Figurile de difracție ale razelor X apar deoarece numeroase „surse de unde secundare ” minuscule din interiorul unui cristal produc interferență , iar noi putem prezice acest fenomen prin sumarea amplitudinilor lor complexe, cu fazele corecte. Să luăm în considerare o undă monocromatică caracterizată de o amplitudine $A\ge0$ (reală) și o fază $\phi$. Definim amplitudinea $\tilde{A}$ complexă ca fiind
$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$
astfel încât amplitudinea (reală) a undei să fie mărimea (valoarea absolută) a lui $\tilde{A}$, iar $\phi$ să fie faza acesteia. Astfel, $\tilde{A}$ conține în mod convenabil atât amplitudinea reală, cât și faza într-un singur număr complex. În această problemă definim o intensitate adimensională, ca fiind pătratul mărimii amplitudinii complexe totale:
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
Factorii de proporționalitate comuni, experimentali și geometrici, cum ar fi răspunsul detectorului, normalizarea fasciculului incident și factorii comuni de propagare sunt incluși în această definiție. Din contră, amplitudinea de împăștiere $f_0$ de către un singur electron este reținută explicit ca scală de amplitudine pentru împrăștierea de către un singur electron punctiform.
Atunci când un material cristalin este supus unei unde incidente, aceasta este difractată de rețeaua cristalină, iar undele difractate interferă. Intensitatea undei difractate rezultate poate fi calculată prin adunarea amplitudinilor complexe ale undelor individuale difractate, luând în considerare diferențele de fază dintre ele și apoi calculând valoarea absolută a pătratului amplitudinii complexe totale rezultate. Difracția rezultă în primul rând din interacțiunile cu electronii, iar contribuțiile particulelor mai grele, cum ar fi nucleele, sunt de obicei neglijabile. Amplitudinea undei difractate de un singur electron depinde numai de distanța de la electron la detector $R = |\mathbf{R}|$. Deoarece $R $ este mult mai mare decât dimensiunile probei, variația sa pe probă poate fi neglijată. Prin urmare, unda totală difractată poate fi determinată cu precizie, prin luarea în considerare corespunzătoare a diferențelor de fază dintre undele individuale difractate, în timp ce amplitudinile acestora sunt presupuse a fi constante.
Să notăm cu $\mathbf{k}_i$ și $\mathbf{k}_f$ vectorii de undă ai undei incidente și, respectiv, ai undei difractate. O undă plană incidentă cu vectorul de undă $\mathbf{k}_i$ este difractată într-o undă cu vectorul de undă $\mathbf{k}_f$. Transferulde impuls este definit ca
$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i$$
unde modulele lor sunt presupuse a fi sunt egale, deoarece lungimea de undă rămâne neschimbată:
$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$
Să luăm în considerare doi electroni punctiformi, aflați în pozițiile $\mathbf{r}_1$ și $\mathbf{r}_2$ și să definim $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. Un detector este amplasat în $\mathbf{P}$ și definim $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$. O undă plană $E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ este incidentă pe cei doi electroni, iar undele difractate sunt observate în câmpul îndepărtat, de-a lungul direcției $\mathbf{k}_f$. În partea A, factorul comun $e^{-i\omega t}$ dependent de timp este omis, întrucât sunt relevante doar fazele spațiale relative.
A1 0.60 În cadrul aproximării câmpului îndepărtat, $R\equiv|\mathbf R|\gg|\mathbf r|$, păstrăm doar termenul de ordinul întâi în $ |\mathbf r|/R$ și exprimăm diferența de drum geometric al undelor difractate, $\Delta L_{\rm out}\equiv |\mathbf{P}-\mathbf{r}_1|-|\mathbf{P}-\mathbf{r}_2|$, în funcție de $\mathbf r$ și $\mathbf k_f$, sau, echivalent,$\mathbf k_f/k_f$ .
A2 0.40 Folosind rezultatul obținut la A.1 și ținând seama de faza dependentă de poziție a undei incidente la$\mathbf{r}_1$ și $\mathbf{r}_2$, determinați diferența de fază dintre cele două unde difractate la detector, exprimată în funcție de $\mathbf{q}$ și $\mathbf{r}$. Diferența de fază este definită ca $\Delta\phi\equiv\phi_1-\phi_2$, unde $\phi_1$ și $\phi_2$ sunt fazele undelor difractate de către electronii aflați la $r_1$, respectiv $r_2$.
A3 0.60 Exprimați amplitudinea complexă totală a undei difractate de acești doi electroni, în funcție de $\mathbf{q}$ și $\mathbf{r}$. Puteți ignora orice factor de fază comun, întrucât nu afectează intensitatea. Presupuneți că amplitudinea reală a unei unde difractate de un singur electron punctiform este o constantă $f_0$, independentă de poziție.
