1  ^?? Восстановите расположение проволоки по изображённой системе грузов и определите, чему равен радиус $R$ полуокружности.

Метод 1

 

Рассмотрим систему, состоящую из двух грузов и нити. На неё действуют три силы: сила тяжести $3m\vec{g}$, реакция опоры $\vec{N}_1$ со стороны вертикального участка и сила реакции $\vec{N}_2$ со стороны полуокружности. Линии действия сил $\vec{N}_1$ и $3m\vec{g}$ пересекаются в точке $O$. Следовательно, по теореме о трёх непараллельных силах, линия действия силы $\vec{N}_2$ также проходит через точку $O$ (см. рисунок 1). 

Сила $\vec{N}_2$ перпендикулярна касательной к окружности, поэтому направлена к её центру. Таким образом, центр полуокружности лежит на прямой, проходящей через точку приложения силы $\vec{N}_2$ и точку $O$.

Проведём через точку, соответствующую положению груза массой $2m$, касательную к окружности (перпендикуляр к $\vec{N}_2$). Обозначим через $B$ точку пересечения этой касательной с вертикальным участком проволоки (см. рисунок 2).

Полученная точка $B$ равноудалена от $2m$ и от точки излома проволоки $A$. С помощью циркуля или линейки отложим отрезок $AB$ вверх, восстановив точку $A$. Затем пересечем перпендикуляр к касательной, проведённой через точку $2m$, а также горизонтальную линию, проходящей через точку $A$ (точку соединения участков проволоки) и получим центр полуокружности. Это позволяет восстановить положение всей полуокружности.

Метод 2

 

После теоремы о трех силах можно не строить центр окружности геометрически, а записать подобие:

$$\frac{R-x}{R+y} = \frac{z}{y}$$

Численные значения длин отрезков $x$, $y$ и $z$ находятся из рисунка: $x = 3~см$, $y = 3\sqrt{5}/2~см$, $z = 1{,}5~см$. Откуда: $$R = \frac{y(x+z)}{y-z}.$$

Метод 3

 

Расставим силы и введём систему координат, как показано на рисунке 4. В ней координаты грузов $m$ и $2m$, определяемые по масштабу, соответственно равны $(0; -y_1) = (0; -3~см)$ и $(x_2; 0) = (4{,}5~см; 0)$.

Обозначим через $\alpha$ угол между нитью и вертикалью, а через $\varphi$ — угол между силой $\vec{N}_2$ и вертикалью.

Запишем условия равновесия для груза массы $m$:
\[
\vec{N}_1 + \vec{T} + m\vec{g} = 0, \tag{1}
\]
и для всей системы:
\[
\vec{N}_1 + \vec{N}_2 + 3m\vec{g} = 0. \tag{2}
\]
Из соответствующих треугольников сил (см. рисунок 5) получаем:
$$
\operatorname{tg} \varphi = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{3}.
$$

С другой стороны,
$$
\operatorname{tg} \alpha = \frac{x_2}{y_1} \Rightarrow
\operatorname{tg} \varphi = \frac{x_2}{3y_1} = \frac{4{,}5}{9} = 0{,}5.
$$Следовательно,
$$
\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}.
$$Из геометрии окружности:
$$
x_2 = R(1 - \sin \varphi),
$$откуда:

2  ^?? При каких расстояниях $h$ между изломом проволоки и грузом $m$ система может находиться в равновесии?

Сила полной реакции опоры $\vec{Q}$, действующая на кольцо, полностью компенсирует силу натяжения $\vec{T}$. При этом $\vec{Q}$ составляет угол $\beta$ с силой нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленной в центр окружности (см. рисунок 6).
Тогда условие равновесия с учётом трения имеет вид:
$$
\beta \le \beta_{cr}, \quad \beta_{cr} = \operatorname{tg} \mu.
$$

Обозначим положение груза $m$ точкой $L$, кольца — $D$. По теореме косинусов для треугольника $\triangle ODL$:
$$
OL^2 = R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \beta.
$$С учётом ограничения на угол $\beta$ получаем:
$$
2R^2 + 2R^2 \cos \beta_{cr} \le OL^2 \le 4R^2.
$$По теореме Пифагора: $$OL^2 = R^2 + h^2 \Rightarrow
R^2+ 2R^2 \cos{\beta_{cr}} \le h^2 \le 3R^2.$$ Так как
$$
\cos \beta_{cr} = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}},
$$получаем: