Pho.rs: Коллективное взаимодействие

A1 ^0.50 Покажите, что в условиях эксперимента можно принять $\text{th}~kh \approx 1$. Считайте, что длина волны $\lambda$ не превосходит $10~см$.

1 Сделана оценка глубины воды в поддоне $h\approx1.9~см$	0.30
2 Проверена справедливость условия $kh\geq 1$ для диапазона $\lambda<10~см$	0.20

A2 ^0.50 Получите выражение для мощности $P$, подводимой к установке. Считайте, что мощность поступает только от источника питания.

1 $P=UI$

0.50

A3 ^4.30 Получите зависимость высоты волн $h$ в относительных единицах от частоты $f$. Измерения проводите внутри диапазона $I\in[20;60]~мА$. Снимите не менее $10$ точек.

1 Количество снятых точек $(U,I,f)$	10 × 0.10
2 Пересчёт точек в $k$ и $h$	10 × 0.10
3 Есть точка с $f<5.0~Гц$	0.50
4 Есть точка с $f>7.5~Гц$	0.50
5 Количество мод: локальных концентраций точек вблизи некоторой частоты	4 × 0.20
6 Из данных видно, что с увеличением частоты моды высота $h$ уменьшается	0.50

A4 ^0.20 Постройте график зависимости $h(f)$. Загрузите скриншот графика.

1 Подписаны оси на графике

0.20

A5 ^0.50 Укажите численное значение частоты $f_0$ среди полученных мод, при котором достигается минимум высоты волн $h$ (самая слабая мода).

1 $f_0=8.6~Гц$ или $f_0=7.9~Гц$

0.50

B1 ^0.50 Определите потенциальную энергию взаимодействия двух сонаправленных диполей (см. рис. 1а). Ответ выразите через $d_1$, $d_2$, $\varepsilon_0$ и $r$.

1 Использовано приближение точечных диполей ($l\ll r$)	0.20
2 $W=\dfrac{d_1 d_2} {4\pi\varepsilon_0 r^3}$	0.30

B2 ^0.20 Определите потенциальную энергию взаимодействия двух противоположно направленных диполей (см. рис. 1б). Ответ выразите через $d_1$, $d_2$, $\varepsilon_0$ и $r$.

1 $W=-\dfrac{d_1 d_2} {4\pi\varepsilon_0 r^3}$

0.20

B3 ^0.30 Получите выражения для потенциальных энергий взаимодействия сонаправленных и противоположно направленных магнитных диполей. Ответы выразите через $m_1$, $m_2$, $\mu_0$ и $r$.

1 $W_{\uparrow\uparrow}=\dfrac{\mu_0 m_1 m_2} {4\pi r^3}$	0.15
2 $W_{\uparrow\downarrow}=-\dfrac{\mu_0 m_1 m_2} {4\pi r^3} $	0.15

B4 ^1.00 Определите энергии взаимодействия магнитных моментов $m$ и $m/k$ с квадратной решёткой. Для расчётов пользуйтесь рисунками 2а и 2б.

1 $W_m=\dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ \dfrac {1}{8}+\dfrac{9} {16\sqrt{2}}-\dfrac{1} {k}\left(1+\dfrac{2} {5\sqrt{5}}\right) \right]\approx \dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ 0.523-\dfrac{1.179} {k}\right]$	0.50
2 $W_{m/k}=\dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ \dfrac{1} {k^2} \left(\dfrac {1}{8}+\dfrac{9} {16\sqrt{2}}\right)-\dfrac{1} {k}\left(1+\dfrac{2} {5\sqrt{5}}\right) \right]\approx \dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ \dfrac{0.523} {k^2} -\dfrac{1.179} {k}\right]$	0.50

B5 ^0.50 Найдите среднюю энергию взаимодействия в квадратной решётке $W_{sq}$ в расчёте на узел.

1 $W_{sq}=\dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ 0.261\left(1+\dfrac{1} {k^2} \right)-\dfrac{1.179} {k}\right]$

0.50

B6 ^1.00 Определите энергии взаимодействия магнитных моментов $m$ и $m/k$ с треугольно-гексагональной решёткой. Для расчётов пользуйтесь рисунками 3а и 3б.

1 $W_m=\dfrac{3\mu_0 m^2} {2\pi a^3} \left[ \dfrac{1} {3\sqrt{3}} -\dfrac{1} {k}\cdot \dfrac{9} {8}\right]\approx \dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ 0.289-\dfrac{1.688}{k} \right]$	0.50
2 $W_{m/k}=\dfrac{3\mu_0 m^2} {4\pi a^3} \left[ \dfrac{1}{k^2} \left(\dfrac{9} {8}+\dfrac{2} {3\sqrt{3}}\right) -\dfrac{1} {k}\cdot \dfrac{9} {8}\right]\approx \dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ \dfrac{1.132}{k^2} - \dfrac{0.844}{k} \right]$	0.50

B7 ^0.50 Найдите среднюю энергию взаимодействия в треугольно-гексагональной решётке $W_{tr}$ в расчёте на узел. Учтите, что в этом типе решётки маленьких магнитиков в 2 раза больше, чем больших.

1 $W_{tr}=\dfrac{\mu_0 m^2}{\pi a^3}\left[\dfrac{1}{6\sqrt{3}}-\dfrac{1}{k}\cdot\dfrac{9}{8}+\dfrac{1}{k^2}\left(\dfrac{9}{16}+\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\right)\right]\approx \dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ 0.096 - \dfrac{1.125}{k} + \dfrac{0.755}{k^2} \right]$

0.50

B8.1 ^0.30 Постройте графики зависимостей $E_1(k)$ и $E_2(k)$ на одном поле на участке $k>1$. Загрузите скриншот графиков.

1 Подписаны оси на графике

0.30

B8.2 ^0.70 Укажите координату точки пересечения $k_0$.

1 $k_0=1.90$

0.70

B9 ^4.00 Для всех значений $k$ из таблички ниже экспериментально определите геометрию устойчивой решётки. В ответах для каждого $k$ укажите тип одним словом: квадратная , треугольно-гексагональная или трудноопределяемая.

1 Для каждого значения $k$ из таблицы верно определён тип решётки (за $k=2$ баллы не ставятся).

10 × 0.40

B10 ^0.50 Оцените критическое значение коэффициента $k_0^{exp}$, считая его натуральным числом.

1 $k_0^{exp}=2$

0.50

B11 ^1.50 Для каждой моды определите, происходит ли “плавление” вышеуказанных решёток. В ответе укажите качественно наблюдаемый результат: происходит или не происходит.

1 На сильной (низкочастотной) моде "плавление" происходит у магнитов 3 и 4.	0.50
2 На слабой (высокочастотной) моде "плавление" не происходит ни у кого.	0.50
3 На "средней" моде "плавление" происходит только у магнитов 3.	0.50

C1 ^0.50 Проведите симуляцию и укажите тип образовавшейся решётки в соответствии с рисунком 4.

1 Треугольная

0.50

C2 ^1.00 Проведите симуляцию и укажите тип образовавшейся решётки в соответствии с рисунком 5.

1 Гранецентрированная кубическая

1.00

C3 ^1.50 Изменяя положение наблюдателя в симуляции, определите углы, которые рёбра кубической ячейки решётки составляют с осью $z$. В ответе укажите три числа из диапазона $[0,90]^\circ$ в порядке возрастания.

1 Первый угол: $[32,35]^\circ$	0.50
2 Второй угол: $[65,68]^\circ$	0.50
3 Третий угол: $[66,69]^\circ$	0.50

Коллективное взаимодействие

Разбалловка