Note

1. Các vectơ được ký hiệu bằng chữ in đậm (ví dụ, r, q ).

2. Giả sử sự hấp thụ được bỏ qua và điện trường có hướng phân cực vuông góc với mặt phẳng tới.

Các ảnh nhiễu xạ tia X phát sinh do nhiều "nguồn sóng" tí hon bên trong một tinh thể giao thoa với nhau, và ta có thể dự đoán ảnh nhiễu xạ bằng cách cộng các biên độ phức của chúng với các pha thích hợp. Xét một sóng đơn sắc được đặc trưng bởi biên độ (thực) $A\ge0$ và pha $\phi$. Ta định nghĩa biên độ phức $\tilde{A}$ là

$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$

sao cho biên độ (thực) của sóng là độ lớn (giá trị tuyệt đối) của $\tilde{A}$, và $\phi$ là pha của sóng. Như vậy $\tilde{A}$ biểu diễn cả độ lớn và pha vào trong một số phức duy nhất. Trong bài này, ta định nghĩa một cường độ không thứ nguyên bằng bình phương độ lớn của biên độ phức tổng cộng:

$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$

Các hệ số tỷ lệ chung do thực nghiệm và hình học, chẳng hạn như đáp ứng của đầu đo, chuẩn hóa chùm tia tới, và các yếu tố truyền sóng chung, đều được gộp vào trong định nghĩa này. Ngược lại, biên độ tán xạ của một electron đơn lẻ $f_0$ vẫn được giữ lại một cách tường minh đóng vai trò như thang biên độ cho tán xạ từ một electron điểm.

Khi một vật liệu tinh thể được chiếu bởi một sóng tới, sóng đó sẽ bị nhiễu xạ bởi mạng tinh thể và các phần sóng nhiễu xạ sẽ giao thoa với nhau. Cường độ của sóng nhiễu xạ thu được có thể được tính bằng cách cộng các biên độ phức của từng sóng nhiễu xạ riêng lẻ, có xét đến độ lệch pha giữa chúng, rồi lấy bình phương độ lớn của biên độ phức tổng cộng thu được. Hiện tượng nhiễu xạ chủ yếu phát sinh do tương tác với các electron, còn đóng góp từ tương tác với các hạt nặng hơn như hạt nhân là không đáng kể. Biên độ của sóng nhiễu xạ bởi một electron điểm đơn lẻ chỉ phụ thuộc vào $R = |\mathbf{R}|$, là khoảng cách từ electron đến đầu đo. Vì $R $ lớn hơn nhiều so với kích thước của mẫu, nên sự thay đổi của nó trên toàn bộ mẫu có thể được bỏ qua. Do đó, sóng nhiễu xạ tổng cộng có thể được xác định một cách chính xác bằng cách tính toán một cách hợp lý các hiệu pha giữa các sóng nhiễu xạ riêng lẻ, trong khi biên độ của chúng được giả định là không đổi.

Gọi $\mathbf{k}_i$ và $\mathbf{k}_f$ lần lượt là các vectơ sóng của sóng tới và sóng nhiễu xạ. Một sóng phẳng tới với vectơ sóng $\mathbf{k}_i$ bị nhiễu xạ thành một sóng có vectơ sóng $\mathbf{k}_f$. Vectơ chuyển động lượng (momentum transfer) được định nghĩa là

$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i$$

và độ lớn của hai vectơ sóng được coi bằng nhau vì bước sóng không thay đổi:

$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$

Phần A: Nhiễu xạ từ hai electron được coi là các hạt điểm

Xét hai electron điểm nằm tại các vị trí $\mathbf{r}_1$ and $\mathbf{r}_2$, và định nghĩa $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. Một đầu đo đặt tại $\mathbf{P}$, và ta định nghĩa $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$. Một sóng phẳng $E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ chiếu tới hai electron, và sóng nhiễu xạ gồm các tia song song được quan sát ở xa (far-field) dọc theo hướng $\mathbf{k}_f$. Trong phần A, thừa số phụ thuộc thời gian chung $e^{-i\omega t}$ được lược bỏ, vì chỉ các pha không gian tương đối là liên quan.

A1  ^0.60 Trong gần đúng quan sát ở xa (far-field), $R\equiv|\mathbf R|\gg|\mathbf r|$, chỉ giữ lại bậc thấp nhất của $ |\mathbf r|/R$ hãy tìm hiệu đường đi hình học của sóng truyền ra $\Delta L_{\rm out}\equiv |\mathbf{P}-\mathbf{r}_1|-|\mathbf{P}-\mathbf{r}_2|$, theo các đại lượng $\mathbf r$ và $\mathbf k_f$, hoặc tương đương theo $\mathbf k_f/k_f$.

