| Общие замечания по разбалловке: | ||
2
|
|
|
| 3 $|\textbf{P} - \textbf{r}_1| = |\textbf{R}| = R$. | 0.10 |
|
| 4 Расстояние до второго электрона записано через вектор $\textbf{r}$: $|\textbf{P} - \textbf{r}_2 | = |\textbf{R} - (\textbf{r}_2 - \textbf{r}_1)| = |\textbf{R} - \textbf{r}|$. | 0.10 |
|
| 5 Выполнено разложение до первого порядка: $|\textbf{R} - \textbf{r}| = R - \hat{s}_f\cdot\textbf{r}$, где $\hat{s}_f = \textbf{R} / R$. | 0.20 |
|
| 6 Направление исходящей волны выражено через волновой вектор: $\hat{s} = \textbf{k}_f / k_f$. | 0.10 |
|
|
7
Получено окончательное выражение: $\Delta L_\text{out} \simeq \hat{s}_f\cdot\textbf{r} = \textbf{r}\cdot\dfrac{\textbf{k}_f}{k_f}$. Примечание: если в работе разность хода определена в обратном порядке и получен ответ $- \textbf{r}\cdot\dfrac{\textbf{k}_f}{k_f}$, то ставится полный балл (если правило вычитания указано или используется на постоянно) . |
0.10 |
|
Ответ выразите через $\mathbf{q}$ и $\mathbf{r}$. Разность фаз определяется как $\Delta\phi\equiv\phi_1-\phi_2$, где $\phi_1$ и $\phi_2$ — фазы вкладов от электронов в точках $r_1$ и $r_2$.
|
1
Записана разность фаз для падающей волны (с учётом выбранного правила знака): $\Delta \phi_{\text{in}} = \textbf{k}_i \textbf{r}_1- \textbf{k}_i \textbf{r}_2 = -\textbf{k}_i \textbf{r}$. |
0.10 |
|
|
2
Записана разность фаз для исходящей волны: $\Delta \phi_{\text{out}} = k\Delta L_\text{out} = k\textbf{r}\cdot \dfrac{\textbf{k}_f}{k_f} =\textbf{k}_f\textbf{r}$. |
0.10 |
|
|
3
Скомбинированы оба вклада: $\Delta \phi = \Delta \phi_\text{in} + \Delta \phi_\text{out} = (-\textbf{k}_i +\textbf{k}_f)\cdot\textbf{r}$. |
0.10 |
|
|
4
Записано с использованием $\textbf{q} = \textbf{k}_f - \textbf{k}_i$: $\Delta \phi = (\textbf{k}_f -\textbf{k}_i )\cdot\textbf{r} = \textbf{q}\textbf{r}$. Примечание: ответ $- \textbf{q}\textbf{r}$, оценивается полным баллом, если в работе принято противоположное правило знаков. |
0.10 |
|
Найдите полную комплексную амплитуду дифрагированной волны, рассеянной на двух электронах. Ответ выразите через $\mathbf{q}$ и $\mathbf{r}$, а также введенную величину $f_0$. Общим фазовым множителем можно пренебречь, поскольку он не влияет на интенсивность.
