A1  ^0.50 Диск радиусом $R$ заряжен поверхностной плотностью заряда $\sigma_R$. Определите потенциал $\varphi(y)$ в точке на оси на расстоянии $y$ от центра диска. Потенциал равен нулю на бесконечности.

Потенциал от кольца шириной $dr$ радиусом $r$
$$d \varphi = k \frac{\sigma_R \cdot 2 \pi r dr}{\sqrt{y^2 + r^2} }$$

Потенциал от всего диска находим интегрированием:
$$\varphi(y)= \pi k \sigma_R \int^R_0 \frac{d(r^2)}{\sqrt{y^2 + r^2} } =2πk \sigma_R \left( \sqrt{R^2+y^2}- |y| \right)$$

A2  ^1.00 Два таких диска радиусом $R$ заряжены поверхностной плотностью заряда $\sigma_R>0$ находятся параллельно друг другу. Расстояние между центрами дисков равно $2L$, центры находятся на оси дисков. В положении равновесия находятся заряд $q$ массой $m$, который может двигаться только вдоль оси дисков. Определите угловую частоту $\omega_1$ колебаний такого заряда. Какой знак заряда?

При смещении заряда на $x$ вдоль оси на ближайшем диске оказывается внешнее кольцо шириной $\delta = 2 Rx/L$, которое создаёт возвращающую силу. Суммарное поле остальных зарядов равно нулю.

Поле этого кольца
$$E_x(x) = - k \frac{2\pi R \delta \sigma_R}{(L^2+R^2)} \frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}=-\frac{\sigma_R R^2}{\varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}x.$$

Уравнение движения заряда
$$m\ddot{x}=qE(x).$$

Угловая частота при колебаниях:
$$\omega^2=\frac{q\sigma_R R^2}{m \varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}.$$

A3  ^1.00 Теперь этот заряд может двигаться только в перпендикулярном направлении. Выразите угловую частоту $\omega_2$ колебаний в таком случае через $\omega_1$. Какой теперь знак заряда?

Используем теорему Гаусса для маленького цилиндра между дисками, чтобы найти зависимость радиального поля $E_r(r)$ от смещения от оси $r$:

$$2\pi r \cdot 2x E_r(r) + 2\pi r^2 E_x(x) = 0$$

$$E_r(r)=-\frac{1}{2}E_x(x)\frac{r}{x}.$$

Заряд должен быть другого знака.

Видно, что коэффициент в линейной зависимости в 2 раза меньше, поэтому,
$$\omega_2 = \frac{\omega_1}{\sqrt{2}}.$$

B1  ^1.00 Боковая поверхность цилиндра радиусом $R$ и длиной $L$ заряжена поверхностной плотностью заряда $\sigma_L$. Определите потенциал в точке на оси на расстоянии $z$ от центра одного из оснований цилиндра. Потенциал равен нулю на бесконечности.

Потенциал от кольца высотой $dl$ на расстоянии $l$ от нуля
$$d \varphi (y) = k \frac{\sigma_L \cdot 2 \pi R dl}{\sqrt{(z+l)^2 + R^2}}.$$

Потенциал от всей боковой поверхности цилиндра находим интегрированием:
$$\varphi (y) = 2 \pi k R \sigma_L \int^{L+z}_z \frac{d (l+z)}{\sqrt{(l+z)^2 + R^2}} = 2\pi k R\sigma_L \left( \mathrm{arth} \frac{L+z}{\sqrt{(L+z)^2 + R^2}} - \mathrm{arth} \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right).$$

B2  ^1.00 Два таких цилиндра (радиусом $R$ и длиной $L$, поверхность заряжена поверхностной плотностью заряда $\sigma_L>0$) поставлены рядом вплотную и имеют общую ось. В положении равновесия находятся заряд $q$ массой $m$, который может двигаться только вдоль оси цилиндров. Определите угловую частоту $\omega_3$ колебаний такого заряда. Какой знак заряда?

При смещении заряда на $x$ вдоль оси на дальнем цилиндре оказывается внешнее кольцо шириной $\delta = 2x$, которое создаёт возвращающую силу. Суммарное поле остальных зарядов равно нулю.

Поле этого кольца
$$E_x(x) = k \frac{2\pi R \delta \sigma_L}{(L^2+R^2)} \frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}=\frac{\sigma_L R L}{\varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}x.$$

Уравнение движения заряда
$$m\ddot{x}=qE_x(x),$$

видно, что заряд должен быть отрицательным.

