Дифракционные картины возникают в результате интерференции рентгеновского излучения на кристалле. Мы можем предсказать дифракционные картины, сложив комплексные амплитуды волн с учетом правильных фаз. Рассмотрим монохроматическую волну, характеризующуюся (вещественной) амплитудой $A\ge0$ и фазой $\phi$. Определим комплексную амплитуду $\tilde{A}$ как
$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$
так что (вещественная) амплитуда волны равна модулю (абсолютному значению) $\tilde{A}$, а $\phi$ — её фазе. Таким образом, в одном комплексном числе $\tilde{A}$ содержится информация как об амплитуде, так и о фазе волны. В этой задаче определим безразмерную интенсивность как квадрат модуля полной комплексной амплитуды:
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
В это определение включены стандартные экспериментальные и геометрические коэффициенты пропорциональности, такие как чувствительность детектора, нормировка по интенсивности падающего пучка и общие коэффициенты, связанные с распространением волны. Однако, для рассеяния на одном точечном электроне амплитуда $f_0$ будет задана в явном виде.
Когда на кристалл падает волна, она взаимодействует с кристаллической решеткой, и рассеянные (дифрагированные) волны интерферируют друг с другом. Интенсивность результирующей волны можно рассчитать так: сложить комплексные амплитуды отдельных дифрагированных волн с учетом разности фаз между ними, а затем вычислить квадрат модуля результирующей общей комплексной амплитуды. Дифракция возникает в основном в результате взаимодействия с электронами, а вклад более тяжёлых частиц, таких как ядра, обычно пренебрежимо мал. Амплитуда волны, дифрагированной точечным электроном, зависит только от расстояния от электрона до детектора $R = |\mathbf{R}|$. Поскольку $R $ намного больше размеров образца, изменением $R$ по образцу можно пренебречь. Таким образом, для расчета суммарной интенсивности нужно корректно учесть только разность фаз между отдельными дифрагированными волнами (а их амплитуды считать одинаковыми).
Пусть $\mathbf{k}_i$ и $\mathbf{k}_f$ — волновые векторы падающей и дифрагированной волн соответственно. Вектор рассеяния определяется как
$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i.$$
Модули волновых векторов считаются равными, поскольку длина волны не изменяется:
$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$
Рассмотрим два точечных электрона, расположенных в точках, заданных векторами $\mathbf{r}_1$ и $\mathbf{r}_2$. Определим $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. Детектор расположен в точке с радиус-вектором $\textbf{P}$. Определим $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$. На эти два электрона падает плоская волна $E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$, а дифрагированная волна наблюдается в дальней зоне вдоль направления $\mathbf{k}_f$. В части A общий множитель $e^{-i\omega t}$, зависящий от времени, игнорируется, поскольку только относительные фазы имеют значение.
A1 0.60 В приближении дальней зоны ($R\equiv|\mathbf R|\gg|\mathbf r|$) запишите разность геометрических путей рассеянного излучения $\Delta L_{\rm out}\equiv |\mathbf{P}-\mathbf{r}_1|-|\mathbf{P}-\mathbf{r}_2|$. Учитывайте только член первого порядка по $ |\mathbf r|/R$. Выразите ответ через $\mathbf r$ и $\mathbf k_f$ (или $\mathbf k_f/k_f$).
A2 0.40 Для точек $\mathbf{r}_1$ и $\mathbf{r}_2$ разность фаз также возникает и для падающей волны. Используя это и результат, полученный в A1, найдите разность фаз между двумя дифракционными вкладами на детекторе.
Ответ выразите через $\mathbf{q}$ и $\mathbf{r}$. Разность фаз определяется как $\Delta\phi\equiv\phi_1-\phi_2$, где $\phi_1$ и $\phi_2$ — фазы вкладов от электронов в точках $r_1$ и $r_2$.
A3 0.60 Обозначим $f_0$ действительную амплитуду волны, дифрагированной на единичном электроне. Она не зависит от его положения.
Найдите полную комплексную амплитуду дифрагированной волны, рассеянной на двух электронах. Ответ выразите через $\mathbf{q}$ и $\mathbf{r}$, а также введенную величину $f_0$. Общим фазовым множителем можно пренебречь, поскольку он не влияет на интенсивность.
