.20 Определите период солнечной активности $T_0$, т.е. время через которое магнитное поля Солнца возвращается в исходное состояние.

1 \[
T_0 \in [20; 24] \, \text{года}
\]

0.20

Пятна на солнце

Разбалловка