Если $|\textbf{P} - \textbf{r}_1| = |\textbf{R}| =R$ – расстояние до первого электрона, то расстояние до второго электрона равно $|\textbf{P} - \textbf{r}_2 | = |\textbf{R} - (\textbf{r}_2 - \textbf{r}_1)| = |\textbf{R} - \textbf{r}|$. С учётом малости $r$ имеем $|\textbf{R} - \textbf{r}| = R - \hat{s}_f\cdot\textbf{r}$, где $\hat{s}_f = \textbf{R} / R$. Единичный вектор $\hat{s}_f$ задаёт направление исходящей волны, т.е. $\hat{s} = \textbf{k}_f / k_f$. Отсюда получаем окончательно:

Ответ выразите через $\mathbf{q}$ и $\mathbf{r}$. Разность фаз определяется как $\Delta\phi\equiv\phi_1-\phi_2$, где $\phi_1$ и $\phi_2$ — фазы вкладов от электронов в точках $r_1$ и $r_2$.

Разность фаз падающей плоской волны в точках расположения двух электронов равна

\[\Delta \phi_{\text{in}} = \textbf{k}_i \textbf{r}_1- \textbf{k}_i \textbf{r}_2 = -\textbf{k}_i \textbf{r}.\]

После рассеяния на электронах набегает дополнительная разность фаз

\[\Delta \phi_{\text{out}} = k\Delta L_\text{out} =  k\textbf{r}\cdot \dfrac{\textbf{k}_f}{k_f} =\textbf{k}_f\textbf{r}.\]

Тогда разность фаз между волнами от двух электронов на детекторе составляет

\[\Delta \phi = \Delta \phi_\text{in} + \Delta \phi_\text{out} = (-\textbf{k}_i +\textbf{k}_f)\cdot\textbf{r}.\]

С учётом $\textbf{q} = \textbf{k}_f - \textbf{k}_i$ получаем окончательно:

Найдите полную комплексную амплитуду дифрагированной волны, рассеянной на двух электронах. Ответ выразите через $\mathbf{q}$ и $\mathbf{r}$, а также введенную величину $f_0$. Общим фазовым множителем можно пренебречь, поскольку он не влияет на интенсивность.

Комплексная амплитуда дифрагированной волны, рассеянной от двух электронов, равна
\[\tilde{A}_\text{tot} = f_0e^{i\phi_1} + f_0e^{i\phi_2}.\]Вынося за скобки общую фазу, получаем
\[\tilde{A}_\text{tot} = f_0e^{i\phi_2}(1 + e^{i\Delta \phi})= f_0e^{i\phi_2}(1 + e^{i\textbf{q} \textbf{r}}).\]Тогда с точностью до общего фазового множителя (который не влияет на интенсивность) получаем

По определению интенсивность задаётся выражением
\[I = |\tilde{A}_\text{tot}|^2 = f_0^2|1+e^{i\textbf{q}\textbf{r}}|^2.\]Квадрат модуля такого комплексного выражения можно раскрыть как
\[|1+e^{ix}|^2 = (1+e^{ix})(1+e^{-ix}) = 2 + 2\cos{x}.\]Тогда интенсивность равна

По принципу суперпозиции напряжённость поля на детекторе определяется суммой полей от двух электронов: \[E(t) = E_1(t) + E_2(t).\] Интенсивность задаётся квадрата модуля: \[ \langle I \rangle_t = \langle |E_1(t) + E_2(t)|^2\rangle_t.\] При раскрытии квадрата модуля можно выделить интерференционный член: \[\langle I\rangle_t = |E_1 + E_2|^2 = |E_1|^2 + |E_2|^2 + 2\Re\langle E_1E_2^*\rangle = 2I_0 + 2\Re\langle E_1E_2^*\rangle_t.\] Интерференционный член записывается как \[\langle E_1E_2^*\rangle_t = E_0^2\langle e^{i[\varphi_1(t) - \varphi_2(t)]}\rangle_t,\] где $\varphi(t) = kl -\omega t + \phi(t)$. Здесь $l$ – длина пройденного пути, а случайная фаза $\phi(t)$ обозначает фазу источника в момент испускания волны. Т.е. эта фаза должна быть взята в момент времени $t - l/c$. Поскольку рассматриватся разность фаз на детекторе в один и тот же момент времени $t$, а волны, испытавшие рассения на разных электронах, проходят разный путь, между моментами испускания волн источником возникает задержка по времени $\Delta t = \Delta l / c$.  Таким образом, в разности фаз можно выделить постоянную и случайную составляющие: \[\varphi_1(t) - \varphi_2(t) = \Delta \varphi + \delta\varphi(t),\] где $\Delta \varphi = \textbf{q}\cdot\textbf{r}$, а $\delta \varphi(t) = \phi(t-\Delta t) - \phi(t)$. Тогда в выражении для интенсивности можно выделить множитель, соответствующий видности:

\[ \langle E_1E_2^*\rangle_t = E_0^2 \mu(\Delta t)e^{i\Delta \varphi},\quad \mu(\Delta t) = \langle e^{i\delta \varphi(t)}\rangle_t.\]

