A1. 1
Потенциал от кольца шириной $dr$ радиусом $r$
$$d \varphi = k \frac{\sigma_R \cdot 2 \pi r dr}{\sqrt{y^2 + r^2} }$$ |
0.20 |
|
A1. 2
Ответ. Потенциал диска:
$$\varphi(y)=2πk \sigma_R \left( \sqrt{R^2+y^2}-|y| \right)$$ |
0.30 |
|
A2. 1 Идейно правильный способ найти $E(x)$. Например, посчитать поле кольца или $E_x = -\frac{d\varphi}{dx}$. | 0.10 |
|
A2. 2
Напряженность электрического поля
$$E_x(x) = - k \frac{2\pi R \delta \sigma_R}{(L^2+R^2)} \frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}=-\frac{\sigma_R R^2}{\varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}x.$$ ИЛИ найден коэффициент перед $x^2$ в разложении для потенциала. |
0.50 |
|
A2. 3
Ответ. Угловая частота при колебаниях:
$$\omega_1^2=\frac{q\sigma_R R^2}{m \varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}.$$ |
0.30 |
|
A2. 4
Ответ. Знак заряда:
$$q>0.$$ |
0.10 |
|
A3. 1 Идея использовать теорему Гаусса | 0.10 |
|
A3. 2
Запись теоремы Гаусса
$$2\pi r \cdot 2x E_r(r) + 2\pi r^2 E_x(x) = 0$$ |
0.50 |
|
A3. 3
Найдена $\omega_2$ через заданные в условии величины (это находить необязательно):
$$\omega_2^2=\frac{|q|\sigma_R R^2}{2m \varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}},$$ |
0.20 |
|
A3. 4
Ответ. Угловая частота:
$$\omega_2 = \frac{\omega_1}{\sqrt{2}}.$$ |
0.10 |
|
A3. 5
Ответ. Знак заряда:
$$q<0.$$ |
0.10 |
|
B1. 1
Потенциал от кольца высотой $dl$ на расстоянии $l$ от нуля
$$d \varphi (y) = k \frac{\sigma_L \cdot 2 \pi R dl}{\sqrt{(z+l)^2 + R^2}}.$$ |
0.30 |
|
B1. 2 Правильные пределы интегрирования (от $z$ до $z+L$) | 0.20 |
|
B1. 3
Ответ. Потенциал боковых стенок цилиндра.
$$\varphi (y) = 2\pi k R\sigma_L \left( \mathrm{arth} \frac{L+z}{\sqrt{(L+z)^2 + R^2}} - \mathrm{arth} \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right).$$ |
0.50 |
|
B2. 1 Идейно правильный способ найти $E(x)$. Например, посчитать поле кольца или $E_x = -\frac{d\varphi}{dx}$. | 0.10 |
|
B2. 2
Напряженность электрического поля
$$E_x(x) = k \frac{2\pi R \delta \sigma_L}{(L^2+R^2)} \frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}=\frac{\sigma_L R L}{\varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}x.$$ ИЛИ найден коэффициент перед $x^2$ в разложении для потенциала. |
0.50 |
|
B2. 3
Ответ. Угловая частота:
$$\omega_3^2=\frac{|q|\sigma_L R L}{m \varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}.$$ |
0.30 |
|
B2. 4
Знак точечного заряда.
$$q<0.$$ |
0.10 |
|
B3. 1
Связь двух напряженностей
$$E_r(r)=-\frac{1}{2}E_x(x)\frac{r}{x},$$ |
0.20 |
|
B3. 2
Угловая частота (это находить необязательно):
$$\omega_4^2=\frac{|q|\sigma_L R L}{2m \varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}.$$ |
0.10 |
|
B3. 3
Ответ. Угловая частота
$$\omega_4 = \frac{\omega_3}{\sqrt{2}},$$ |
0.10 |
|
B3. 4
Ответ. Знак заряда.
$$q>0.$$ |
0.10 |
|
С1. 1 Указано, что сумма двух действующих сил равна нулю. | 0.10 |
|
С1. 2
Напряженность поля от основания цилиндра
$$E_R = 2\pi \sigma_R k \left( 1 - \frac{L}{\sqrt{R^2+L^2}} \right).$$ |
0.50 |
|
С1. 3
Напряженность поля от боковых стенок цилиндра
$$E_L = 2\pi \sigma_L k \left( 1 - \frac{R}{\sqrt{R^2+L^2}} \right).$$ |
0.50 |
|
С1. 4
Ответ в общем виде.
$$\frac{\sigma_{L}}{\sigma_{R}}=-\frac{\sqrt{R^{2}+L^{2}}-L}{\sqrt{R^{2}+L^{2}}-R}$$ |
0.30 |
|
С1. 5
Ответ численно.
$$\frac{\sigma_{L}}{\sigma_{R}}=-\frac{1}{32}$$ |
0.10 |
|
С2. 1
Указано уравнение, решение которого позволяет найти положение равновесия $z=0$, например:
$$25\left(\frac{45+z}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} -1 \right) - 8 \left(\frac{28}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} - \frac{28}{\sqrt{28^2+z^2}} \right) =0 .$$ |
0.30 |
|
С2. 2 Указан способ решить уравнение | 0.30 |
|
С2. 3
Ответ:
$z=0$ |
0.40 |
|
С2. 4 Понимание того, что нужно записать другое уравнение для точек с другой стороны цилиндра. | 0.30 |
|
С2. 5
Указано уравнение, решение которого позволяет найти положение равновесия $z=-1632.6$, например:
$$25\left(\frac{45+z}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} +1 \right) - 8 \left(\frac{28}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} - \frac{28}{\sqrt{28^2+z^2}} \right) =0 .$$ |
0.30 |
|
С2. 6 Указан способ решить уравнение c достаточной точностью | 0.30 |
|
С2. 7 Найден корень уравнения с точностью $10\%$ | 0.10 |
|
С2. 8 Найден корень уравнения с точностью $1\%$ | 0.20 |
|
С2. 9
Ответ:
$$\frac{z}{b}=-1632.6...$$ |
0.30 |
|
С3. 1
Выбрана точка с координатой
$$z=0$$ |
0.30 |
|
С3. 2
Напряженность поля
$$E(z) = - \alpha z,$$ $$\alpha=2\pi \sigma_0 k \cdot \frac{560}{2809} \frac{z}{b}$$ |
0.50 |
|
С3. 3
Ответ:
$$\omega^2 = \frac{280 \sigma_0 q}{2809 \varepsilon_0 b m}$$ |
0.20 |
|