A2  ^0.40 Sử dụng kết quả từ A.1 và có xét đến pha phụ thuộc vị trí của sóng tới tại $\mathbf{r}_1$ và $\mathbf{r}_2$, hãy tìm biểu thức độ lệch pha giữa hai thành phần nhiễu xạ tại đầu đo theo $\mathbf{q}$ và $\mathbf{r}$. Độ lệch pha được định nghĩa là $\Delta\phi\equiv\phi_1-\phi_2$, trong đó $\phi_1$ và $\phi_2$ là các pha do đóng góp từ các electron tại $r_1$ và $r_2$.

A3  ^0.60 Hãy tìm biểu thức biên độ phức tổng cộng của sóng nhiễu xạ từ hai electron này theo $\mathbf{q}$ và $\mathbf{r}$. Em có thể bỏ qua mọi thừa số pha chung tổng thể, vì nó không ảnh hưởng đến cường độ. Giả sử biên độ thực của sóng nhiễu xạ từ một electron điểm đơn lẻ là một hằng số $f_0$, không phụ thuộc vào vị trí.

A4  ^0.40 Hãy tìm biểu thức cường độ của sóng nhiễu xạ từ hai electron này theo $\mathbf{q}$ và $\mathbf{r}$.

Phần B: Độ kết hợp dọc hữu hạn (mô hình nhảy pha)

Xét hai electron dạng điểm đặt tại các vị trí $\mathbf{r}_1$ và $\mathbf{r}_2$, với $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. Một chùm tia có bước sóng $\lambda_0$ (do đó $k=2\pi/\lambda_0$ và $\omega=2\pi c/\lambda_0$) chiếu vào các electron, sóng nhiễu xạ được quan sát ở xa dọc theo $\mathbf{k}_f$. Ta mô hình hóa trường sóng tới như là một sóng phẳng có pha ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian,

$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$

trong đó $\phi(t)$ không thay đổi liên tục mà giữ nguyên giá trị trong một khoảng thời gian đều đặn (piecewise constant) và sau mỗi khoảng thời gian đều đặn đó pha lại nhảy ngẫu nhiên (random phase jumps) sang giá trị mới, khoảng thời gian đều đặn là

$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$

với $L_0$ gọi là chiều dài kết hợp dọc (coi là đã biết). Tại thời điểm bắt đầu của mỗi khoảng thời gian có độ dài $t_0$, $\phi(t)$ được đặt lại về một giá trị độc lập mới, giá trị này tuân theo phân phối đều trên $[0,2\pi)$. Gọi $I_0$ là cường độ (trung bình theo thời gian) tại đầu đo thu được từ một electron đơn lẻ trong cùng một cấu hình hình học. Trong bài này, đầu đo được giả sử là đo cường độ trung bình theo thời gian. Nghĩa là, nó không phân giải được từng bước nhảy pha ngẫu nhiên riêng lẻ. Thay vào đó, nó ghi nhận giá trị trung bình của cường độ tức thời trong một khoảng thời gian dài hơn nhiều so với khoảng thời gian nhảy pha $t_0$: $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ Ở đây $\langle \cdots \rangle_t$ ký hiệu phép lấy trung bình trên nhiều khoảng thời gian nhảy pha.

B1  ^2.30 Sử dụng mô hình nhảy pha ở trên, hãy tìm biểu thức cường độ tổng cộng trung bình theo thời gian $\langle I\rangle_t$ tại đầu đo do hai electron gây ra. Viết kết quả theo các đại lượng $I_0,$ vectơ $\mathbf{q}\equiv \mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$, vectơ khoảng cách $\mathbf{r}$, bước sóng $\lambda_0$, và chiều dài kết hợp $L_0$. Giả sử đầu đo thực hiện phép lấy trung bình trên khoảng thời gian dài hơn nhiều so với $t_0$.

Phần C: Hiệu ứng hạt không coi là điểm

Electron thường được xem như một hạt điểm cổ điển, nhưng trong một mô hình thực tế hơn, điện tích của nó có thể được coi là phân bố trên một vùng không gian hữu hạn. Hãy xét hai phân bố điện tích lý tưởng sau: (i) một điện tích điểm lý tưởng đặt tại $\mathbf r=0$, có biên độ tán xạ là $A_1(\mathbf q)=Q_0$, (ii) một phân bố điện tích Gaussian mở rộng $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$.

Các hằng số $Q_0$ và $\rho_0$ được chọn sao cho tổng điện tích là như nhau trong cả hai trường hợp:

$$Q_0= \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$

Ở đây $d^3 r$ biểu thị yếu tố thể tích trong không gian ba chiều. Trong hệ tọa độ Descartes, $d^3r=dxdydz$. và $\int_{\mathbb R^3}$nghĩa là tích phân trên toàn bộ không gian. Các đồng nhất thức hữu ích (có thể được sử dụng mà không cần chứng minh):

$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$

C1  ^0.40 Tìm biểu thức liên hệ giữa $Q_0$, $\rho_0$, và $R_0$.

