Pho.rs: Трифилярный подвес и эллипсоид инерции

A1 ^1.70 При фиксированном $R$ проведите точные измерения периода $T(r)$. Запишите, какие значения $r$ и $z_0$ вы выбираете при сборке установки для этого пункта, и чему равно измеренное вами $R$. Постройте линеаризованный график и определите $\beta$.

__

Измерения $T(r)$ для 5 различных радиусов: оцениваются только для тех $r$, у которых каждое измерение по $\geq20$ колебаний	5 × 0.20
Линеаризованный график (например, $\mathrm{ln}T(\mathrm{ln}r)$): удобный масштаб; подписаны оси; корректно оцифрованы оси; нанесены точки (до 5 штук)	8 × 0.05
Найденная из графика $\beta$ отличается от рассчитанной по проверочной таблице на $\leq5 %$	0.10
Пересчитанная по табличке $\beta \in [-0.52; -0.48]$	0.20

A2 ^0.30 Чему равна $\alpha$? Объясните свой ответ.

__

Ответ: $\alpha=\beta$, либо $\alpha=-0.5$. Засчитывается независимо от наличия и правильности доказательства

0.20

Объяснение:
формула должна быть симметрична к замене $R\leftrightarrow r$,
либо через метод размерностей,
либо отсылка к полученной в B3 формуле $T(R, r, ...)$,
либо отсылки и объяснений нет, но B3 засчитано полностью и предыдущий критерий засчитан,
либо измерения при поменянных местами дисках.

0.10

B1 ^0.60 Введите Декартову систему координат и запишите координаты верхнего и нижнего концов одной из нитей. Выразите расстояние $L$ между ними через $R$, $r$, $z_0$, $h$, $\varphi$.

__

(Критерий засчитывается автоматом, если засчитан следующий)

Если система координат связана с верхним радиус-вектором и ось $z$ направлена вниз, то верхний конец нити:
$X=R$
$Y=0$
$Z=0$
Нижний конец нити:
$x=r\cdot \mathrm{cos}\varphi$
$y=r\cdot \mathrm{sin}\varphi$
$z=z_0-h$

6 × 0.05

Ответ: $L=\sqrt{(R-r\mathrm{cos}\varphi)^2+(r\mathrm{sin}\varphi)^2+(z_0-h)^2}$, либо применено условие $\varphi \ll 1$ и разложено до $\varphi^2$

0.30

B2 ^0.60 Нити нерастяжимы и при колебаниях всегда натянуты. Используя это, выразите $h$ через $R$, $r$, $z_0$, $\varphi$. Напоминаем, что угол $\varphi$ мал.

__

Ответ: $h=\cfrac{Rr\varphi^2}{2z_0}$ (засчитывается даже если условие $\varphi \ll 1$ применено не здесь, а ниже)

0.60

B3 ^0.80 С помощью закона сохранения энергии при крутильных колебаниях получите выражение для $T$ через $R$, $r$, $z_0$, $I$, $m$, $g$.

__

Записан ЗСЭ: $\cfrac{I(\dot\varphi)^2}{2}+mgh=const$	0.20
Ответ: $T=2\pi\sqrt{\cfrac{I}{m}\cdot \cfrac{z_0}{gRr}}$	0.60
Потерян коэффициент $2\pi$ или в ответ записана $\omega$ вместо $T$	-0.40

C1 ^0.20 С помощью рычага определите отношения $m_A/m_0$ и $m_B/m_0$ как можно точнее.

__

$m_A/m_0\in [5.7; 6.0]$	0.10
$m_B/m_0\in [8.5; 9.1]$	0.10

С2 ^3.80 Проведите точные измерения периодов колебаний гаек.

Определите $a$ и $b$.

Опишите проводимые вами измерения. Приведите их результаты, в т.ч. геометрические параметры гаек, а также предоставьте все используемые вами теоретические выкладки и расчеты. Запишите, какие значения $r$ и $z_0$ вы выбираете при сборке установки для этого пункта.

