Эта задача посвящена исследованию коллективного взаимодействия магнитов, или частиц, обладающих магнитными моментами. О наличии в системе коллективного взаимодействия говорят в том случае, когда поведение и расположение частиц определяются их влиянием друг на друга. Одним из интересных эффектов, связанных с коллективным взаимодействием, является возникновение решётки магнитных моментов, похожей на кристаллическую решётку в твёрдом теле. Удивительно, что огромное количество независимых попарных взаимодействий в конечном счёте приводят к формированию порядка в системе.
Оборудование
В предлагаемом эксперименте вы пронаблюдаете формирование плоской решётки на поверхности воды. Магнитные моменты в такой решётке ориентированы перпендикулярно её плоскости. Для вашего удобства каждый магнитик заранее помещён в центр круглой заготовки из фанеры, окрашенной с двух сторон в разные цвета, соответствующие полюсам магнитика. Вы можете складывать магнитики в стопки по два и использовать их в качестве более сильного магнита.
Поддон с водой расположен на специальном подвесе с эксцентриком. Подключение эксцентрика к источнику питания возбуждает на поверхности воды волны, которые воздействуют на кружочки из фанеры. В результате хаотичного движения кружочков формируется наиболее устойчивый к внешним воздействиям порядок магнитных моментов. Высоту волн, возникающих в поддоне с водой, можно считать мерой внешнего воздействия. При слишком больших волнах порядок разрушается, происходит “плавление” решётки.
Вынимайте кружочки из воды, когда не проводите измерения с ними! Длительное нахождение фанеры в воде приводит к её намоканию.
Далее мы дадим краткое описание содержания частей задачи.
В первой части требуется исследовать закон дисперсии поверхностных волн в жидкости для характерной высоты поддона в эксперименте. После этого вы сможете рассчитывать высоту волн в поддоне в относительных единицах.
Во второй части вы исследуете решётки, формируемые магнитиками разных размеров. В зависимости от отношения их моментов энергетически выгодная геометрия решётки может изменяться. Также вы пронаблюдаете разрушение порядка при сильных волнах: “плавление” решётки.
Третья часть представляет собой компьютерную симуляцию двух других систем с частицами, обладающими магнитными моментами. Подробное описание симуляции дано в тексте задания третьей части.
Инструкция по сборке установки
На вашем рабочем месте уже собран подвес с эксцентриком. Вам необходимо установить на него поддон, налить в поддон $1~$литр воды, одновременно контролируя "горизонтальность" установки. Для этого следите за тем, чтобы поверхность воды была параллельна дну поддона. В случае необходимости разобрать установку — сначала слейте воду с помощью шприца, а затем убирайте поддон.
Внимание! Равномерное заполнение поддона ("горизонтальность" установки) необходимо контролировать в течение всего эксперимента.
Внимание! При измерении зависимостей в этой задаче начинайте с больших токов, плавно перемещаясь к малым. В случае если вентилятор не начал вращение даже при максимальном напряжении на источнике, плавно подтолкните его лопасти с утяжелителями, не нарушая “горизонтальность” установки.
Внимание! Проверьте, что ваш подвес находится на достаточном уровне от стола, но не слишком высоко. В случае проблем с вентилятором у вас должен быть удобный доступ к нему.
Справочные данные
Закон дисперсии волн на поверхности воды в общем виде задаётся формулой: $$\omega^2=\left[gk+\dfrac{\sigma k^3}{\rho}\right]\text{th}~kh,$$ где $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ — волновой вектор; $h$ — глубина воды; $\text{th}$ — функция, называемая гиперболическим тангенсом. Можно считать, что $\text{th}~x \approx 1$, если $x\geq 1$.
После сделанного приближения можно получить выражение зависимости волнового вектора $k$ от частоты $\omega$: $$k(\omega)=\sqrt[3]{\dfrac{\rho\omega^2}{2\sigma}+\sqrt{\left(\dfrac{\rho\omega^2}{2\sigma}\right)^2+\left(\dfrac{\rho g}{3\sigma}\right)^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{\rho\omega^2}{2\sigma}-\sqrt{\left(\dfrac{\rho\omega^2}{2\sigma}\right)^2+\left(\dfrac{\rho g}{3\sigma}\right)^3}}$$
В роли эксцентрика, возбуждающего колебания подвеса, выступает кулер-вентилятор. Напряжение на нём обозначим $U$, ток через вентилятор — $I$. Не забудьте подключить к источнику пару резисторов, как написано во введении.
Для дальнейших расчётов примем следующее приближение. Энергия волн, а следовательно и их высота $h$, пропорциональна подводимой мощности, отнесённой к количеству гребней волн, составляющих квадратную сетку в поддоне с длиной стенки $L$: $$h\sim\dfrac{P}{(L/\lambda)^2}=\dfrac{P}{(kL/2\pi)^2}\sim\dfrac{P}{k^2}$$
Мы будем измерять высоту волны в таких относительных единицах, чтобы её численное значение было равно $P/k^2$. В эту формулу численное значение $P$ подставляется в $мВт$, $k$ — в $м^{-1}$.
