Запишем площадь теплицы как сумму площадей всех граней (без учета дна теплицы):
$$S = 2 \cdot LH+2 \cdot WH + 2 \cdot lW + 2 \cdot \frac{1}{2}L \cdot \sqrt{l^2-\frac{L^2}{4}} = 99~\text{м}^2.$$.
Здесь первым двум слагаемым соответствуют вертикальные стенки, третьему $-$ крыша, четвертому $-$ оставшиеся треугольные участки крыши.

По определению коэффициента теплопередачи можно сразу записать с учётом закона Ньютона-Рихмана:
$$P_\text{пот} = kS\Delta T \approx 520~\text{Вт}.$$

Теплоту $Q_\text{пот}$ можно найти, зная продолжительность ночи $t_\text{N}$ и $P_\text{пот}$:
$$Q_\text{пот} = P_\text{пот} \cdot t_\text{N} = kS \Delta T \cdot t_\text{N} \approx 18.7~\text{МДж}.$$

Вода отдает теплоту $Q_\text{н}$ из-за своего охлаждения. Зная удельную теплоемкость воды:
$$Q_\text{н} = c_\text{в} \rho_\text{в}V \cdot (T_\text{in}-T_\text{min}) \approx 12.6~\text{МДж}.$$Как мы видим, $Q_\text{пот}$ действительно оказывается больше, чем $Q_\text{н}$.

Находим разность уже известных величин:
$$\Delta Q = Q_\text{пот} - Q_\text{н} = kS \Delta T \cdot t_\text{N} - c_\text{в} \rho_\text{в}V \cdot (T_\text{in}-T_\text{min}) \approx 6.1~\text{МДж}>0,$$а значит нагреватель точно необходим для поддержания теплицы при температуре $T_\text{внутри} \geq T_\text{min} = 5~^\circ \text{С}.$

При подключении проволоки к источнику постоянного тока, та будет нагреваться за счёт протекания по ней электрического тока. Запишем уравнение теплового баланса для проволоки:
$$\dfrac{U^2}{R(T)} = k_\text{N} \cdot 2 \pi r \cdot \lambda \cdot (T-T_\text{in}) = \dfrac{U^2}{\dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2}(1+\alpha T)},$$в котором мы воспользовались законом Ома: $R(T) = \dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2}(1+\alpha T)$.

Преобразуем выражение из пункта B1, домножив обе части уравнения на $(1+\alpha T)$:

$$k_\text{N} \cdot 2 \pi r \cdot \lambda \cdot (T-T_\text{in})(1+\alpha T) = \dfrac{U^2 \pi r^2}{\rho_0 \lambda},$$

откуда раскрывая скобки:

$$\alpha T^2 + T \cdot (1-\alpha T_\text{in}) - \left(T_\text{in}+\dfrac{U^2 r}{2 \rho_0 k_\text{N}\lambda^2} \right) = 0.$$
Отсюда получается два корня на значение температуры $T$. А так как свободный член отрицателен, то подходит лишь одно значение $T>0$, которое соответствует знаку $+$ перед корнем из дискриминанта, то есть:

$$T = \dfrac{-(1-\alpha T_\text{in})+\sqrt{(1-\alpha T_\text{in})^2+4\alpha \left( T_\text{in}+\dfrac{U^2r}{2\rho_0 k_\text{N}\lambda^2} \right)} }{2 \alpha} \approx 409~^\circ \text{С}.$$

Запишем условия теплового баланса для резистора $\dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2} \cdot (1+ \alpha T_x)$ и для теплицы в целом:
\begin{cases}
\dfrac{U^2 \cdot \dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2} \cdot (1+ \alpha T_x)}{ \left( r_\text{пер}+\dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2} \cdot (1+\alpha T_x) \right)^2} = k_\text{N} \cdot \lambda \cdot 2 \pi r \cdot (T_x - T_\text{in}) \\
\\
kS \cdot (T_\text{in}-T_\text{out}) = k_\text{N} \cdot \lambda \cdot 2 \pi r \cdot (T_x - T_\text{in}).
\end{cases}
В данной системе всего две неизвестные: $T_x$ и $r_\text{пер}$, значит система уравнений является полной, т.е. из неё можно найти зависимость $r_\text{пер}$ от $T_\text{out}$.

