Pho.rs: Колебания в заряженном цилиндре

A1 ^0.50 Диск радиусом $R$ заряжен поверхностной плотностью заряда $\sigma_R$. Определите потенциал $\varphi(y)$ в точке на оси на расстоянии $y$ от центра диска. Потенциал равен нулю на бесконечности.

__

Потенциал от кольца шириной $dr$ радиусом $r$ $$d \varphi = k \frac{\sigma_R \cdot 2 \pi r dr}{\sqrt{y^2 + r^2} }$$	0.20
Ответ. Потенциал диска: $$\varphi(y)=2πk \sigma_R \left( \sqrt{R^2+y^2}-\|y\| \right)$$	0.30

A2 ^1.00 Два таких диска радиусом $R$ заряжены поверхностной плотностью заряда $\sigma_R>0$ находятся параллельно друг другу. Расстояние между центрами дисков равно $2L$, центры находятся на оси дисков. В положении равновесия находятся заряд $q$ массой $m$, который может двигаться только вдоль оси дисков. Определите угловую частоту $\omega_1$ колебаний такого заряда. Какой знак заряда?

__

Идейно правильный способ найти $E(x)$. Например, посчитать поле кольца или $E_x = -\frac{d\varphi}{dx}$.	0.10
Напряженность электрического поля $$E_x(x) = - k \frac{2\pi R \delta \sigma_R}{(L^2+R^2)} \frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}=-\frac{\sigma_R R^2}{\varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}x.$$ ИЛИ найден коэффициент перед $x^2$ в разложении для потенциала.	0.50
Ответ. Угловая частота при колебаниях: $$\omega_1^2=\frac{q\sigma_R R^2}{m \varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}.$$	0.30
Ответ. Знак заряда: $$q>0.$$	0.10

A3 ^1.00 Теперь этот заряд может двигаться только в перпендикулярном направлении. Выразите угловую частоту $\omega_2$ колебаний в таком случае через $\omega_1$. Какой теперь знак заряда?

__

Идея использовать теорему Гаусса	0.10
Запись теоремы Гаусса $$2\pi r \cdot 2x E_r(r) + 2\pi r^2 E_x(x) = 0$$	0.50
Найдена $\omega_2$ через заданные в условии величины (это находить необязательно): $$\omega_2^2=\frac{\|q\|\sigma_R R^2}{2m \varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}},$$	0.20
Ответ. Угловая частота: $$\omega_2 = \frac{\omega_1}{\sqrt{2}}.$$	0.10
Ответ. Знак заряда: $$q<0.$$	0.10

B1 ^1.00 Боковая поверхность цилиндра радиусом $R$ и длиной $L$ заряжена поверхностной плотностью заряда $\sigma_L$. Определите потенциал в точке на оси на расстоянии $z$ от центра одного из оснований цилиндра. Потенциал равен нулю на бесконечности.

__

Потенциал от кольца высотой $dl$ на расстоянии $l$ от нуля $$d \varphi (y) = k \frac{\sigma_L \cdot 2 \pi R dl}{\sqrt{(z+l)^2 + R^2}}.$$	0.30
Правильные пределы интегрирования (от $z$ до $z+L$)	0.20
Ответ. Потенциал боковых стенок цилиндра. $$\varphi (y) = 2\pi k R\sigma_L \left( \mathrm{arth} \frac{L+z}{\sqrt{(L+z)^2 + R^2}} - \mathrm{arth} \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right).$$	0.50

B2 ^1.00 Два таких цилиндра (радиусом $R$ и длиной $L$, поверхность заряжена поверхностной плотностью заряда $\sigma_L>0$) поставлены рядом вплотную и имеют общую ось. В положении равновесия находятся заряд $q$ массой $m$, который может двигаться только вдоль оси цилиндров. Определите угловую частоту $\omega_3$ колебаний такого заряда. Какой знак заряда?

__

Идейно правильный способ найти $E(x)$. Например, посчитать поле кольца или $E_x = -\frac{d\varphi}{dx}$.	0.10
Напряженность электрического поля $$E_x(x) = k \frac{2\pi R \delta \sigma_L}{(L^2+R^2)} \frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}=\frac{\sigma_L R L}{\varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}x.$$ ИЛИ найден коэффициент перед $x^2$ в разложении для потенциала.	0.50
Ответ. Угловая частота: $$\omega_3^2=\frac{\|q\|\sigma_L R L}{m \varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}.$$	0.30
Знак точечного заряда. $$q<0.$$	0.10

B3 ^0.50 Теперь этот заряд может двигаться только в перпендикулярном направлении. Выразите угловую частоту $\omega_4$ колебаний в таком случае через $\omega_3$. Какой теперь знак заряда?