__

Измерения $T_A$ и $T_B$: оцениваются только для тех гаек, для которых каждое измерение по $\geq50$ колебаний. Пункт оценивается только если $r\approx5 \text{см}$	2 × 0.10
Измерения $T_A$ и $T_B$: $z_0$ выбрано так, что период $T>0.40 \text{с}$ для всех измерений. Пункт оценивается только если $r\approx5 \text{см}$	2 × 0.10
(Пункт засчитывается автоматом, если засчитано биквадратное уравнение) Выражение для массы гайки. Например, через сторону 6-угольника $s$: $m_\text{г}=\rho\cdot \left( \cfrac{3\sqrt{3}}{2}s^2 H - \pi a^2 H\right)$	0.20
(Пункт засчитывается автоматом, если засчитан следующий, а также если засчитано биквадратное уравнение) Момент инерции треугольника со стороной $s$ относительно центра: $I_\Delta=\cfrac{1}{12}m_\Delta s^2$, либо относительно вершины: $I_\Delta=\cfrac{5}{12}m_\Delta s^2$. Засчитывается даже без вывода.	0.30
(Пункт засчитывается автоматом, если засчитано биквадратное уравнение) Выражение для момента инерции, например: $I_A = \rho \left( \cfrac{5}{12} s^2 H \cfrac {3\sqrt{3}}{2}s^2 - \cfrac{1}{2} \pi a^2 H a^2 \right)$ Можно засчитать, если верно выражено через полученный с ошибкой момент инерции треугольника $I_\Delta$	0.70
Составлено окончательное биквадратное уравнение на $a$ или $b$, например: $a^{4} -2 \kappa a^{2}+\frac{3 \sqrt{3}}{\pi} \cdot s^{2} \left(\kappa-\frac{5}{12} s^{2}\right)=0$, где $\kappa=Rr g \left( \left(\frac{T_A}{2 \pi}\right)^{2} \cdot \frac{\frac{m_{0}}{m_A}+1}{z_{0A}}- \left( \frac{T_{0}}{2 \pi} \right) ^2 \cdot \frac{\frac{m_{0}}{m_A}}{z_{0}}\right)$	1.00
Численные ответы $a$ и $b$ отличаются от рассчитанных по проверочной таблице на $\leq5 %$	2 × 0.10
Ответ: широкие ворота $a \in [10.0; 13.0] \text{мм}$	0.20
Ответ: узкие ворота $a \in [11.0; 12.0] \text{мм}$ (если ответ попал в узкие ворота, то широкие тоже нужно засчитать)	0.30
Ответ: $b \in [0.0; 4.0] \text{мм}$	0.50

D1 ^0.40 Проведите точные измерения периодов колебаний при установке бруска с пластинами на грань с пластинами ($T_y$), а также при установке на одну из других граней ($T_x$ или $T_z$). Запишите, какие значения $r$ и $z_0$ вы выбираете при сборке установки для этого пункта.

__

Измерения $T_y$ и ($T_x$ или $T_z$): каждое измерение по $\geq50$ колебаний. Пункт оценивается только если $r\approx5 \text{см}$	2 × 0.10
Измерения $T_y$ и ($T_x$ или $T_z$): $z_0$ выбрано так, что период $T>0.40 \text{с}$ для всех измерений. Пункт оценивается только если $r\approx5 \text{см}$	2 × 0.10

D2 ^2.40 Выразите теоретически моменты инерции $I_x$, $I_y$, $I_z$ (см. рисунок выше) бруска с пластинами через его стороны $a$ и $b=с$, толщину металлической пластины $d=1.8 \text{мм}$, а также $M_\text{пл}$, $M_\text{бр}$. Получите систему уравнений, из которой можно будет найти отношение $M_\text{пл}/M_\text{бр}$.

Предоставьте все используемые вами теоретические выкладки и расчеты.

