| Геометрический способ | ||
| 2 M1 Записаны верные формулы для векторов перемещений $\vec{s}_1$ и $\vec{s}_2$. | 1.00 |
|
|
3
M1
В решении указано или явно используется, что вектор относительного перемещения шариков равен: $$ \vec{r}_{отн} = \vec{s}_1 - \vec{s}_2 = (\vec{v}_1 - \vec{v}_2) t. $$ |
2.00 |
|
| 4 M1 Обосновано, что точка $P$ лежит на окружности с диаметром, равным расстоянию между шариками (ссылка на геометрическую теорему или логическое обоснование). | 2.00 |
|
| 5 M1 Правильно определено условие максимума времени полёта (когда $OP$ является серединным перпендикуляром к хорде). | 2.00 |
|
| 6 M1 Верно вычислено максимальное значение $OP_{\max}=(2{,}5\pm 0{,}2)~м$. | 1.00 |
|
|
7
M1
Получено выражение для времени полёта: $$ t = \sqrt{\frac{2 OP_{\max}}{g}}. $$ |
1.50 |
|
|
8
M1
Численное значение для времени полёта $$ t = (0{,}71\pm 0{,}03)~с.$$ |
0.50 |
|
| Аналитический способ | ||
| M2 Использовано скалярное произведение | ||
|
11
M2
Записаны координаты вектора $$ \vec v_1 = \begin{pmatrix} v_{1x} \\ \frac{gt}{2} \end{pmatrix}.$$ |
0.50 |
|
|
12
M2
В решении указано или явно используется, что вектор относительного перемещения шариков равен $$ \vec{r}_{отн} = \vec{s}_1 - \vec{s}_2 = (\vec{v}_1 - \vec{v}_2) t. $$ |
2.00 |
|
|
13
M2
Записаны координаты вектора $$ \vec v_2 - \vec v_1 = \begin{pmatrix} x/t \\ y/t \end{pmatrix}.$$ |
0.50 |
|
| 14 M2 Записано условие $\vec v_1 \perp \vec v_2$ через равенство нулю скалярного произведения $$\vec v_1 \cdot \vec v_2 = 0.$$ | 1.00 |
|
| 15 M2 Получено квадратное уравнение $$ v_{1x}^2 + \frac{x}{t}v_{1x} + \frac{g^2t^2}{4}+\frac{gy}{2} = 0.$$Либо аналогичное. | 1.00 |
|
| 16 M2 Указано или используется, что решение имеет смысл, когда $D > 0 $ и максимальное время соответствует $D = 0$. | 1.00 |
|
| 17 M2 Получено уравнение $$ g^2 t^4 + 2gyt^2 - x^2 = 0.$$ | 1.00 |
|
|
18
M2
Время выражено через координаты $x$ и $y$ между шариками 1 и 2: $$t^2 = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}-y}{g}.$$ Примечание. В случае, если максимизация времени $t$ выполнена верно альтернативным способом (например, с использованием производной или неравенства Коши), пункты 16 и 17 засчитываются автоматически. |
1.50 |
|
| 19 M2 Найдено горизонтальное расстояние между шариками $x \approx 10 ~ м$. | 0.50 |
|
| 20 M2 Найдено вертикальное расстояние между шариками $y \approx 7{,}6 ~ м$. | 0.50 |
|
|
21
M2
Численное значение для времени полёта $$ t = (0{,}71\pm 0{,}03)~с.$$ |
0.50 |
|
| M3 Координатный способ | ||
|
23
M3
Записаны уравнения движения для первого тела \[ \begin{cases} x_1 = -v_1 \cos\alpha\, t, \\ y_1 = v_1 \sin\alpha \,t - \frac{gt^2}{2}.\\ \tag{1} \end{cases} \] Либо аналогичные. |
2 × 0.50 |
|
|
24
M3
Записаны уравнения движения для второго тела \[ \begin{cases} x_2 = v_2 \sin\alpha\, t, \\ y_2 = v_2 \cos\alpha\,t - \frac{gt^2}{2}.\\ \tag{2} \end{cases} \] Либо аналогичные. |
2 × 0.50 |
|
|
25
M3
С учетом $y_1$ = 0, вычитая (2) из (1) , получена система уравнений $$ \begin{cases} x = (v_2 \sin \alpha +v_1 \cos\alpha)\,t,\\ y = (v_2 \cos\alpha - v_1 \sin \alpha)t. \end{cases} $$Либо аналогичная. |
2 × 0.50 |
|
|
26
M3
Используется равенство $$ \operatorname{tg} {\alpha} = \frac{x/t + u}{y/t + gt/2} = \frac{gt}{2u}, $$где $u$ = $v_1 \cos{\alpha}$. Либо аналогичное. |
1.00 |
|
| 27 M3 Получено квадратное уравнение $$ u^2 + \frac{x}{t}u + \frac{g^2t^2}{4}+\frac{gy}{2} = 0.$$Либо аналогичное. | 1.00 |
|
| 28 M3 Указано или используется, что решение имеет смысл, когда $D > 0 $ и максимальное время соответствует $D = 0$. | 1.00 |
|
| 29 M3 Получено уравнение $$ g^2 t^4 + 2gyt^2 - x^2 = 0.$$ | 1.00 |
|
|
30
M3
Время выражено через координаты $x$ и $y$ между шариками 1 и 2: $$t^2 = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}-y}{g}.$$ Примечание. В случае, если максимизация времени $t$ выполнена верно альтернативным способом (например, с использованием производной или неравенства Коши), пункты 28 и 29 засчитываются автоматически. |
1.50 |
|
| 31 M3 Найдено горизонтальное расстояние между шариками $x \approx 10 ~ м$. | 0.50 |
|
| 32 M3 Найдено вертикальное расстояние между шариками $y \approx 7{,}6 ~ м$. | 0.50 |
|
|
33
M3
Численное значение для времени полёта $$ t = (0{,}71\pm 0{,}03)~с.$$ |
0.50 |
|
| M1 Геометрический способ | ||
|
2
Найдены численные значения $AP$ и $BP$: $$ AP\approx (5{,}6\pm 0{,}5)~м,\quad BP\approx (11{,}3\pm 0{,}5)~м. $$За каждое расстояние по 0,5 балла. |
2 × 0.50 |
|
| 3 M1 Верно вычислена скорость первого шарика: $$v_1 = AP/t \approx (7,9\pm 0{,}6)~м/с.$$ | 0.50 |
|
| 4 M1 Верно вычислена скорость второго шарика: $$v_2 = BP/t \approx (16,0\pm 1{,}0)~м/с.$$ | 0.50 |
|
| M2 Аналитические способы | ||
| 6 M2 Верно вычислена скорость первого шарика: $$v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2} \approx (7{,}9\pm 0{,}6)~м/с.$$ | 1.00 |
|
| 7 M2 Верно вычислена скорость второго шарика: $$v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} \approx (16{,}0\pm 1{,}0)~м/с.$$ | 1.00 |
|