Rentgen nurlarining difraksiya manzaralari kristal ichidagi ko'plab mayda "to'lqin manbalari"ning interferensiyalanishi natijasida yuzaga keladi va biz buni ularning kompleks amplitidalarini to'g'ri fazalar bilan qo'shish orqali bashorat qilishimiz mumkin. Haqiqiy (haqiqiy sonli) amplitudasi $A\ge0$ va fazasi $\phi$ bo'lgan monoxromatik to'lqinni ko'rib chiqaylik. Kompleks amplituda $\tilde{A}$ ni quyidagicha aniqlaymiz:
$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$
bunda to'lqinning (haqiqiy) amplitudasi $\tilde{A}$ ning moduli (absolyut qiymati) hisoblanadi va $\phi$ uning fazasidir. Shunday qilib, $\tilde{A}$ bitta kompleks sonda ham kattalikni, ham fazani qulay tarzda o'zida mujassamlashtiradi. Ushbu masalada biz o'lchamsiz intensivlikni to'liq kompleks amplituda modulining kvadrati sifatida aniqlaymiz:
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
Detektor sezgirligi, tushuvchi dasta normalizatsiyasi va umumiy tarqalish koeffitsiyentlari kabi umumiy, eksperimental hamda geometrik proporsionallik koeffitsiyentlari ushbu taʼrifga kiritilgan. Bundan farqli oʻlaroq, bitta elektrondan sochilish amplituda shkalasi sifatida bitta elektronning sochilish amplitudasi $f_0$ aniq shaklda beriladi.
Kristall materialga to'lqin tushganda, to'lqin kristall panjara tomonidan difraksiyalanadi va difraksiyalangan qismlar o'zaro interferensiyalanadi. Hosil bo'lgan difraksiyalangan to'lqinning intensivligini har bir alohida difraksiyalangan to'lqinning kompleks amplitidalarini ular orasidagi faza farqlarini hisobga olgan holda qo'shish va keyin hosil bo'lgan umumiy kompleks amplitudaning modulining kvadratini hisoblash orqali topish mumkin. Difraksiya asosan elektronlar bilan o'zaro ta'sir natijasida yuzaga keladi, yadrolar kabi og'irroq zarralarning hissasi odatda e'tiborga olinmaydigan darajada kichik bo'ladi. Bitta nuqtaviy elektrondan difraksiyalangan to'lqinning amplitudasi faqat elektrondan detektorgacha bo'lgan masofa $R = |\mathbf{R}|$ ga bog'liq. $R $ namuna o'lchamlaridan ancha katta bo'lgani uchun uning namuna bo'ylab o'zgarishini hisobga olmaslik mumkin. Shu sababli, to'lqinlarning amplitudalarini bir xil deb hisoblab, umumiy difraksiyalangan to'lqinni alohida difraksiyalangan to'lqinlar orasidagi faza farqlarini to'g'ri hisobga olgan holda aniq topish mumkin.
$\mathbf{k}_i$ va $\mathbf{k}_f$ mos ravishda tushuvchi va difraksiyalangan to'lqinlarning to'lqin vektorlari bo'lsin. To'lqin vektori $\mathbf{k}_i$ bo'lgan tushuvchi yassi to'lqin to'lqin vektori $\mathbf{k}_f$ bo'lgan to'lqinga difraksiyalanadi. Bunda sochlish vektori quyidagicha aniqlanadi:
$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i$$
va to'lqin uzunligi o'zgarmasdan qolishi sababli ularning modullari teng deb faraz qilamiz:
$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$
$\mathbf{r}_1$ va $\mathbf{r}_2$ nuqtalarda joylashgan ikkita nuqtaviy elektronni ko'rib chiqaylik va $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ deb aniqlaymiz. Detektor $\mathbf{P}$ nuqtada joylashgan va biz $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$ deb belgilaymiz. ikkita elektronga yassi to'lqin $E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ tushadi va difraksiyalangan to'lqin uzoq sohada $\mathbf{k}_f$ yo'nalishi bo'ylab kuzatiladi. A qismda vaqtga bog'liq umumiy $e^{-i\omega t}$ ko'paytuvchisi tashlab ketiladi, chunki faqat fazoviy nisbiy fazalar ahamiyatga ega.