Видность определяется вероятностью $P_\text{same} (\Delta t)$ того, что моменты испускания волн окажутся в одном временном интервале длительностью $t_0$. При этом \[
P_\text{same} (\Delta t) = \begin{cases} 1 - |\Delta t|/t_0,& |\Delta t | < t_0,\\
0, &|\Delta t| \geq0.
\end{cases}
\]

При попаданании в один временной интервал длитльности $\Delta t$ выполняется $e^{i\delta \varphi} = 1$, а при попадании в разные усреднение даёт $\langle e^{i\delta \varphi} \rangle= 0$. Отсюда \[\mu (\Delta t) = P_\text{same}(\Delta t).\]

Задержка по времени связана с разностью хода:

\[|\Delta t| = \dfrac{|\Delta l|}{c} =\dfrac{|\textbf{q}\textbf{r}|}{kc}= \dfrac{\lambda_0}{2\pi c}|\textbf{qr}|,\quad t_0 = \dfrac{L_0}{c}.\]

Отсюда получаем:

Полный заряд задаётся интегралом от распределения плотности:
\[Q_0 = \int \rho_2(\textbf{r})d^3\textbf{r}.\]В сферических координатах интеграл записывается как
\[\int \rho_2(\textbf{r})d^3\textbf{r} = \rho_0\int_0^\infty e^{-r^2/R_0^2}4\pi r^2dr.\]Используя Гауссов интеграл из условия, можем записать
\[\int \rho_2(\textbf{r})d^3\textbf{r} = \rho_0\pi^{3/2}R_0^3.\]

Использя приведённое в условии тождество для преобразования Фурье с $\alpha = 1 / R_0^2$ и $k = q$, находим \[A_2(\textbf{q}) = \rho_0\int_\mathbb{R^3} e^{-r^2 / R_0^2}e^{i\textbf{qr}}d^3\textbf{r} = \pi^{3/2} R_0^3 \exp\left(-\dfrac{q^2 R_0^2}{4}\right).\]С учётом нормировки из C1 $\rho_0\pi^{3/2}R_0^3 = Q_0$ получаем \[A_2(\textbf{q}) = Q_0 \exp\left(-\dfrac{q^2 R_0^2}{4}\right).\] Сравним с амплитудой от точечного заряда:
\[\dfrac{A_2(\textbf{q})}{A_1(\textbf{q})}=\exp{\left(-\dfrac{q^2R_0^2}{4}\right)}.\]Таким образом, амплитуда от размазанного заряда уменьшается по сравнению с точечным при ненулевом $\textbf{q}$ и совпадает с амплитудой от точечного заряда при $\textbf{q} = 0$.

Отношение интенсивностей \[\dfrac{I_2}{I_1} = \left |\dfrac{A_2}{A_1}\right|^2 = \exp{\left(-\dfrac{q^2R_0^2}{2}\right)}.\]При $q = 2/R_0$ находим

