1  ^?? Найдите температуру горячей воды $T_г$ в сечении с координатой $x=0$.

Пока в смеси есть лёд, её температура $0\,^{\circ}\mathrm{C}$. Всё тепло от горячей воды идёт на плавление льда.

Далее будем рассматривать изменение всех величин вдоль оси $x$. Выделим элементарный участок трубы длиной $\Delta x$, настолько малый, что можно считать скорость движения смеси постоянной. За время $\Delta \tau$ внутри выделенного объёма масса льда изменится на:
$$
\Delta m_{л}=\mu_х \Delta \tau\,\Delta \alpha.
$$Изменение внутренней энергии горячей воды:
$$
\delta Q_2=-c\mu_г \Delta \tau\, \Delta T_г.
$$Так как теплопотерями в окружающую среду и теплоёмкостью стенок можно пренебречь и режим течения является установившимся, то изменение внутренней энергии выделенного элемента равно 0:
\[
\Delta U=0; \\
-\lambda \mu_х \Delta \alpha - c\mu_г \Delta T_г=0.\tag{1}
\]
Из выражения (1) следует, что
\[\frac{\Delta T_г}{ \Delta \alpha}=-\frac{\lambda \mu_х }{c\mu_г }=const.\tag{2}\]Отсюда следует, что
$$
T_{г}(L)-T_{г}(0)=\frac{\mu_х\lambda}{\mu_г c}\,
\bigl(\alpha(0)-\alpha(L)\bigr),
$$где $\alpha(0)=0{,}4$, $\alpha(L)=0{,}1$.

Отсюда
$$
T_{г}(0)= T_г(L)-
\frac{\mu_х\lambda}{\mu_г c}\,\bigl(\alpha(0)-\alpha(L)\bigr),
$$или:

2  ^?? Постройте график зависимости температуры $T_г(x)$ горячей воды от координаты.

3  ^?? Получите зависимость скорости $v(x)$ смеси воды и льда от координаты. Считайте, что скорость течения смеси одинакова по всему поперечному сечению.

Рассмотрим элементарный участок трубы длиной $\Delta x$. Объём смеси равен
$$
\Delta V = \Delta V_л + \Delta V_в,
$$где $\Delta V_л$ и $\Delta V_в$ — объёмы твёрдой и жидкой фаз. Тогда
$$
\Delta V = \frac{\alpha(x)\,\Delta m}{\rho_л} + \frac{\left(1 - \alpha(x)\right)\,\Delta m}{\rho_в}.
$$Плотность смеси:
$$
\rho(x) = \frac{\Delta m}{\Delta V}
= \left(\frac{\alpha(x)}{\rho_л} + \frac{1 - \alpha(x)}{\rho_в}\right)^{-1}.
$$Массовый расход постоянен:
$$
\mu = S\,\rho(x)\,v(x),
$$откуда
$$
v(x) = \frac{\mu_х}{S\,\rho(x)}
= \frac{\mu_х}{S}\left(\frac{\alpha(x)}{\rho_л} + \frac{1 - \alpha(x)}{\rho_в}\right).
$$
С учётом того, что
$$
\alpha(x) = 0{,}4 - 0{,}06x,
$$