A1 0.60 $R\equiv|\mathbf R|\gg|\mathbf r|$ holat uchun geometrik yo'llar farqi $\Delta L_{\rm out}\equiv |\mathbf{P}-\mathbf{r}_1|-|\mathbf{P}-\mathbf{r}_2|$ ni $\mathbf r$ va $\mathbf k_f$orqali(yoki ekvivalent tarzda $\mathbf k_f/k_f$ orqali) yozing, bunda $ |\mathbf r|/R$ bo'yicha faqat birinchi tartibli hadlarni saqlang
A2 0.40 $\mathbf{r}_1$ va $\mathbf{r}_2$ nuqtalari uchun tushayotgan toʻlqin sababli ham fazalar farqi yuzaga keladi. Ushbu maʼlumotdan va A.1 da olingan natijadan foydalanib, detektordagi ikkita difraksion hissa oʻrtasidagi fazalar farqini toping. Javobni $\mathbf{q}$ va $\mathbf{r}$ orqali ifodalang. Fazalar farqi $\Delta\phi\equiv\phi_1-\phi_2$oʻtish qoidasi bilan aniqlanadi, bunda $\phi_1$va $\phi_2$ — $r_1$ va $r_2$ nuqtalaridagi elektronlardan kelayotgan hissalarning fazalaridir.
A3 0.60 Bitta nuqtaviy elektrondan difraksiyalangan toʻlqinning haqiqiy amplitudasi $f_0$ qiymatga teng va u elektronning vaziyatiga (koordinatasiga) bogʻliq emas. Ushbu to'lqinning ikkita elektrondan difraksiyalangan toʻliq kompleks amplitudasini $\mathbf{q}$ va $\mathbf{r}$ orqali ifodalang. Har qanday umumiy faza koeffitsiyentini hisobga olmasangiz ham boʻladi, chunki u intensivlikka taʼsir qilmaydi.
$\mathbf{r}_1$ va $\mathbf{r}_2$ nuqtalarda joylashgan ikkita nuqtaviy elektronni ko'rib chiqaylik, bunda $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. To'lqin uzunligi $\lambda_0$ ( $k=2\pi/\lambda_0$ va $\omega=2\pi c/\lambda_0$) bo'lgan to'lqin elektronlarni yoritadi va difraksiyalangan to'lqin uzoq maydonda $\mathbf{k}_f$ bo'ylab kuzatiladi. Biz tushuvchi to'lqinni vaqtga bog'liq tasodifiy fazaga ega yassi to'lqin sifatida modellaymiz:
$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$
bu yerda $\phi(t)$ boʻlakli-oʻzgarmas (piecewise constant) funksiya boʻlib, muntazam vaqt intervallarida davomiyligi boʻyicha tasodifiy faza sakrashlariga uchraydi
$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$
bu yerda $L_0$— maʼlum bir oʻzgarmas kattalik. Har bir $t_0$ uzunlikdagi intervalning boshida $\phi(t)$kattalik $[0,2\pi)$ oraliqda tekis taqsimlangan yangi mustaqil qiymatni qabul qiladi.
Xuddi shu geometriyada bitta elektrondan sochilishda olingan detektordagi (vaqt boʻyicha oʻrtacha) intensivlikni $I_0$ deb belgilaymiz. Ushbu masalada detektor vaqt boʻyicha oʻrtachalashtirilgan intensivlikni oʻlchaydi deb hisoblanadi. U faza sakrashi intervalidan ($t_0$) ancha katta boʻlgan vaqt ichidagi intensivlikning oʻrtacha qiymatini qayd qiladi:
B1 2.30 Yuqoridagi faza sakrashi modelidan foydalanib, detektorda ikkita elektrondan olinadigan vaqt bo'yicha o'rtachalangan umumiy intensivlik $\langle I\rangle_t$ ni keltirib chiqaring. Yakuniy natijangiz $I_0,$ $\mathbf{q}\equiv \mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$, masofa vektori $\mathbf{r}$, to'lqin uzunligi $\lambda_0$ va kogerentlik uzunligi $L_0$ orqali yozilishi kerak. Detektor t$\gg t_0$ bo'lgan vaqtlar davomida integrallaydi deb faraz qiling.