Подайте на кулер-вентилятор максимальное напряжение от источника. В дальнейшем при измерении зависимостей двигайтесь в сторону уменьшения тока и лишь потом — в сторону увеличения. Инструкция по измерению частоты приведена ниже.
В процессе измерений следите за тем, чтобы стержни штативов оставались неподвижны и не колебались вместе с подвесом. Если вибрации штативов всё же происходят, аккуратно придержите стержень сверху.
Лазерный луч, пропущенный через поддон (см. рисунок справа), рисует замкнутую фигуру на поверхности стола. Расположите фотодиод, закреплённый в макетной плате, так чтобы “поймать” часть траектории луча для измерений. Сигнал с фотодиода обрабатывается и выводится на экран ноутбука. Для измерений необходимо пользоваться программой “oscillometer.py”, инструкция к программе приведена отдельно.
В поддоне возбуждаются стоячие волны, частота которых связана с линейными размерами поддона. Такие возбуждения называются колебательными модами системы. Ваша задача — найти не менее $4$ мод системы и определить их частоты. Для этого вы можете изменять ток через кулер, вмешиваться в колебания подвеса, изменяя их амплитуду.
Обратите внимание, что далее вы работаете с частотой $f$, которая связана с циклической частотой следующим образом: $\omega=2\pi f$
В этой части мы рассматриваем систему, состоящую из магнитиков двух разных размеров. Выданные магнитики пронумерованы в порядке увеличения своей силы (по величине диаметра). Вы можете попарно чередовать используемые размеры. В решётке одинаковые магнитики должны быть повёрнуты в одну сторону относительно поверхности воды. Авторы предлагают ориентировать более сильные магнитики синей стороной вверх, более слабые — красной. Обязательно придерживайтесь этого правила при выполнении эксперимента.
Взаимодействие магнитиков, находящихся на большом расстоянии друг от друга, можно рассматривать как взаимодействие точечных магнитных диполей. Мы начнём с рассмотрения системы двух точечных электрических диполей, имеющих дипольные моменты $d_1$ и $d_2$. Расстояние между диполями $r$ гораздо больше их собственной длины $l$: $r\gg l$.
Вам может понадобиться приближение $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$ при $x\ll 1$
Переход от энергии взаимодействия электрических диполей к энергии взаимодействия магнитных диполей осуществляется заменой электрической константы $\varepsilon_0$ на $1/\mu_0$, а дипольных моментов $d_1$ и $d_2$ на величины магнитных моментов $m_1$ и $m_2$.
Теперь перейдём непосредственно к рассмотрению плоской решётки. Расстояние между соседними узлами обозначим $a$. Пусть момент более сильного магнитика равен $m$, а более слабого $m/k$, здесь $k\geq 1$. Наиболее выгодной в энергетическом плане может являться одна из следующих геометрий решётки:
Оптимальная геометрия определяется средней энергией взаимодействия в расчёте на узел решётки. Поэтому можно ожидать, что при варьировании значения коэффициента $k$ в эксперименте система может перестроиться. В следующих пунктах вы теоретически рассчитаете, при каком $k$ происходит изменение геометрии решётки. Обратите внимание, что на рисунках 2 и 3 для каждого узла штриховкой выделена граница круглой области. Так как магнитное взаимодействие быстро спадает с увеличением расстояния, взаимодействием части решётки, расположенной вне этой области, с центральным узлом можно пренебречь.
Выражения, полученные в пунктах B5 и B7, можно рассматривать как зависимости средних энергий взаимодействия от отношения магнитных моментов $k$. Обезразмерим выражения для энергий $W_{sq}$ и $W_{tr}$, введя величины $E_1$ и $E_2$ следующим образом:
$$W_{sq}=\dfrac{\mu_0 m^2}{\pi a^3}\cdot E_1$$
$$W_{tr}=\dfrac{\mu_0 m^2}{\pi a^3}\cdot E_2$$
Далее изучим следующие зависимости:
Теория предсказывает, что при превышении $k$ некоторого критического значения устойчивая геометрия решётки перестраивается. Далее вы экспериментально оцените границу этого перехода.
Разнообразие выданных магнитиков позволяет получать различные значения коэффициента $k$. Напомним, что разрешается складывать магнитики в стопки по два. В решётке одинаковые магнитики должны быть повёрнуты в одну сторону относительно поверхности воды. Авторы предлагают ориентировать более сильные магнитики синей стороной вверх, более слабые — красной. Обязательно придерживайтесь этого правила при выполнении эксперимента.