| 1 Записана правильная амплитуда от одного электрона: $\tilde{A}_n = f_0e^{-i\textbf{q}\cdot\textbf{r}_n}$ или $\tilde{A}_n = f_0e^{+i\textbf{q}\cdot\textbf{r}_n}$ в соответсвии с выбранным правилом знаков. | 0.20 |
|
| 2 $\tilde{A}_\text{tot} = f_0e^{-i\textbf{q}\cdot\textbf{r}_1} + f_0e^{-i\textbf{q}\cdot\textbf{r}_2}$. | 0.20 |
|
|
3
Общая фаза вынесена за скобки и выражена относительная фаза через $\textbf{r} = \textbf{r}_2 - \textbf{r}_1$, например $\tilde{A}_\text{tot} = f_0e^{-i\textbf{q}\textbf{r}_2}(1 + e^{i\textbf{q} (\textbf{r}_2 - \textbf{r}_1)})= f_0e^{-i\textbf{q}\textbf{r}_2}(1 + e^{i\textbf{q} \textbf{r}})$ . |
0.10 |
|
|
4
Итоговый ответ после отбрасывания общей фазы, например $\tilde{A}_\text{tot} = f_0(1 + e^{i\textbf{q} \textbf{r}})$ или $2f_0e^{i\textbf{q}\textbf{r} / 2}\cos\left(\dfrac{\textbf{q}\textbf{r}}{2}\right)$. Комплексносопряжённая форма $f_0(1 + e^{-i\textbf{q} \textbf{r}})$ оценивается полным баллом, поскольку соответствует такой же интенсивности. |
0.10 |
|
| 1 Записано определение интенсивности: $I = |\tilde{A}_\text{tot}|^2 = f_0^2|1+e^{i\textbf{q}\textbf{r}}|^2$ | 0.10 |
|
| 2 Коррктно раскрыт квадрат модуля: $|1+e^{ix}|^2 = (1+e^{ix})(1+e^{-ix}) = 2 + 2\cos{x}$ | 0.20 |
|
| 3 Итоговый ответ в одной из форм: $I = 2f_0^2(1 + \cos(\textbf{q}\textbf{r}))$ или $I = 4f_0^2\cos^2(\textbf{q}\textbf{r}/2)$. | 0.10 |
|
| 1 Полное поле и усреднение по времени: $E(t) = E_1(t) + E_2(t),\quad \langle I \rangle_t = \langle |E_1(t) + E_2(t)|^2\rangle_t$. | 0.20 |
|
| 2 Квадрат раскрыт и выделен интерференционный член: $|E_1 + E_2|^2 = |E_1|^2 + |E_2|^2 + 2\Re\langle E_1E_2^*\rangle, \quad \langle I\rangle_t = 2I_0 + 2\Re\langle E_1E_2^*\rangle_t$. | 0.30 |
|
| 3 Интерференционный член записан через усреднение фазы по времени: $\langle E_1E_2^*\rangle_t = E_0^2\langle e^{i[\varphi_1(t) - \varphi_2(t)]}\rangle_t$. | 0.25 |
|
| 4 Выделены детерминированная и случайная фазы, определена детерминированная часть: $\varphi_1(t) - \varphi_2(t)=\Delta \varphi + \delta \varphi(t),\quad \Delta \varphi = \textbf{q}\cdot\textbf{r}$. | 0.30 |
|
| 5 Явно определён множитель, соответствующий видности: $\mu(\Delta t) = \langle e^{i\delta \phi(t)}\rangle_t,\quad \langle E_1E_2^*\rangle_t = E_0^2 \mu(\Delta t)e^{i\Delta \phi}$. | 0.20 |
|
|
6
Записана вероятность попасть в один временной интервал в модели фазового прыжка: \[ P_\text{same} (\Delta t) = \begin{cases} 1 - |\Delta t|/t_0,& |\Delta t | < t_0,\\ 0, &|\Delta t| \geq0, \end{cases} \] где $P_\text{same} = \text{Pr}\{t \text{ и } t + \Delta t \text{ лежат в одном временном интервале длины } t_0\}$. |
0.35 |
|
| 7 Выполнено усреднение для случайной фазы: $e^{i\delta \varphi} = 1$ для попадания в один интервал, $\langle e^{i\delta \varphi}\rangle = 0$ для разных участков, и таким образом, $\mu (\Delta t) = P_\text{same}(\Delta t)$. | 0.25 |
|
