Pho.rs: Коллективное взаимодействие

A1 ^0.50 Покажите, что в условиях эксперимента можно принять $\text{th}~kh \approx 1$. Считайте, что длина волны $\lambda$ не превосходит $10~см$.

Условие $kh\geq 1$ перетекает в $h\ge\frac{1}{k}=\frac{\lambda}{2\pi}=1.59~см$. Это верно в условиях нашего эксперимента.

A2 ^0.50 Получите выражение для мощности $P$, подводимой к установке. Считайте, что мощность поступает только от источника питания.

Ответ: $P=UI$

A3 ^4.30 Получите зависимость высоты волн $h$ в относительных единицах от частоты $f$. Измерения проводите внутри диапазона $I\in[20;60]~мА$. Снимите не менее $10$ точек.

$h\sim\frac{UI}{k^2}$, получаем табличку:

$I,~mA$	$U,~V$	$t_1,~s$	$t_2,~s$	$n$	$f,~Hz$	$k,~m^-1$	$h,~a.u.$
54.5	3	0.146	1.308	10	8.605851979	219.534207	3.39E-03
46.2	2.86	0.13	1.389	10	7.942811755	197.1051174	3.40E-03
40.9	2.81	0.185	1.567	10	7.235890014	172.6114646	3.86E-03
38.3	2.76	0.122	1.538	10	7.062146893	166.5190596	3.81E-03
35.2	2.83	0.317	1.91	10	6.277463905	138.8192936	5.17E-03
33.3	2.91	0.212	2.362	10	4.651162791	82.90382892	1.41E-02
33.2	2.88	0.104	1.922	10	5.500550055	111.5458568	7.68E-03
53.8	3	0.09	1.373	10	7.794232268	192.0023218	4.38E-03

A4 ^0.20 Постройте график зависимости $h(f)$. Загрузите скриншот графика.

A5 ^0.50 Укажите численное значение частоты $f_0$ среди полученных мод, при котором достигается минимум высоты волн $h$ (самая слабая мода).

Ответ: $f_0=8.6~Гц$ или $f_0=7.9~Гц$

B1 ^0.50 Определите потенциальную энергию взаимодействия двух сонаправленных диполей (см. рис. 1а). Ответ выразите через $d_1$, $d_2$, $\varepsilon_0$ и $r$.

Представим диполь $d_1=q_1 l$ как два заряда $+q_1$ и $-q_1$, разнесённые на расстояние $l\ll r$. Аналогично поступим со вторым диполем. Тогда

$$W\approx 2\left(\dfrac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r}-\dfrac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 (r+\frac{l^2}{2r})}\right)\approx \dfrac{q_1 q_2 l^2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\approx \dfrac{d_1 d_2} {4\pi\varepsilon_0 r^3}$$

Ответ: $W=\dfrac{d_1 d_2} {4\pi\varepsilon_0 r^3}$

B2 ^0.20 Определите потенциальную энергию взаимодействия двух противоположно направленных диполей (см. рис. 1б). Ответ выразите через $d_1$, $d_2$, $\varepsilon_0$ и $r$.

При повороте одного диполя энергия взаимодействия изменит знак.

Ответ: $W=-\dfrac{d_1 d_2} {4\pi\varepsilon_0 r^3}$

B3 ^0.30 Получите выражения для потенциальных энергий взаимодействия сонаправленных и противоположно направленных магнитных диполей. Ответы выразите через $m_1$, $m_2$, $\mu_0$ и $r$.

Ответ: $W_{\uparrow\uparrow}=\dfrac{\mu_0 m_1 m_2} {4\pi r^3}$

$W_{\uparrow\downarrow}=-\dfrac{\mu_0 m_1 m_2} {4\pi r^3} $

B4 ^1.00 Определите энергии взаимодействия магнитных моментов $m$ и $m/k$ с квадратной решёткой. Для расчётов пользуйтесь рисунками 2а и 2б.

Учтём все взаимодействия с центральным узлом внутри штрихованной границы.

Ответ: $W_m=\dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ \dfrac {1}{8}+\dfrac{9} {16\sqrt{2}}-\dfrac{1} {k}\left(1+\dfrac{2} {5\sqrt{5}}\right) \right]$

$W_{m/k}=\dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ \dfrac{1} {k^2} \left(\dfrac {1}{8}+\dfrac{9} {16\sqrt{2}}\right)-\dfrac{1} {k}\left(1+\dfrac{2} {5\sqrt{5}}\right) \right]$

B5 ^0.50 Найдите среднюю энергию взаимодействия в квадратной решётке $W_{sq}$ в расчёте на узел.