Для измерений используйте наиболее слабую моду, найденную в пункте A5. Решётка оптимального размера содержит от 10 до 15 магнитиков.
$k$ 1.00 1.13 1.28 1.39 1.56 1.78 2.00 2.28 2.78 3.13 3.56 Красный магнитик 5 4 5 3+3 4+4 3 5 3+3 3 4 3 Синий магнитик 5 3+3 4+4 5 5+5 4 5+5 5+4 5 5+5 4+4
В этой табличке число обозначает диаметр магнитика, “+” означает, что 2 магнитика соединены в стопку.
Теперь исследуем процесс “плавления” решётки при возбуждении разных колебательных мод в поддоне. Характерными признаками начала “плавления” являются
В следующем пункте будет исследовано “плавление” квадратных решёток с $k=1$. Качественные наблюдения проведите для решётки из магнитиков $3~мм$, решётки из магнитиков $4~мм$ и решётки из магнитиков $5~мм$. Не используйте стопки из магнитиков. Ответ укажите для наиболее сильной из найденных в пункте A3 моды, наиболее слабой из найденных в пункте A3 моды и ещё для одной моды на ваш выбор.
Инструкция по работе с симуляцией приведена отдельно.
Направления координатных осей в симуляции отображаются в отдельном окошке, расположенном под основным меню с кнопками. Положение наблюдателя относительно области симуляции описывается парой углов $\varphi$ и $\theta$, как показано на рисунке. Наблюдатель находится в точке $p$, удалённой от области симуляции.
В первой симуляции моделируется взаимодействие сонаправленных магнитных моментов, расположенных в одной плоскости $Oxy$. В систему добавлено поверхностное натяжение: каждая единица площади, занимаемой магнитиками, обладает поверхностной энергией. В таких условиях решётка стремится к геометрии с максимально плотной упаковкой узлов.
На картинке выше изображены различные плоские решётки:
Вам необходимо провести симуляцию описанной системы и определить тип образовавшейся решётки магнитных моментов. Работу с симуляцией начинайте с высоких температур. Затем квазистатически (медленно) охлаждайте систему, меняя параметры в интерфейсе программы. Учтите, что для установления теплового равновесия в симуляции требуется время!
Во второй симуляции моделируется система, похожая на кристаллическую решётку антиферромагнетика. Магнитные моменты выступают аналогом спинов атомов решётки. Краткое описание понятия спина приведено далее.
Атомы любого вещества, а также их ионы обладают характеристикой, называемой спином. Магнитный момент атома $\vec{m}$ пропорционален его спину $\vec{s}$. В некоторых веществах, таких как оксид марганца(II) $MnO$ или фторид марганца(II) $MnF_2$, соседние ионы тяжёлых металлов стремятся иметь противоположно направленные спины. Такие вещества называются антиферромагнетиками. Структура антиферромагнетика на примере фторида марганца(II) с указанием направления спинов представлена на рисунке справа.
При рассмотрении спинов в антиферромагнетике возникает понятие обменного взаимодействия, тесно связанное с квантовой механикой. Выражение для энергии обменного взаимодействия в модели Гейзенберга имеет вид: $$E_0=-J\sum_{<i,j>}\left(\vec{s}_i\cdot\vec{s}_j\right)$$ где $<i,j>$ в индексе суммы означает суммирование по парам ближайших соседей. Симуляция построена на основе этой модели. Константа $J$ называется обменным интегралом, и в случае антиферромагнетиков $J<0$.
Иногда для удобства описания обменного взаимодействия вводят понятие эффективного обменного поля $\vec{h}$, имеющего магнитную природу. Энергия спина $\vec{s}$ в таком поле может быть записана как: $$E_0=-g\left(\vec{s}\cdot\vec{h}\right)$$ где $g$ — константа пропорциональности между магнитным моментом и спином иона.
В нашей симуляции “спин” может иметь всего два направления: вдоль оси $z$ и против оси $z$, поэтому система обладает выделенным направлением. Магнитные моменты, направленные вдоль оси $z$, выделены синим цветом, против оси $z$ — красным цветом. Синие и красные частицы несут на себе положительный заряд, как и ионы тяжёлых металлов в антиферромагнетике. Отрицательно заряженные частицы отмечены белым цветом. “Спины” в симуляции формируют разновидность кубической решётки.
На картинке выше изображены различные кубические решётки:
Вам необходимо провести симуляцию описанной системы и определить тип образовавшейся решётки магнитных моментов. Работу с симуляцией начинайте с высоких температур. Затем квазистатически (медленно) охлаждайте систему, меняя параметры в интерфейсе программы. Учтите, что для установления теплового равновесия в симуляции требуется время!
В процессе работы с симуляцией вы могли заметить, что рёбра решётки не параллельны осям прямоугольной декартовой системы координат $Oxyz$. Для пункта C3 установите параметр $N=5$ в симуляции.