__

Указано отдельно, либо хоть раз используется, что для прямоугольника $a$x$b$ момент инерции относительно центра $I_{a\mathrm{x} b} = \cfrac{1}{12} m \left(a^2+b^2 \right)$	0.20
Выражение для $I_y$, например: $I_y = (M_\text{бр}+4M_\text{пл})\cdot \cfrac{1}{12} (a^2+c^2)$ (возможны отличия заменой $b \leftrightarrow c$)	0.80
Выражения для $I_x$ и $I_z$. Достаточно любого одного из них. Например: $I_x = M_\text{бр}\cdot \cfrac{1}{12}(b^2+c^2) + 4M_\text{пл}\cdot \left( \cfrac{1}{12}\Big(c^2+(2d)^2\Big) + \Big(\cfrac{b}{2}+d \Big) ^2 \right)$ $I_z =M_\text{бр}\cdot \cfrac{1}{12}(b^2+a^2) + 4M_\text{пл}\cdot \left( \cfrac{1}{12}\Big(a^2+(2d)^2\Big) + \Big(\cfrac{b}{2}+d \Big) ^2 \right)$ (возможны отличия заменой $b \leftrightarrow c$)	0.80
Выписана верная система уравнений для нахождения $M_\text{пл}/M_\text{бр}$, в ней учтены $I_0$ и $m_0$	0.60

D3 ^0.20 Рассчитайте величину $M_\text{пл}/M_\text{бр}$ численно.

Сделайте это двумя способами:
a) пренебрегая массой и моментом инерции диска и учитывая только брусок с пластинами;
b) учитывая диск.

Сравните результаты этих расчетов. Существенна ли потеря точности при пренебрежением диском?

__

$M_\text{пл}/M_\text{бр} \bigg\|_b \in [0.40; 1.00]$	0.10
Вычислено $M_\text{пл}/M_\text{бр} \bigg\|_a$, совпадает с рассчитанным по проверочной таблице	0.05
Вывод: отличаются существенно, пренебрегать диском нельзя	0.05

E1 ^1.00 Проведите точные измерения периода крутильных колебаний зажима. Рассчитайте отношение $\cfrac{I}{m}$. Найдите отношение $m_\text{р}/m_0$.

Предоставьте все используемые вами теоретические выкладки и расчеты. Запишите, какое значение $z_0$ вы выбираете при сборке установки для этой части.

__

Измерения $T$: каждое измерение по $\geq20$ колебаний	0.10
Измерения $T$: каждое измерение по $\geq50$ колебаний	0.10
Теор. вывод: $I\approx 3m_\text{р} R_\text{р}^2 + m_0 R^2$, где $R_\text{р}$ - расстояние от оси зажима до точек крепления распорок, а $R=r$.	0.30
Теор. выражение $m_\text{р}/m_0$ через $T$: $\cfrac{m_\text{р}}{m_0} = \cfrac{R^2-2\Big( \cfrac{T}{2\pi} \Big) ^2 \cdot \cfrac {gR^2}{z_0}}{3 \Big( \cfrac{T}{2\pi} \Big) ^2 \cdot \cfrac {gR^2}{z_0}-3R_\text{р} ^2}$	0.20
Численный ответ $m_\text{р}/m_0$ отличается от рассчитанного по проверочной таблице на $\leq5 %$	0.10
$m_\text{р}/m_0 \in [0.12; 0.20]$	0.20

E2 ^1.00 Для каждой из 6 осей в сечении $\alpha$ проведите точные измерения периода колебаний и рассчитайте величину $\cfrac{1}{\sqrt{I/m}}$.

Для каждой из осей на приведенной в листе ответов диаграмме (совпадающей с сечением $\alpha$ и нарисованной с соблюдением пропорции сторон) отложите от центра отрезок, равный $\cfrac{1}{\sqrt{I/m}}$, в обе стороны вдоль направления соответствующей оси. Обведите полученные 12 «внешних» концов отрезков единой замкнутой кривой.