__

Связь двух напряженностей $$E_r(r)=-\frac{1}{2}E_x(x)\frac{r}{x},$$	0.20
Угловая частота (это находить необязательно): $$\omega_4^2=\frac{\|q\|\sigma_L R L}{2m \varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}.$$	0.10
Ответ. Угловая частота $$\omega_4 = \frac{\omega_3}{\sqrt{2}},$$	0.10
Ответ. Знак заряда. $$q>0.$$	0.10

С1 ^1.50 Заряженный цилиндр радиусом $R$ высотой $L=40R/9$ состоит из боковой поверхности и одного основания. Поверхностная плотность заряда боковой поверхности $\sigma_L$, основания $\sigma_R$. Если поместить точечный заряд в центр противоположного основания, то он окажется в положении равновесия. Определите отношение $\sigma_L/\sigma_R$.

__

Указано, что сумма двух действующих сил равна нулю.	0.10
Напряженность поля от основания цилиндра $$E_R = 2\pi \sigma_R k \left( 1 - \frac{L}{\sqrt{R^2+L^2}} \right).$$	0.50
Напряженность поля от боковых стенок цилиндра $$E_L = 2\pi \sigma_L k \left( 1 - \frac{R}{\sqrt{R^2+L^2}} \right).$$	0.50
Ответ в общем виде. $$\frac{\sigma_{L}}{\sigma_{R}}=-\frac{\sqrt{R^{2}+L^{2}}-L}{\sqrt{R^{2}+L^{2}}-R}$$	0.30
Ответ численно. $$\frac{\sigma_{L}}{\sigma_{R}}=-\frac{1}{32}$$	0.10

С2 ^2.50 Заряженный цилиндр радиусом $R=28b$ высотой $L=45b$ состоит из боковой поверхности и одного основания. Заряд боковой поверхности $\sigma_L=-8\sigma_0$, заряд основания $\sigma_R=25\sigma_0>0$. На оси этой системы помещают частицу c зарядом $q>0$. Оцените численно координаты $z$ (в единицах $b$) положений равновесия если частица может двигаться только вдоль оси. Координата $z$ отсчитывается как на картинке.
Сделайте это максимально точно, однако, достаточно с точностью 1%. Ответы попадающие в 1% от правильного получат полный балл.

__

Указано уравнение, решение которого позволяет найти положение равновесия $z=0$, например: $$25\left(\frac{45+z}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} -1 \right) - 8 \left(\frac{28}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} - \frac{28}{\sqrt{28^2+z^2}} \right) =0 .$$	0.30
Указан способ решить уравнение	0.30
Ответ: $z=0$	0.40
Понимание того, что нужно записать другое уравнение для точек с другой стороны цилиндра.	0.30
Указано уравнение, решение которого позволяет найти положение равновесия $z=-1632.6$, например: $$25\left(\frac{45+z}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} +1 \right) - 8 \left(\frac{28}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} - \frac{28}{\sqrt{28^2+z^2}} \right) =0 .$$	0.30
Указан способ решить уравнение c достаточной точностью	0.30
Найден корень уравнения с точностью $10%$	0.10
Найден корень уравнения с точностью $1%$	0.20
Ответ: $$\frac{z}{b}=-1632.6...$$	0.30

С3 ^1.00 В условиях предыдущего пункта частицу поместили в ближайшее к цилиндру положение равновесия, её масса $m$. Определите угловую частоту $\omega$ малых колебаний частицы.

__

Выбрана точка с координатой $$z=0$$	0.30
Напряженность поля $$E(z) = - \alpha z,$$ $$\alpha=2\pi \sigma_0 k \cdot \frac{560}{2809} \frac{z}{b}$$	0.50
Ответ: $$\omega^2 = \frac{280 \sigma_0 q}{2809 \varepsilon_0 b m}$$	0.20

Колебания в заряженном цилиндре

Разбалловка