Ответом является среднее арифметическое выражений из предыдущего пункта.

Ответ: $W_{sq}=\dfrac{\mu_0 m^2} {\pi a^3} \left[ \dfrac{1} {2} \left(1+\dfrac{1} {k^2} \right)\left(\dfrac {1}{8}+\dfrac{9} {16\sqrt{2}}\right)-\dfrac{1} {k}\left(1+\dfrac{2} {5\sqrt{5}}\right) \right]$

B6 ^1.00 Определите энергии взаимодействия магнитных моментов $m$ и $m/k$ с треугольно-гексагональной решёткой. Для расчётов пользуйтесь рисунками 3а и 3б.

Учтём все взаимодействия с центральным узлом внутри штрихованной границы.

Ответ: $W_m=\dfrac{3\mu_0 m^2} {2\pi a^3} \left[ \dfrac{1} {3\sqrt{3}} -\dfrac{1} {k}\cdot \dfrac{9} {8}\right]$

$W_{m/k}=\dfrac{3\mu_0 m^2} {4\pi a^3} \left[ \dfrac{1}{k^2} \left(\dfrac{9} {8}+\dfrac{2} {3\sqrt{3}}\right) -\dfrac{1} {k}\cdot \dfrac{9} {8}\right]$

B7 ^0.50 Найдите среднюю энергию взаимодействия в треугольно-гексагональной решётке $W_{tr}$ в расчёте на узел. Учтите, что в этом типе решётки маленьких магнитиков в 2 раза больше, чем больших.

Учтём "веса" магнитиков, пропорциональные их количеству в решётке:
$$W_{tr}=\dfrac{W_m+2\cdot W_{m/k}}{3}$$

Ответ: $W_{tr}=\dfrac{\mu_0 m^2}{\pi a^3}\left[\dfrac{1}{6\sqrt{3}}-\dfrac{1}{k}\cdot\dfrac{9}{8}+\dfrac{1}{k^2}\left(\dfrac{9}{16}+\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\right)\right]$

B8.1 ^0.30 Постройте графики зависимостей $E_1(k)$ и $E_2(k)$ на одном поле на участке $k>1$. Загрузите скриншот графиков.

Ответ:

B8.2 ^0.70 Укажите координату точки пересечения $k_0$.

Ответ: $k_0=1.90$

B9 ^4.00 Для всех значений $k$ из таблички ниже экспериментально определите геометрию устойчивой решётки. В ответах для каждого $k$ укажите тип одним словом: квадратная , треугольно-гексагональная или трудноопределяемая.

Решётка для $k=1.78$

Квадратная решётка получается в экспериментах с $k\in\{1.00,1.13,1.28,1.39,1.56,1.78\}$.

Решётка для $k=2.28$

Треугольно-гексагональная решётка получается в экспериментах с $k\in\{2.28,2.78,3.13,3.56\}$.

Ответ: $k\in\{1.00,1.13,1.28,1.39,1.56,1.78\}$ — квадратная решётка

$k\in\{2.28,2.78,3.13,3.56\}$ — треугольно-гексагональная решётка

$k=2$ — тип решётки трудноопределяем

B10 ^0.50 Оцените критическое значение коэффициента $k_0^{exp}$, считая его натуральным числом.

Ответ: $k_0^{exp}=2$

B11 ^1.50 Для каждой моды определите, происходит ли “плавление” вышеуказанных решёток. В ответе укажите качественно наблюдаемый результат: происходит или не происходит.

f, Hz	Магниты 5	Магниты 4	Магниты 3
4.7	не происходит	происходит	происходит
5.5	не происходит	происходит	происходит
6.3	не происходит	не происходит	происходит
7.1	не происходит	не происходит	не происходит
7.9	не происходит	не происходит	не происходит
8.6	не происходит	не происходит	не происходит

C1 ^0.50 Проведите симуляцию и укажите тип образовавшейся решётки в соответствии с рисунком 4.

Результат симуляции 1

Ответ: Треугольная

C2 ^1.00 Проведите симуляцию и укажите тип образовавшейся решётки в соответствии с рисунком 5.

Результат симуляции 2

Один из методов: подсчёт количества соседей у частицы

Ответ: Гранецентрированная кубическая

C3 ^1.50 Изменяя положение наблюдателя в симуляции, определите углы, которые рёбра кубической ячейки решётки составляют с осью $z$. В ответе укажите три числа из диапазона $[0,90]^\circ$ в порядке возрастания.

Ответ: $34^\circ, 66^\circ, 68^\circ$

Коллективное взаимодействие

Решение