| 8 Задержка по времени связана с разностью хода/разностью фаз: $\Delta \varphi =\dfrac{2\pi}{\lambda_0}\Delta l = \textbf{qr},\quad |\Delta t| = \dfrac{\Delta l}{c} = \dfrac{\lambda_0}{2\pi c}|\textbf{qr}|,\quad t_0 = \dfrac{L_0}{c}$. | 0.20 |
|
| 9 Записана правильная итоговая формула для интенсивности, включающая случай отсутствия интерференции: $\langle I\rangle_t = 2I_0[1 + \mu\cos\textbf({qr})]$, где $\mu = 1 - \dfrac{\lambda_0}{2\pi L_0}|\textbf{qr}|$ внутри области когерентности, $\langle I\rangle_t = 2I_0$ за её пределами. | 0.25 |
|
| 1 Указано или используется выражение для полного заряда через распределение плотности: $Q_0 = \int \rho_2(\textbf{r})d^3\textbf{r}$. | 0.10 |
|
|
2
Гауссов интеграл для полного заряда записан в сферических координатах: $\int \rho_2(\textbf{r})d^3\textbf{r} = \rho_0\int_0^\infty e^{-r^2/R_0^2}4\pi r^2dr$. |
0.10 |
|
| 3 Использовано значение Гауссового интеграла: $\int \rho_2(\textbf{r})d^3\textbf{r} = \rho_0\pi^{3/2}R_0^3$. | 0.10 |
|
| 4 Записана нормировка: $Q_0 = \rho_0\pi^{3/2}R_0^3$ или $\rho_0 = \dfrac{Q_0}{\pi^{3/2}R_0^3}$. | 0.10 |
|
| 1 Используется приведённое в условии тождество для преобразования Фурье с $\alpha = 1 / R_0^2$ и $k = q$: $A_2(\textbf{q}) = \rho_0\int_\mathbb{R^3} e^{-r^2 / R_0^2}e^{i\textbf{qr}}d^3\textbf{r} = \pi^{3/2} R_0^3 \exp\left(-\dfrac{q^2 R_0^2}{4}\right).$ | 0.10 |
|
| 2 Выполнено преобразование Фурье: $\int_\mathbb{R^3} e^{-r^2 / R_0^2}e^{i\textbf{qr}}d^3\textbf{r} = \pi^{3/2} R_0^3 \exp\left(-\dfrac{q^2 R_0^2}{4}\right)$. | 0.12 |
|
| 3 Использована нормировка из C1 $\rho_0\pi^{3/2}R_0^3 = Q_0$ и получено $A_2(\textbf{q}) = Q_0 \exp\left(-\dfrac{q^2 R_0^2}{4}\right).$ | 0.13 |
|
| 4 Выполнено сравнение с амплитудой от точечного заряда $A_1(\textbf{q}) = Q_0$, например записано $\dfrac{A_2(\textbf{q})}{A_1(\textbf{q})}=\exp{\left(-\dfrac{q^2R_0^2}{4}\right)}$ или указано, что амплитуда от размазанного заряда уменьшается по сравнению с точечным при ненулевом $\textbf{q}$ и совпадает с амплитудой от точечного заряда при $\textbf{q} = 0$. Баллы за нахождение $A_1(\textbf{q})$ не начисляются. | 0.05 |
|
| 1 Амплитуды возведены в квадрат и получено: $\dfrac{I_2}{I_1} = \left |\dfrac{A_2}{A_1}\right|^2 = \exp{\left(-\dfrac{q^2R_0^2}{2}\right)}$. | 0.10 |
|
| 2 Подставлено $q = 2/R_0$ и получено $\dfrac{I_2}{I_1} = \exp{\left[-\dfrac{(2/R_0)^2R_0^2}{2}\right]} = e^{-2} \simeq0.14$. | 0.10 |
|
| 3 Вместо отношения интенсивностей получено отношение амплитуд $e^{-1}$ | -0.10 |
|
|
1
Записана амплитуда от одного столбца как геометрическая прогрессия в преобразованном виде: \[ A_N(q_z) = \sum_{n = 0}^{N-1} e^{iq_z nd} = \dfrac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}. \] |
0.25 |
|
| 2 Использовано усреднение с учётом когерентности вкладов от слоёв: $\langle A(q_z)\rangle = \int P(N)A_N(q_z)dN,\quad I(q_z) = |\langle A(q_z)\rangle|^2$. | 0.25 |
|
| 3 В усреднение подставлена формула для геометрической прогрессии: $\langle A(q_z)\rangle = \dfrac{1-\langle e^{iq_zNd}\rangle}{1- e^{iq_zd}}$. | 0.20 |