Elektron koʻpincha klassik nuqtaviy zarracha sifatida qaraladi, biroq realroq modelda uning zaryadini fazoning chekli sohasida taqsimlangan deb tasavvur qilish mumkin. Ikkita ideallashtirilgan zaryad taqsimotini koʻrib chiqaylik:
(i) $\mathbf r=0$ nuqtada joylashgan ideal nuqtaviy zaryad, uning sochilish amplitudasi:
$A_1(\mathbf q)=Q_0$
(ii) Gauss boʻyicha zaryad taqsimoti:
$Q_0$ va $\rho_0$ konstantalari shunday tanlanganki, ikkala holda ham umumiy zaryad bir xil boʻladi:
$$Q_0= \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$
Bu yerda $d^3 r$ uch oʻlchamli fazodagi hajm elementini bildiradi. Dekart koordinatalarida$d^3r=dxdydz$, $\int_{\mathbb R^3}$ esa butun faza boʻyicha integrallashni anglatadi. Quyidagi foydali ayniyatlardan isbotlamasdan foydalanish mumkin:
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$
Tasavvur qilaylik, plyonka sirti (yaʼni yuqori atom qatlamlari) ideal tekis emas, balki notekisliklarga ega. Odatda plyonkaning lokal qalinligi (monoqatlamlarda oʻlchanadigan) Gauss taqsimotiga boʻysunadi deb hisoblanadi. $N$ lokal toʻliq monoqatlamlar soni boʻlsin (kogerentlik shartlari bajarilgan). $N$ sirt boʻylab oʻzgaradi va oʻrtacha qiymati $\bar N$ hamda oʻrtacha kvadratik ogʻishi $\sigma$ (ikkalasi ham monoqatlam birligida) boʻlgan normal taqsimotga ega:
$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
(Oʻrtacha qiymatlarni hisoblash uchun $N$ ni uzluksiz miqdor deb qarash mumkin.) $d$ — qoʻshni atom qatlamlari (monoqatlamlar) orasidagi masofa boʻlsin, $q_z$ esa $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$sochilish vektorining plyonkaning tekis sirtiga perpendikulyar komponentini bildirsin, yaʼni $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$. Butun sonli monoqatlamlar $N$ boʻlganda sochilish amplitudasi quyidagiga teng:
$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
Gauss qalinlik taqsimoti bo'yicha o'rtacha qiymatni topishda biz $N$ ni uzluksiz o'zgaruvchi deb qaraymiz va mos uzluksiz kengaytma sifatida quyidagi yopiq ko'rinishdagi ifodadan foydalanamiz:
$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$
O'lchanadigan difraksiya intensivligi kogerent o'rtacha amplitudadan olinadi deb faraz qiling:
$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$
Qatlam-qatlam oʻstirish (choʻktirish) rejimida substratda (taglikda) oʻstirilgan oddiy kubik panjarali yupqa plyonkali strukturani tasavvur qilaylik, yaʼni har bir monoqatlam keyingisining oʻsishi boshlanishidan oldin toʻliq yakunlanadi. $d$ — qoʻshni atom qatlamlari (monoqatlamlar) orasidagi masofa boʻlsin,$q_z$ esa $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ vektorining plyonkaning tekis sirtiga perpendikulyar komponentini bildirsin, yaʼni $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$. Plyonka oʻsishi sababli uning qalinligi oʻzgaradi. Shunga mos ravishda, $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ boʻlgandagi difraksiya intensivligi ham oʻzgaradi. Hisoblash ushbu (tekislikka perpendikulyar) sochilish vektori uchun amalga oshiriladi. Monoqatlamlarning barcha kogerent hissalari summalanadi.
E1
2.30
Agar plyonka $t = 0$ da o'sishni boshlasa va bitta monoqatlamni o'sishi uchun ketadigan vaqt $t_0$ bo'lsa, $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ da o'lchangan difraksiya intensivliklarining quyidagi nisbatini toping:
$$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)}$$
Har bir monoqatlam oʻsishi vaqt oraligʻida ustki qatlamning ulushli qoplanishi (toʻlish darajasi) 0 dan 1 gacha chiziqli ravishda ortib boradi, deb hisoblang; shunday qilib, $t=(N+\theta)t_0$ vaqt lahzasida $N$ ta toʻliq yakunlangan monoqatlam va keyingi monoqatlamning $\theta$ ulushli qoplanishi mavjud boʻladi.