A0  ^0.20 Запишите в листах ответов ваше значение угла $\theta$. Запишите все прямые измерения, в том числе использованные для определения вашего значения угла $\theta$.

Измерим и запишем высоту футляра: 

$h_c = (22\pm1)~мм$ 

Один из концов уголка всегда будет находится на краю футляра и его высота будет равна $h_c$.

Второй конец закрепим в штативе, и выровняем так, чтобы уголок был симметричен относительно вертикальной плоскости.

$h = (109\pm 1)~мм,$

$l_0 = (998\pm1)~мм,$

высота второго конца, и длина уголка соответственно.

$$\theta = \arcsin(\frac{h-h_c}{l_0})=(5.0 \pm 0.1)~^\circ$$

A1  ^1.30 Снимите зависимость времени скатывания шарика $t$ от расстояния $\ell$, которое он проходит при этом по профилю (не менее 3 повторений при не менее чем 5 значениях $\ell$).

Линеаризуйте полученную зависимость так, чтобы минимизировать возможную систематическую ошибку в измерении времени.

$l,~мм$	$\sqrt{l}, м^{1/2}$	$t_1,~с$	$t_2,~с$	$t_3,~с$	$t_\mathrm{avg},~с$	$\Delta t,~c$
200	0.447	1.12	1.05	1.03	1.08	0.25
400	0.632	1.47	1.42	1.43	1.44	0.23
600	0.775	1.84	1.8	1.76	1.80	0.24
800	0.894	2.04	1.98	2.01	2.01	0.23
995	0.997	2.22	2.28	2.24	2.25	0.23
$\pm$2	$\pm <1\%$

Получим теоретическую зависимость $t(l)$.

$$K + U = \mathrm{const} ~\Rightarrow ~\frac{9}{10}m\dot x^2 = mgx \sin{\theta},$$

где $x$ — координа от точки начала движения вдоль уголка.

$$\frac{9}{5}\dot x \ddot x = g \dot x \sin{\theta}$$

$$\ddot x = a = \frac{5}{9} g \sin{\theta}$$

Показали, что движение с постоянным ускорением, значит:

$$\frac{at^2}{2} = l ~\Rightarrow ~t = \sqrt{\frac{18}{5g \sin{\theta}}} \sqrt{l}$$

Выберем линеаризацию $t(\sqrt{l})$, т.к. погрешность определения времени (в т.ч. систематическая) намного больше погрешности $l$.

Примечание.

Рассмотрим, каким образом получается $K = \frac{9}{10}mv^2$.

Момент инерции однородного шара относительно оси проходящей через его центр:

$$I_\mathrm{c} = \dfrac{2}{5}mr^2$$

Кин. энергия такого шара из энергии движения центра масс и энергии вращения:

$$K = K_\mathrm{CM} + K_\mathrm{rot} = \frac{1}{2} \left(mv^2 + I_\mathrm{c} \omega^2 \right)$$

Найдем кин связь между $v$ и $\omega$:

Т.к. угол раствора уголка $90~^\circ$, то расстояние от оси вращения (прямой проходящей через две точки касания шариком уголка) до центра масс $r_\mathrm{c} = r/\sqrt{2}$. Тогда:

$$\omega = \frac{\sqrt{2} v}{r}$$

$$K = \frac{9}{10} mv^2$$

 

A2  ^1.00 Постройте график полученной линеаризованной зависимости.

Определите ускорение свободного падения $g$. Оцените погрешность.

Примечание.
Кинетическая энергия шарика, катящегося по прямоугольному V-образному жёлобу со скоростью $v$, равна \[K = \dfrac{9}{10}mv^2,\]где $m$ — масса шарика.

Примечание. Кресты по оси $x$ малы.

$$k' = (2.3 \pm 0.6)~\dfrac{с}{м^{1/2}}$$

$$g = \dfrac{18}{5 k'^2 \sin{\theta}}$$

B1  ^2.40 Снимите зависимость тормозного пути шарика $L$ от расстояния $\ell$, которое он проходит при этом по профилю (не менее 5 значений $\ell$ и не менее 3 повторений при каждом значении $\ell$).

Примечание. Все измерения этой части были сняты одновременно с имерениями части А.

 

$l,~мм$	$\sqrt{l},~м^{1/2}$	$L_1,~мм$	$L_2,~мм$	$L_3,~мм$	$L_\mathrm{avg},~мм$	$\Delta L,~мм$
200	0.447	12	11	8	10	4
400	0.632	23	24	20	22	4
600	0.775	37	40	35	37	5
800	0.894	49	53	45	49	6
998	0.997	63	63	67	64	4
$\pm$2	$\pm <1\%$

 

B2  ^1.60 Линеаризуйте зависимости для обеих моделей и постройте линеаризованные графики. Анализируя графики, выберите модель, которая лучше описывает полученную зависимость.

$$v_0^2 = \frac{10}{9} g l \sin{\theta},$$

где $v_0$ — скорость шарика прямо перед ударом о песок.

Т.к. угол крайне мал ($1 - \cos{\theta} \sim 10^{-3}$), а также указано пренебречь ударом о песок, то можем записать, что начальная скорость качения (скольжения) шарика по песку также равна $v_0$.

Линеаризуем зависимости $L(l)$ для двух моделей:

Сухое трение:

$$\mu_\mathrm{eff}g L= \frac{1}{2}v_0^2,$$

т.к. считаем шарик мат. точкой при движении в песке. Тогда:

$$L = \frac{5\sin{\theta}}{9\mu_\mathrm{eff}} l$$

Вязкое трение:

Введем ось $x$ вдоль линии движения шарика в песке:

$$m \ddot x = -k \dot x$$

Интегрируя два раза получаем:

$$\dot x = v_0 e^{-\frac{kt}{m}}$$

$$L = \frac{mv_0}{k}$$

$$L = \frac{m}{k}\sqrt{\dfrac{10g \sin{\theta}}{9}} \sqrt{l}$$

 

Примечание. Кресты по оси $x$ малы.

Видно, что второй график намного лучше ложится на параболу, чем на прямую. Прямая на втором графике проведена через ноль для наглядности неприменимости модели. Исходя из этого выберем модель.

B3  ^0.50 Исходя из выбранной модели, вычислите значение коэффициента $\mu_{\textrm{eff}}$ или $k$. Оцените погрешность.

Из первого графика найдем $\mu_\mathrm{eff}$:
$$k'' = 0.07 \pm 0.01$$$$\mu_\mathrm{eff} = \frac{5 \sin{\theta}}{9 k''}$$