Угловая частота при колебаниях:
$$\omega_3^2=\frac{|q|\sigma_L R L}{m \varepsilon_0 (L^2+R^2)^{3/2}}.$$

B3  ^0.50 Теперь этот заряд может двигаться только в перпендикулярном направлении. Выразите угловую частоту $\omega_4$ колебаний в таком случае через $\omega_3$. Какой теперь знак заряда?

Всё происходит аналогично A3, то есть
$$E_r(r)=-\frac{1}{2}E_x(x)\frac{r}{x},$$
значит $\omega^2_4 = \omega^2_3/2$ и заряд тоже должен поменять знак.

С1  ^1.50 Заряженный цилиндр радиусом $R$ высотой $L=40R/9$ состоит из боковой поверхности и одного основания. Поверхностная плотность заряда боковой поверхности $\sigma_L$, основания $\sigma_R$. Если поместить точечный заряд в центр противоположного основания, то он окажется в положении равновесия. Определите отношение $\sigma_L/\sigma_R$.

Напряженность поля, создаваемого основанием цилиндра найдём как
$$E_R = - \left. \frac{d \varphi}{d y} \right|_L.$$

Эта напряженность равна
$$E_R = 2\pi \sigma_R k \left( 1 - \frac{L}{\sqrt{R^2+L^2}} \right).$$

Напряженность поля, создаваемого боковыми стенками цилиндра найдём как
$$E_L = - \left. \frac{d \varphi}{d z} \right|_0.$$

Эта напряженность равна
$$E_L = 2\pi \sigma_L k \left( 1 - \frac{R}{\sqrt{R^2+L^2}} \right).$$

Суммарное поле равно нулю, отсюда получаем:
$$\frac{\sigma_{L}}{\sigma_{R}}=-\frac{\sqrt{R^{2}+L^{2}}-L}{\sqrt{R^{2}+L^{2}}-R}=-\frac{41-40}{41-9}=-\frac{1}{32}$$

С2  ^2.50 Заряженный цилиндр радиусом $R=28b$ высотой $L=45b$ состоит из боковой поверхности и одного основания. Заряд боковой поверхности $\sigma_L=-8\sigma_0$, заряд основания $\sigma_R=25\sigma_0>0$. На оси этой системы помещают частицу c зарядом $q>0$. Оцените численно координаты $z$ (в единицах $b$) положений равновесия если частица может двигаться только вдоль оси. Координата $z$ отсчитывается как на картинке.
Сделайте это максимально точно, однако, достаточно с точностью 1%. Ответы попадающие в 1% от правильного получат полный балл.

Ищем такую точку, в которой суммарное поле равно нулю. Далее все длины измеряем в единицах $b$. Для точек с координатами $z>-45$ получаем уравнение


$$E_{основание}(z)+E_{бок}(z) = 0,$$
$$25\left(\frac{45+z}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} -1 \right) - 8 \left(\frac{28}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} - \frac{28}{\sqrt{28^2+z^2}} \right) =0 .$$

Чтобы решить уравнение на калькуляторе, представим его в виде $z=f(z)$:
$$f(z) = - \frac{901}{25} + \sqrt{28^2+(45+z)^2} \left(1- \frac{224}{25 \sqrt{28^2+z^2}} \right).$$

Получается ответ $z=0$. Можно его подставить в $f(z)$ и в этом явно убедиться.

Для того, чтобы учесть точки с координатами $z<-45$, составим следующее уравнение (меняется поле диска):
$$25\left(\frac{45+z}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} +1 \right) - 8 \left(\frac{28}{\sqrt{28^2+(45+z)^2}} - \frac{28}{\sqrt{28^2+z^2}} \right) =0 .$$

Чтобы решить уравнение на калькуляторе, представим его в виде $z=f(z)$:

$$f(z) = - \frac{901}{25} - \sqrt{28^2+(45+z)^2} \left(1+ \frac{224}{25 \sqrt{28^2+z^2}} \right).$$

Данное уравнение сходится очень медленно. Можно найти его корень методом бинарного поиска: подставляя некоторое число и проводя итерации наблюдать, увеличивается или уменьшается величина $z$.

Правильный ответ $z = -1632.60163579414519440461610908047948157856626649004333963591...$

С3  ^1.00 В условиях предыдущего пункта частицу поместили в ближайшее к цилиндру положение равновесия, её масса $m$. Определите угловую частоту $\omega$ малых колебаний частицы.

Выбираем точку с координатой $z=0$. Раскладываем напряженность поля, получаем, что в этой точке $E(z) = - \alpha z$, $\alpha=2\pi \sigma_0 k \cdot \frac{560}{2809} \frac{z}{b}$.

Из уравнения колебаний
$$m \ddot{z} = - q \alpha z$$
получаем ответ.