Теперь решим систему уравнений, полученную в пункте $B4$.
Из второго уравнения сразу можно выразить $T_x$:
$$T_x = T_\text{in} + \dfrac{kS}{k_\text{N} \cdot \lambda \cdot 2 \pi r}(T_\text{in}-T_\text{out}).$$Из первого уравнения выразим $r_\text{пер}$ через $T_x$:
$$r_\text{пер} = \sqrt{\dfrac{U^2 \cdot \dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2} \cdot (1+\alpha T_x)}{kS \cdot (T_\text{in}-T_\text{out})}}-\dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2} \cdot (1+\alpha T_x).$$Осталось подставить уже известное значение $T_x$:
$$r_\text{пер} = \sqrt{\dfrac{U^2 \cdot \dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2} \cdot \left(1+\alpha \left( T_\text{in} + \dfrac{kS}{k_\text{N} \cdot \lambda \cdot 2 \pi r}(T_\text{in}-T_\text{out})\right)\right)}{kS \cdot (T_\text{in}-T_\text{out})}}-\dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2} \cdot \left(1+\alpha \left( T_\text{in} + \dfrac{kS}{k_\text{N} \cdot \lambda \cdot 2 \pi r}(T_\text{in}-T_\text{out})\right) \right).$$

Подставим все известные численные значения для построения графика. Полученный график изображен выше.

По графику определяем искомую величину:
$$r_\text{крит} = 15.3~\text{Ом}.$$

Минимальной температуре $T_\text{крит}$ соответствует $r_\text{пер} = 0$, когда вся мощность источника идет на нагрев содержимого теплицы. По графику из пункта B5 находим: 

$$T_\text{крит} = -11.7~^\circ \text{С}.$$

Запишем выражение для $\eta$ по определению КПД:
$$\eta = \dfrac{A_\text{пол}}{A_\text{вся}} = \dfrac{\dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2} \cdot (1+\alpha T_x)}{\dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2} \cdot (1+\alpha T_x)+r_\text{пер}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{r_\text{пер}(-10~^\circ \text{С})}{\rho_0 \lambda \cdot (1+\alpha T_x)} \cdot \pi r^2}.$$$T_x$ мы уже связывали с $T_\text{in}$ и $T_\text{out}$:
$$T_x = T_\text{in} + \dfrac{kS}{k_\text{N} \cdot \lambda \cdot 2 \pi r}(T_\text{in}-T_\text{out}) \approx 321~^\circ \text{С}$$По графику $r_\text{пер}(-10~^\circ \text{С}) = 1.74~\text{Ом},$
откуда окончательно:
$$\eta \approx 97\%.$$

Так как нагреватель нужен только тогда, когда на улице холодная температура (то есть ночью), то каждый день нагреватель работает время $t_\text{N}$.

Зная КПД схемы $\eta$, посчитать переплату $M$ уже несложно: $$M = n \cdot t_\text{N} \cdot \dfrac{U^2 \cdot r_\text{пер}}{\left(r_\text{пер}(-10~^\circ \text{С})+\dfrac{\rho_0 \lambda}{\pi r^2} \cdot (1+\alpha T_x)\right)^2} = \dfrac{n \cdot t_\text{N} \cdot U^2}{r_\text{пер}(-10~^\circ \text{С})} \cdot \left( 1+ \dfrac{\eta}{1-\eta}\right)^{-2} = \dfrac{n \cdot t_\text{N} \cdot U^2}{r_\text{пер}(-10~^\circ \text{С})}\cdot(1-\eta)^2 \approx 2.4~\text{рубля}.$$ Учитывая, что холодное время года в среднем по России продолжается порядка 100 дней, садовод переплатит за всю зиму порядка 240 рублей, что немного, значит теплица садовода неплохая.

Примечание: участники могли считать, что температура на улице $T_\text{out} = -10~^\circ \text{С}$ не только ночью, а весь день. В этом случае во всех формулах вместо $t_\text{N}$ будет фигурировать $\tau_\text{сутки}$ и финальный ответ на $M$:

$$M = 5.7~\text{рубля}.$$ 

Оба ответа засчитываются как правильные.