|
| 4 Вектор рассеяния разложен на две составляющие: $q_z = Q_z + \Delta q_z,~ Q_z = \dfrac{2\pi m}{d}$. Для целых $N$ использовано $e^{iQ_z Nd} = e^{i2\pi mN} = 1,$ следовательно, $\langle e^{iq_z Nd}\rangle = \langle e^{i\Delta q_z Nd}\rangle$. | 0.25 |
|
|
5
Записано \[ \langle e^{i\Delta q_z Nd}\rangle = \int_{-\infty}^\infty P(N) e^{i\Delta q_z Nd} dN. \] |
0.08 |
|
|
6
$\xi = N - \overline{N}\Rightarrow N = \overline{N} + \xi,~dN = d\xi$: \[ \langle e^{i\Delta q_z Nd}\rangle = e^{i\Delta q_z \overline{N} d}\int_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\dfrac{\xi^2}{2\sigma^2} + i\Delta q_z d\xi\right]\,d\xi. \] |
0.10 |
|
|
7
Правильно выделен полный квадрат: \[ -\dfrac{\xi^2}{2\sigma^2} + i\Delta q_z d\xi = -\dfrac{(\xi - i\sigma^2\Delta q_z d)^2}{2\sigma^2}-\dfrac{1}{2}(\Delta q_z d)^2\sigma^2. \] |
0.12 |
|
| 8 Вычислен интеграл: $\langle e^{i\Delta q_z N d}\rangle = e^{i\Delta q_z \overline{N}d}e^{-\frac{1}{2}(\Delta q_z d)^2\sigma^2}$. | 0.10 |
|
| 9 Получена средняя амплитуда $\langle A(q_z)\rangle = \dfrac{1-e^{i\Delta q_z \overline{N}d}e^{-\frac{1}{2}(\Delta q_z d)^2 \sigma^2}}{1 - e^{iq_z d}}$. | 0.20 |
|
|
10
Вычислена средняя интенсивность: $I(q_z) = \dfrac{1 - 2e^{-\frac{1}{2}(\Delta q_z d)^2\sigma^2}\cos(\Delta q_z \overline{N} d) + e^{-(\Delta q_z d)^2\sigma^2}}{4\sin^2(q_zd/2)}$. |
0.30 |
|
|
11
Посчитаны параметры при $q_z = \pi /2d$: \[ \Delta q_z = \pi /2d, \quad \Delta q_z \overline N d = 5\pi /2,\quad \cos(5\pi / 2) = 0,\quad \sigma^2 = 0.4^2 = 0.16 . \] |
0.10 |
|
| 12 Получено отношение интенсивностей: $\dfrac{I(\sigma = 0.4)}{I(\sigma = 0)}=\dfrac{1 + e^{-(\pi /2)^2 0.4^2}}{2}=\dfrac{1+e^{-\pi^2/25}}{2}\simeq 0.84$. | 0.20 |
|
| 13 Во втором случае рассмотрен предел \[q_z = 2\pi / d\Rightarrow \Delta q_z = 0, \lim_{q_z \to 2\pi / d}{A_N(q_z)} = N.\] | 0.15 |
|
|
14
Получен второй ответ $\dfrac{I(q_z = 2\pi /d, \sigma = 0.4, \overline{N}=5)}{I(q_z = 2\pi /d,\sigma = 0, \overline{N} = 5)}= 1$. |
0.10 |
|
| 1 Определены фазы чередующихся слоёв при $\textbf{q} = (\pi/d)\hat{\textbf{z}}:~e^{iq_znd}=e^{i(\pi /d)nd}=(-1)^n$. | 0.40 |
|
|
2
Записана амплитуда от $N$ полных слоёв и слоя с долей покрытия $\theta$: \[ A(N,\theta) = f_0\left[\sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n + \theta(-1)^N\right]. \] |
0.50 |
|
|
3
Указаны два состояния: \[ t = 0.8t_0:\quad N = 0,\quad \theta = 0.8,\\ t = 3.6t_0:\quad N = 3,\quad \theta = 0.6. \] |
0.40 |
|
|
4
Посчитаны амплитуда и интенсивность для первого слоя: \[ A(0,0.8) = 0.8f_0, I(0.8t_0) = |0.8f_0|^2 = 0.64f_0^2. \] |
0.35 |
|
|
5
Посчитаны вторая амплитуда и интенсивность: \[ \sum_{n=0}^2(-1)^n = 0, \quad A(3, 0.6) = f_0(1+0.6(-1)^3) = 0.4f_0,\\ I(3.6t_0)=|0.4f_0|^2 = 0.16f_0^2. \] |
0.35 |
|
|
6
Записан финальный ответ: \[ \dfrac{I(0.8t_0)}{I(3.6t_0)}=\dfrac{0.64f_0^2}{0.16f_0^2} = 4. \] |
0.30 |
|