Введение

Садовод построил симметричную теплицу из поликарбоната у себя на дачном участке (см. рис. 1). Для продления сезона он использует емкость с водой объема $V = 300~\text{л}$. Днем вода нагревается солнцем, а ночью охлаждается, отдавая тепло теплице. Однако, при сильных морозах этого аккумулятора тепла недостаточно, поэтому садовод планирует установить электрический нагреватель в виде резистора $-$ длинной нихромовой проволоки. Нагреватель будет питаться от источника постоянного напряжения $U$.

Ниже приведена таблица с параметрами системы, которые вы можете считать известными в течение всей задачи.

Коэффициентом теплопередачи называется коэффициент пропорциональности в законе Ньютона — Рихмана: $$P = k S \Delta T,$$ где $P$ $-$ мощность теплопередачи, $\Delta T$ $-$ разность температур, $S$ $-$ площадь контакта.

Во всех пунктах задачи, необходимо найти численное значение искомой величины, а также выразить формулу для нее, используя только введенные авторские обозначения, если не сказано иное. 

Во всех пунктах данной задачи потерями тепла на излучение, а также теплоемкостью воздуха пренебречь!

Часть A. Тепловой анализ теплицы (1.5 балла)

В данной части считайте температуру воздуха на улице ночью постоянной и равной $T_\text{out} = -10~^\circ \text{С}$, а температуру, до которой нагревается теплица (включая воду) днем $T_\text{in} = 15~^\circ \text{С}$.

A1  ^0.30 Найдите общую площадь поверхности теплицы $S$, участвующую в теплообмене с окружающей средой, если известно, что через пол теплицы теплообмена не происходит.

Во всех пунктах далее можете использовать величину $S$ в формульных ответах, не подставляя вместо нее формулу из A1. Во всех дальнейших пунктах пол теплицы также является теплонепроницаемым!

A2  ^0.30 Определите мощность тепловых потерь $P_{\text{пот}}$ теплицы при разности температур внутри и снаружи $\Delta T = 15~^\circ \text{С} = T_\text{min} - T_\text{out}$.

A3  ^0.30 Какое количество теплоты $Q_{\text{пот}}$ теплица потеряет за ночь, если считать мощность потерь постоянной? Разность температур $\Delta T$ такая же, как и в пункте A2.

В пункте A3 вы получили нижнюю оценку на истинную величину потерянного теплицей количества теплоты, так как температура внутри теплицы $T_\text{внутри}≥T_\text{min} = 5~^\circ \text{С}$.

A4  ^0.30 Какое количество теплоты $Q_{\text{н}}$ отдаст теплице вода при ее остывании от $T_\text{in}$ до $T_\text{min}$?

A5  ^0.30 Найдите величину $\Delta Q = Q_\text{пот} - Q_\text{н}$, являющейся нижней оценкой количества теплоты, которое должен восполнить электрический нагреватель для поддержания теплицы в установившемся режиме.

В дальнейших частях задачи можете считать известными данные параметры:

Температурным коэффициентом сопротивления (в науке $-$ TCR) называется коэффициент $\alpha$, отражающий связь изменения удельного сопротивления с изменением температуры:
$$\rho(T) = \rho_0 (1+\alpha \cdot T),$$
где $T$ измеряется в $^\circ \text{С}$.

Часть B. Электрический нагреватель (7.9 баллов)

В пунктах B1-B2 считайте температуру воздуха внутри теплицы постоянной и равной $T_\text{in} = 20~^\circ \text{С}$.

B1  ^0.80 Запишите уравнение теплового баланса для проволоки при подключении ее к источнику постоянного напряжения $U$. Помимо параметров, данных ранее, можете использовать величину температуры $T$ проволоки.

B2  ^1.20 Определите температуру $T$ нихромовой проволоки в рабочем режиме.

Садовода беспокоит, что при резком изменении $T_\text{out}$, установившаяся температура в теплице $T_\text{in}$ будет резко изменяться, что отрицательно сказывается на растительности в теплице. Садовод придумал как избежать данной проблемы: он подключает последовательно с нихромовой проволокой автоматизированный переменный резистор, который способен менять свое сопротивление при изменении внешней температуры так, чтобы температура в теплице поддерживалась постоянной. Данный переменный резистор выводится на улицу, поэтому не греет содержимое теплицы.

Во всех следующих пунктах температура воздуха в теплице $T_\text{in} = 20~^\circ \text{С} = \text{const}$!

B3  ^1.50 Запишите систему уравнений, из которой можно найти зависимость $r_\text{пер}$ от $T_\text{out}$.

B4  ^1.50 Из уравнений, записанных в пункте B3, найдите выражение для $r_\text{пер}$ через $T_\text{out}$.

B5  ^1.50 Постройте на ноутбуке график зависимости, получившейся в пункте B4. Загрузите скриншот этого графика.

B6  ^0.20 Запишите дополнительно численное значение $r_\text{крит}$ при $T_\text{out} = 0~^\circ \text{С}$.

B7  ^0.20 Запишите численное значение минимальной температуры на улице $T_\text{крит}$, при которой такой метод позволяет поддерживать температуру $T_\text{in} = 20~^\circ \text{С}$. 

B8  ^1.00 Найдите численное значение КПД данной схемы $\eta$ при $T_\text{out} = -10~^\circ\text{С}$.

Часть C. Траты на электричество (0.6 балла)

При помощи метода из части B можно регулировать количество теплоты, получаемое теплицей, однако, тратятся лишние мощности на бесполезный нагрев переменного резистора, из-за чего садовод переплачивает сумму $M$ ежедневно. 

C1  ^0.60 Найдите численное значение $M$ при температуре $T_\text{out} = -10^\circ \text{С}$, если известно, что стоимость электроэнергии для садовода составляет $n = 2~ \frac{\text{руб}}{\text{МДж}}$.