Considerați doi electroni punctiformi localizați la $\mathbf{r}_1$ și $\mathbf{r}_2$, cu $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. Un fascicul cu lungimea de undă $\lambda_0$ (astfel încât $k=2\pi/\lambda_0$ și $\omega=2\pi c/\lambda_0$) este incident pe electroni, iar unda difractată este observată în câmpul îndepărtat, de-a lungul direcției $\mathbf{k}_f$ . Modelăm câmpul incident ca o undă plană cu o fază aleatorie dependentă de timp,
$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$
unde $\phi(t)$ este constantă pe intervale și suferă salturi aleatorii de fază la intervale regulate de timp cu durata
$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$
unde $L_0$ este lungimea de coerență longitudinală (dată). La începutul fiecărui interval de mărime $t_0$, $\phi(t)$ este resetat la o nouă valoare independentă, distribuită uniform pe $[0,2\pi)$. Să notăm cu $I_0$ intensitatea (medie în timp) la detector care s-ar obține de la un singur electron în aceeași geometrie. În această problemă, se presupune că detectorul măsoară o intensitate medie în timp. Adică, acesta nu rezolvă salturile de fază aleatorii individuale. În schimb, înregistrează media intensității instantanee pe o perioadă de timp mult mai lungă decât intervalul $t_0$ de salt de fază : $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ Aici$\langle \cdots \rangle_t$ reprezintă o medie pe mai multe intervale de salt de fază.
B1 2.30 Folosind modelul saltului de fază de mai sus, deduceți intensitatea totală medie întimp $\langle I\rangle_t$ la detector, generată de cei doi electroni. Rezultatul final trebuie exprimat în funcție de $I_0,$$\mathbf{q}\equiv \mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$, vectorul de separare $\mathbf{r}$, lungimea de undă $\lambda_0$ și lungimea de coerență $L_0$. Presupuneți că detectorul mediază pentru timpi mult mai lungi decât $t_0$.
Un electron este adesea tratat ca o particulă punctiformă clasică, dar într-un model mai realist sarcina sa poate fi considerată ca fiind distribuită pe o regiune spațială finită. Să luăm în considerare două distribuții idealizate ale sarcinii: (i) o sarcină ideală punctiformă localizată la $\mathbf r=0$, pentru care amplitudinea de împrăștiere este $A_1(\mathbf q)=Q_0$, (ii) o distribuție gaussiană de sarcină extinsă $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$.
Constantele $Q_0$ și $\rho_0$ sunt alese astfel încât sarcina totală să fie aceeași în ambele cazuri:
$$Q_0= \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$
Aici $d^3 r$ desemnează elementul de volum în spațiul tridimensional. În coordonate carteziene, $d^3r=dxdydz$ și$\int_{\mathbb R^3}$ înseamnă integrarea pe întregul spațiu. Identități utile (pot fi utilizate fără demonstrație):
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$
Să ne imaginăm că suprafața unei pelicule (adică straturile atomice superioare) nu este perfect plană, ci prezintă rugozitate de suprafață. Un model obișnuit presupune că grosimea locală a peliculei (măsurată în monostraturi) urmează o distribuție gaussiană. Să notăm cu $N$ numărul local de monostraturi complete din interiorul ariei de coerență laterală a fasciculului. Presupunem că $N$ variază pe suprafață și are o distribuție normală cu media $\bar N$ și abaterea standard $\sigma$ (ambele în unități de monostraturi):
$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
(În scopul evaluării valorilor medii, se poate considera $N$ ca o variabilă continuă.) Fie $d$ distanța dintre straturile atomice adiacente (monostraturi) și $q_z$ componenta vectorului de împrăștiere $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$, normală la suprafața plană a peliculei, adică $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$. Pentru un număr întreg $N$ de monostraturi, amplitudinea de împrăștiere este
$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
Atunci când calculăm media pe distribuția gaussiană a grosimilor, tratăm $N$ ca pe o variabilă continuă și folosim expresia
$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$
drept extensia continuă corespunzătoare. Să presupunem că intensitatea de difracție măsurată este obținută din amplitudinea coerentă medie,
$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$
Să ne imaginăm o peliculă subțire cu o structură cubică simplă, crescută pe un substrat, strat cu strat, adică fiecare monostrat este completat înainte ca următorul monostrat să înceapă să se formeze. Fie $d$ distanța dintre straturile atomice adiacente (monostraturi) și fie $q_z$ componenta $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ normală la suprafața plană a peliculei, adică $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$. Pe măsură ce pelicula se formează, grosimea acesteia se modifică, la fel și intensitatea de difracție la $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$. Calculul se efectuează la transferul de impuls specificat în afara planului, iar toate contribuțiile monostraturilor sunt însumate în mod coerent.
E1
2.30
Dacă pelicula începe să crească la $t = 0$ și timpul necesar pentru formarea completă unui monostrat este $t_0$, determină raportul intensităților de difracție
$$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)}$$
măsurat la $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$. Să presupunem că, în timpul intervalului de creștere a fiecărui monostrat, gradul de acoperire fracționară a stratului superior crește liniar de la 0 la 1, astfel încât la momentul $t=(N+\theta)t_0$, există $N$monostraturi completate și un grad de acoperire fracționar $\theta$ al următorului monostrat.