__

Измерения хотя бы для 4 существенно отличающихся осей: каждое измерение по $\geq20$ колебаний	4 × 0.05
Измерения хотя бы для 4 существенно отличающихся осей: каждое измерение по $\geq50$ колебаний	4 × 0.05
Диаграмма: размечен масштаб	0.10
Диаграмма: нанесены хотя бы по 1 точке для 4 существенно отличающихся осей	4 × 0.05
Диаграмма: проведена кривая, похожа на эллипс	0.10
Если построен эллипс, то по таблице или диаграмме рассчитать отношение полуосей с помощью проверочной таблицы. Должно отклоняться от авторского на $\leq 5 %$	0.20

E3 ^1.00 Повторите аналогичные действия для осей, лежащих в плоскости $\beta$. Приведите все результаты измерений и расчеты. Постройте соответствующую диаграмму в листе ответов.

__

Измерения хотя бы для 4 существенно отличающихся осей: каждое измерение по $\geq20$ колебаний	4 × 0.05
Измерения хотя бы для 4 существенно отличающихся осей: каждое измерение по $\geq50$ колебаний	4 × 0.05
Диаграмма: размечен масштаб	0.10
Диаграмма: нанесены хотя бы по 1 точке для 4 существенно отличающихся осей	4 × 0.05
Диаграмма: проведена кривая, похожа на эллипс	0.10
Если построен эллипс, то по таблице или диаграмме рассчитать отношение полуосей с помощью проверочной таблицы. Должно отклоняться от авторского на $\leq 5 %$	0.20

E4 ^1.00 Повторите аналогичные действия для осей, лежащих в плоскости $\gamma$. Приведите все результаты измерений и расчеты. Постройте соответствующую диаграмму в листе ответов.

__

Измерения хотя бы для 4 существенно отличающихся осей: каждое измерение по $\geq20$ колебаний	4 × 0.05
Измерения хотя бы для 4 существенно отличающихся осей: каждое измерение по $\geq50$ колебаний	4 × 0.05
Диаграмма: размечен масштаб	0.10
Диаграмма: нанесены хотя бы по 1 точке для 4 существенно отличающихся осей	4 × 0.05
Диаграмма: проведена кривая, похожа на эллипс	0.10
Если построен эллипс, то по таблице или диаграмме рассчитать отношение полуосей с помощью проверочной таблицы. Должно отклоняться от авторского на $\leq 5 %$	0.20

F1 ^0.30 Запишите, какое значение $z_0$ вы выбираете при сборке установки. Измерьте и запишите $r_1$ и $r_2$ — внешний и внутренний радиусы шайбы соответственно. Рассчитайте теоретически численное значение величины $\cfrac{I}{m}$ для шайбы.

__

Формула $\cfrac{I}{m}=\cfrac{r_1^2 + r_2^2}{2}$	0.20
Численный расчет: $\cfrac{I}{m} \in [6.90; 7.04] \text{см}^2$	0.10

F2 ^0.40 Проведите точные измерения периода крутильных колебаний шайбы в воде. Рассчитайте эффективное ускорение свободного падения $g_\text{эфф}$.

__

Измерение $T$: нет измерений меньше чем по $10$ колебаний	0.20
Численный ответ $g_\text{эфф}$ отличается от рассчитанного по проверочной таблице на $\leq5 %$	0.10
$g_\text{эфф} \in [8.34; 8.74] \cfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$	0.10

F3 ^1.30 Решите теоретическую задачу. Пусть тонкая шайба с внутренним и внешним радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно колеблется в толще воды, за счет вязкого трения приводя в движение с некоторыми скоростями слои воды на глубинах от $(H-h)$ до $(H+h)$, где $H$ — глубина погружения шайбы, $h$ — условная суммарная толщина движущихся слоёв. Вязкость воды $\eta=8.9\cdot 10^{-4} \text{Па}\cdot\text{с}$, ускорение свободного падения $g=9.81 \text{м} / \text{с}^2$.