C2  ^0.40 Hãy xác định biên độ

$$A_2(\mathbf q)\equiv \int_{\mathbb R^3}\rho_2(\mathbf r)e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}\,d^3\mathbf r$$
và so sánh biên độ trên với biên độ trong trường hợp điện tích điểm$A_1(\mathbf q)=Q_0$.

C3  ^0.20 Hãy ước tính tỉ số cường độ nhiễu xạ, $\dfrac{I_2}{I_1}$, cho hai trường hợp lý tưởng hóa nêu trên khi $q = \dfrac{2}{R_0}$.

Phần D: Nhiễu xạ từ một màng mỏng có hình thái bề mặt không phẳng

Hãy tưởng tượng rằng bề mặt của một màng mỏng (nghĩa là các lớp nguyên tử trên cùng) không hoàn toàn phẳng mà bề mặt gồ ghề. Một mô hình phổ biến là giả sử rằng bề dày cục bộ của màng (được đo theo số đơn lớp nguyên tử) tuân theo phân bố Gauss. Gọi $N$ là số đơn lớp nguyên tử đã hoàn thành tại một vị trí cục bộ trong phạm vi diện tích kết hợp ngang của chùm tia. Ta giả sử rằng $N$ thay đổi trên bề mặt và có phân bố chuẩn với giá trị trung bình $\bar N$ và độ lệch chuẩn $\sigma$ (cả hai đều tính theo đơn vị số đơn lớp):

$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$

(Để thuận tiện cho việc tính giá trị trung bình, em có thể xem $N$ như một biến liên tục). Gọi $d$ là khoảng cách giữa hai lớp nguyên tử liền kề (giữa hai đơn lớp), và gọi $q_z$ là thành phần của vectơ tán xạ $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ theo phương vuông góc với mặt phẳng của màng, nghĩa là, $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$. Với một số nguyên $N$ đơn lớp, biên độ tán xạ là

$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$

Khi lấy trung bình theo phân phối Gaussian của bề dày màng, ta xem $N$ như là biến liên tục và sử dụng biểu thức dạng đóng (closed-form expression)

$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$

như là phần mở rộng liên tục tương ứng. Giả sử rằng cường độ nhiễu xạ đo được được xác định từ biên độ trung bình kết hợp

$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$

D1  ^2.40 Hãy tính các tỷ số cường độ:

$$\frac{I(q_z,\sigma=0.4,\bar N=5)}{I(q_z,\sigma=0,\bar N=5)}$$
tại

$$q_z=\frac{\pi}{2d} \qquad\text{và}\qquad q_z=\frac{2\pi}{d},$$
tương ứng. Nếu cần, hãy đánh giá trường hợp thứ hai bằng cách lấy giới hạn thích hợp.

Phần E: Nhiễu xạ từ một màng mỏng có hình thái bề mặt biến đổi theo thời gian

Hãy tưởng tượng màng mỏng có cấu trúc lập phương đơn giản mọc trên một đế theo cơ chế từng lớp, nghĩa là mỗi đơn lớp nguyên tử được hoàn thành trước khi đơn lớp tiếp theo bắt đầu hình thành. Gọi $d$ là khoảng cách giữa hai lớp nguyên tử liền kề (tức hai đơn lớp), và gọi $q_z$ là thành phần của vectơ $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ theo phương vuông góc với bề mặt màng, tức là, $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$. Khi màng đang mọc, bề dày của màng thay đổi và đo đó cường độ nhiễu xạ tại $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ cũng thay đổi theo. Phép tính được thực hiện tại vectơ chuyển động lượng ngoài mặt phẳng chỉ định và tất cả đóng góp từ các lớp đơn nguyên tử được cộng kết hợp với nhau.

E1  ^2.30 Nếu màng bắt đầu mọc tại $t = 0$ và thời gian cần thiết để hoàn thành một đơn lớp nguyên tử là $t_0$, hãy xác định tỉ số cường độ nhiễu xạ

$$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)}$$
được đo tại $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$. Giả sử rằng trong mỗi khoảng thời gian mọc một đơn lớp nguyên tử, độ phủ phân số của lớp trên cùng tăng tuyến tính từ 0 đến 1, sao cho tại thời điểm $t=(N+\theta)t_0$, có $N$ lớp đơn nguyên tử đã hoàn thành và độ phủ phân số của đơn lớp nguyên tử kế tiếp theo là $\theta$.