Амплитуда от одного столбца задаётся выражением \[ A_N(q_z) = \sum_{n = 0}^{N-1} e^{iq_z nd} = \dfrac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}. \] Усреднение по числу слоёв даёт \[\langle A(q_z)\rangle = \int P(N)A_N(q_z)dN=\dfrac{1-\langle e^{iq_zNd}\rangle}{1- e^{iq_zd}},\quad I(q_z) = |\langle A(q_z)\rangle|^2.\] Вектор рассеяния можно разложить на две составляющие: \[q_z = Q_z + \Delta q_z,\quad Q_z = \dfrac{2\pi m}{d}.\] Это важно, поскольку \[ e^{iq_zNd} = e^{iQ_zNd} e^{i\Delta q_z Nd} = e^{i2\pi mN}e^{i\Delta q_z Nd}= e^{i\Delta q_z Nd},\] а значит, на результат интерференции влияет только $\Delta q_z$. Для вычисления интеграла $\langle e^{i\Delta q_z Nd}\rangle = \int_{-\infty}^\infty P(N) e^{i\Delta q_z Nd} dN$ удобно сделать замену $\xi = N - \overline{N}\Rightarrow N = \overline{N} + \xi,~dN = d\xi:$ \[ \langle e^{i\Delta q_z Nd}\rangle = e^{i\Delta q_z \overline{N} d}\int_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\dfrac{\xi^2}{2\sigma^2} + i\Delta q_z \xi d\right]\,d\xi. \] В показателе экспоненты можно выделить полный квадрат: \[ -\dfrac{\xi^2}{2\sigma^2} + i\Delta q_z d\xi = -\dfrac{(\xi - i\sigma^2\Delta q_z d)^2}{2\sigma^2}-\dfrac{1}{2}(\Delta q_z d)^2\sigma^2. \] Полученный интеграл является Гауссовым: \[ \langle e^{i\Delta q_z Nd}\rangle = e^{i\Delta q_z \overline{N} d -\frac{1}{2}(\Delta q_z d)^2\sigma^2}\int_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\dfrac{(\xi - i\sigma^2\Delta q_z d)^2}{2\sigma^2}\right]\,d\xi = e^{i\Delta q_z \overline{N}d}e^{-\frac{1}{2}(\Delta q_z d)^2\sigma^2}. \] Тогда средняя комплексная амплитуда равна \[\langle A(q_z)\rangle = \dfrac{1-e^{i\Delta q_z \overline{N}d}e^{-\frac{1}{2}(\Delta q_z d)^2 \sigma^2}}{1 - e^{iq_z d}},\] а интенсивность \[ I(q_z) = \dfrac{1 - 2e^{-\frac{1}{2}(\Delta q_z d)^2\sigma^2}\cos(\Delta q_z \overline{N} d) + e^{-(\Delta q_z d)^2\sigma^2}}{4\sin^2(q_zd/2)}.\]

Примечание: в этом выражении важно, что в показателе экспоненты стоит именно $\Delta q_z$. 

При $q_z = \pi /2d$ имеем:

\[
\Delta q_z = \pi /2d, \quad \Delta q_z  \overline N d  = 5\pi /2,\quad \cos(5\pi / 2) = 0,\quad \sigma^2 = 0.4^2 = 0.16 .
\]

Отсюда отношение интенсивностей 

\[\dfrac{I(\sigma = 0.4)}{I(\sigma = 0)}=\dfrac{1 - 2e^{-\frac{1}{2}(\Delta q_z d)^2\sigma^2}\cos(\Delta q_z \overline{N} d) + e^{-(\Delta q_z d)^2\sigma^2}}{2 - 2\cos(\Delta q_z \overline{N} d) }=\dfrac{1 + e^{-(\pi /2)^2 0.4^2}}{4\cdot\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1+e^{-\pi^2/25}}{2}\simeq 0.84.\]

Во втором случае при $q_z = 2\pi / d$ имеем $\Delta q_z = 0$. Отсюда 

\[\lim_{q_z \to 2\pi / d}{A_N(q_z)}=\dfrac{1-e^{i\Delta q_z \overline{N}d}e^{-\frac{1}{2}(\Delta q_z d)^2 \sigma^2}}{1 - e^{iq_z d}} = N.\]

Примечание 1: Этот результат можно получить и независимо. Действительно, при $q_z = 2\pi / d$ вклады разных слоёв синфазны, а значит, важно лишь среднее число слоёв, которое в обоих случаях одинаково.

Примечание 2: Выражение с $q_z$ в показателе экспоненты приведёт к неправильному ответу.

Этот результат не зависит от $\sigma$, т.е.

\[\dfrac{I(q_z = 2\pi /d, \sigma = 0.4, \overline{N}=5)}{I(q_z = 2\pi /d,\sigma = 0, \overline{N} = 5)}= 1.\]

Можно заметить, что при $\textbf{q} = (\pi/d)\hat{\textbf{z}}$ поля от соседних слоёв складываются в противофазе:
\[e^{iq_znd}=e^{i(\pi /d)nd}=(-1)^n.\]Тогда комплексная амплитуда от $N$ полных слоёв и слоя с долей покрытия $\theta$ равна
\[A(N,\theta) = f_0\left[\sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n + \theta(-1)^N\right].\]В рассматриваемые моменты времени:
\[
t = 0.8t_0:\quad N = 0,\quad \theta = 0.8,\\ t = 3.6t_0:\quad N = 3,\quad \theta = 0.6.
\]

В первом случае \[
A(0,0.8) = 0.8f_0, I(0.8t_0) = |0.8f_0|^2 = 0.64f_0^2.
\]
Во втором случае
\[
\sum_{n=0}^2(-1)^n = 0, \quad A(3, 0.6) = f_0(1+0.6(-1)^3) = 0.4f_0,\\
I(3.6t_0)=|0.4f_0|^2 = 0.16f_0^2.
\]
Окончательно