Какой момент сил вязкого трения $M$ действует на шайбу в момент, когда она вращается с угловой скоростью $\dot{\varphi}$? Выразите $M$ через $\dot{\varphi}$, $\eta$, $h$, $r_1$, $r_2$.

Выразите логарифмический декремент затухания $d$ колебаний с вязким трением через $\eta$, $h$, $r_1$, $r_2$, $m$, $T$.

__

Описана или подразумевается модель: распределение скоростей линейно от $\omega(H)=\dot\varphi$ до $\omega(H\pm h)=0$	0.20
Ответ: $M=\dot \varphi \cdot \cfrac{\eta\pi (r_2^4-r_1^4)}{h}$	0.50
Ответ: $d=\cfrac{T\eta\pi (r_2^2-r_1^2)}{hm}$ Засчитывается даже при ошибке в 2 раза из-за неучтенной воды с другой стороны шайбы	0.60

F4 ^1.00 Как вы заметили, колебания довольно быстро затухают. Пусть $\varphi(i)$ - амплитуда $i$-го колебания. Снимите зависимость $\varphi(i)$. Возможно, для этого потребуется несколько раз запускать колебания с одинаковыми начальными условиями. Постройте линеаризованный график и по нему рассчитайте логарифмический декремент затухания $d$.

__

Измерения $\varphi_i(i)$ для $\geq7$ различных $i$	0.50
Линеаризованный график (например, $\mathrm{ln}\varphi_i (i)$): удобный масштаб; подписаны оси; корректно оцифрованы оси; нанесены все измеренные точки	4 × 0.05
Найденный из графика $d$ отличается от рассчитанного по проверочной таблице на $\leq5 %$	0.10
$\cfrac{d}{\sqrt{z_0}} \in [0.14; 0.19] \cfrac{1}{\sqrt {\text{м}}}$	0.20

F5 ^0.30 Используя $d$, оцените толщину $h$ движущихся слоёв воды.

__

$h \in [0.2; 0.4] \text{мм}$

0.30

G0 ^?? Запишите, какое значение $z_0$ вы выбираете при сборке установки. Если вы не делали пункт F1, сделайте его сейчас.

G1 ^0.40 Проведите точные измерения периода крутильных колебаний шайбы над доской с магнитами. Рассчитайте эффективное ускорение свободного падения $g_\text{эфф}$.

__

Измерение $T$: нет измерений меньше чем по $10$ колебаний	0.20
Численный ответ $g_\text{эфф}$ отличается от рассчитанного по проверочной таблице на $\leq5 %$	0.10
$g_\text{эфф} \in [12;17] \cfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$	0.10

G2 ^1.00 Как и в предыдущей части, колебания затухающие. Снимите зависимость $\varphi(i)$. Возможно, для этого потребуется несколько раз запускать колебания с одинаковыми начальными условиями. Постройте линеаризованный график и по нему рассчитайте логарифмический декремент затухания $d$.

__

Измерения $\varphi_i(i)$ для $\geq7$ различных $i$	0.50
Линеаризованный график (например, $\mathrm{ln}\varphi_i (i)$): удобный масштаб; подписаны оси; корректно оцифрованы оси; нанесены все измеренные точки	4 × 0.05
Найденный из графика $d$ отличается от рассчитанного по проверочной таблице на $\leq5 %$	0.10
$\cfrac{d}{\sqrt{z_0}} \in [0.08; 0.16] \cfrac{1}{\sqrt {\text{м}}}$	0.20

G3 ^0.30 Рассчитайте численно коээфициент пропорциональности в соотношении $M_\text{маг. тр.}=k\cdot \omega$ между моментом сил магнитного трения и угловой скоростью.

__

$k \in [0.9; 1.7]\cdot 10^{-5} \cfrac{\text{кг}\cdot \text{м}^2}{\text{с}}$

0.30

Трифилярный подвес и эллипсоид инерции

Разбалловка