Рассмотрим два точечных электрона, расположенных в точках $\mathbf{r}_1$ и $\mathbf{r}_2$, причем $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. На электроны падает плоская волна (длина волны $\lambda_0$, $k=2\pi/\lambda_0$ и $\omega=2\pi c/\lambda_0$), а дифрагированная волна наблюдается в дальней зоне вдоль $\mathbf{k}_f$. Падающая волна — это волна со случайной фазой, зависящей от времени,
$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$
где $\phi(t)$ — кусочно-постоянная функция, т.е. через равные промежутки времени $t_0$ принимает какое-то случайное постоянное значение.
$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$
где $L_0$ — некоторая известная постоянная величина. В начале каждого интервала длительностью $t_0$ величина $\phi(t)$принимает новое независимое значение, равномерно распределённое на $[0,2\pi)$.
Обозначим $I_0$ интенсивность на детекторе (усреднённую по времени), которая была бы получена при рассеянии на одиночном электроне в той же геометрии. В этой задаче считается, что детектор измеряет усредненную по времени интенсивность. Он регистрирует среднее значение интенсивности за время, намного превышающее интервал скачка фазы $t_0$: $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ Здесь $\langle \cdots \rangle_t$ обозначает среднее значение по многим интервалам скачка фазы.
B1 2.30 Используя приведенную выше модель, получите среднюю по времени суммарную интенсивность $\langle I\rangle_t$ на детекторе от двух электронов. Окончательный результат должен быть выражен через $I_0,$ $\mathbf{q}\equiv \mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ , вектор $\mathbf{r}$, длину волны $\lambda_0$ и величину $L_0$. Предполагается, что детектор усредняет по времени $\gg t_0$.
Электрон часто рассматривается как классическая точечная частица, однако в более реалистичной модели его заряд можно представить как распределенный по конечной области пространства. Рассмотрим два идеализированных распределения заряда:
$$\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|.$$
Константы $Q_0$ и $\rho_0$ выбираются таким образом, чтобы общий заряд был одинаковым в обоих случаях:
$$Q_0= \int_{\mathbb{R}^3} \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$
Здесь $\mathrm d^3 r$ обозначает элемент объёма в трёхмерном пространстве. В декартовых координатах $\mathrm d^3r=\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$, а $\displaystyle\int_{\mathbb R^3}$ означает интегрирование по всему пространству. Полезные тождества (можно использовать без доказательства):
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,\mathrm dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \qquad \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, \mathrm d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \quad \alpha>0.$$
Представим, что поверхность пленки (т.е. верхние атомные слои) не является идеально плоской, а имеет неровности. Обычно предполагается, что локальная толщина пленки (измеряемая в монослоях) подчиняется гауссовому распределению. Пусть $N$ — локальное количество полных монослоев (условия когерентности выполнены). $N$ изменяется вдоль поверхности и имеет нормальное распределение со средним значением $\bar N$ и среднеквадратичным отклонением $\sigma$ (оба в единицах монослоев):
$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
(Для расчета средних значений можно рассматривать $N$ как непрерывную величину.) Пусть $d$ — расстояние между соседними атомными слоями (монослоями), а $q_z$ обозначает компоненту вектора рассеяния $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$, перпендикулярную плоской поверхности пленки, т.е. $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$. При целом числе монослоев $N$ амплитуда рассеяния равна
$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
При усреднении по гауссовому распределению толщины мы рассматриваем $N$ как непрерывную величину и используем выражение в компактной форме
$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$
в качестве соответствующего непрерывного приближения. Предполагается, что измеренная интенсивность дифракции получена при условии когерентности,
$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$
Представим тонкопленочную структуру с простой кубической решеткой, выращенную на подложке в режиме послойного осаждения, т.е. каждый монослой завершается до того, как начинается рост следующего. Пусть $d$ — расстояние между соседними атомными слоями (монослоями), а $q_z$ — компонента $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$,перпендикулярная плоской поверхности пленки, т.е. $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$. По мере роста пленки ее толщина изменяется. Соответственно меняется и интенсивность дифракции при $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$. Расчёт проводится для этого вектора рассеяния (перпендикулярном плоскости). Все когерентные вклады монослоев суммируются.
E1 2.30 Если пленка начинает расти при $t = 0$, а время, необходимое для образования одного монослоя, равно $t_0$, найдите отношение интенсивностей дифракции $$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)},$$измеренное при $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$. Предполагается, что в течение каждого интервала роста монослоя доля покрытия верхнего слоя линейно увеличивается от 0 до 1, так что в момент времени $t=(N+\theta)t_0$ имеется $N$ завершенных монослоев и доля покрытия следующего монослоя $\theta$.