หมายเหตุ

1. เวกเตอร์แสดงด้วยสัญลักษณ์ตัวหนา (เช่น r, q )

2. สมมติว่าไม่มีการเสียพลังงานจากการเลี้ยวเบน และทิศทางของโพลาไรเซชั่นตั้งฉากกับระนาบตกกระทบ (plane of incidence)

รูปแบบการเลี้ยวเบนของ x-ray สามารถคำนวณได้ โดยการรวมแอมพลิจูดเชิงซ้อนของแหล่งกำเนิดคลื่นขนาดเล็กภายในผลึก สมมติว่าเรามีคลื่นความถี่เดียว ซึ่งมีแอมพลิจูดเป็นค่าจริง$A\ge0$ และเฟส $\phi$ โดยแอมพลิจูดเชิงซ้อน $\tilde{A}$ มีนิยามว่า

$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$

ดังนั้น เลขเชิงซ้อน $\tilde{A}$ จึงบอกทั้งขนาดของแอมพลิจูดและเฟส โดยขนาดของแอมพลิจูดของคลื่น คือค่าสัมบูรณ์ ของ $\tilde{A}$และ $\phi$ คือเฟสของคลื่น ในโจทย์ข้อนี้ ใช้นิยามความเข้มไร้หน่วย ด้วยขนาดกำลังสองของแอมพลิจูดเชิงซ้อนดังนี้

$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$

ค่าคงตัวต่าง ๆ ที่ได้ผ่านการทดลอง เช่น ประสิทธิภาพของตัววัด หรือสัดส่วนที่เปลี่ยนตามเชิงเรขาคณิต เช่นการปรับขนาดของลำแสงที่ตกกระทบ และปัจจัยทั่วไป จะถูกรวมเข้าไปในคำจำกัดความนี้ โดยยกเว้นแอมพลิจูด$f_0$ จากการกระเจิง(เลี้ยวเบน) จากอิเล็กตรอนเดี่ยว ที่จะนำมาใช้พิจารณาในตอนที่มีการพิจารณาการกระเจิงจากอิเล็กตรอนเดี่ยว

เมื่อคลื่นตกกระทบโครงสร้างแบบผลึก คลื่นจะเลี้ยวเบน และแทรกสอดกัน ความเข้มของคลื่นที่เกิดจากการเลี้ยวเบนสามารถคำนวณได้โดยการบวกแอมพลิจูดเชิงซ้อนของคลื่นที่ผ่านการเลี้ยวเบนบนแต่ละจุดบนผลึก ซึ่งจะมีเฟสที่ต่างกันไปตามตำแหน่ง จากนั้นคำนวณขนาดกำลังสองของแอมพลิจูดเชิงซ้อนทั้งหมดที่ได้

เราจะคำนึงถึงการเลี้ยวเบนจากอันตรกิริยาระหว่างอิเล็กตรอน และคลื่นเท่านั้น โดยไม่คำนึงถึงการเลี้ยวเบนจาก อนุภาคอย่างนิวเคลียสที่มีขนาดใหญ่

แอมพลิจูดของคลื่น จากอิเล็กตรอนเดี่ยวจึงขึ้นอยู่กับ $R = |\mathbf{R}|$ ซึ่งเป็นระยะทางจากอิเล็กตรอนไปยังตัววัด เพียงอย่างเดียว

เนื่องจาก$R $ มีขนาดใหญ่มากเมื่อเทียบกับขนาดของผลึก ผลจากการเลี้ยวเบนจึงทำได้โดยพิจารณาเพียงความแตกต่างของเฟสของคลื่นที่เลี้ยวเบนภายในผลึกเท่านั้น และประมาณว่าขนาดของแอมพลิจูดของคลื่นเหล่านั้นเท่ากัน

กำหนดให้คลื่นระนาบที่ตกกระทบเป็นเวกเตอร์ $\mathbf{k}_i$ และคลื่นที่เลี้ยวเบนในทิศที่เราศึกษาเป็นเวกเตอร์ $\mathbf{k}_f$ และกำหนดให้นิยามการเปลี่ยนโมเมนตัม ว่า

$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i$$

เนื่องจากความยาวคลื่นไม่เปลี่ยนแปลง ขนาดเวคเตอร์จึงเท่ากันตาม

$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$

ส่วน A: การเลี้ยวเบนจากอิเล็กตรอนสองตัว โดยพิจารณาว่าเป็นจุด

พิจารณาอิเล็กตรอนสองตัวที่ $\mathbf{r}_1$ และ $\mathbf{r}_2$ กำหนดให้ $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. โดยมีตัววัดอยู่ที่ตำแหน่ง$\mathbf{P}$ และ $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$. คลื่นระนาบ$E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ ตกกระทบอิเล็กตรอนทั้งสอง และคลื่นที่เลี้ยวเบนจะถูกวัดที่ระยะไกลตามทิศทาง $\mathbf{k}_f$. สำหรับข้อในส่วน A ส่วนที่ขึ้นอยู่กับเวลา$e^{-i\omega t}$ จะไม่ถูกนำมาพิจารณา เนื่องจากผลต่างเฟสขึ้นอยู่กับผลต่างระยะทางเท่านั้น

A1  ^0.60 ภายใต้การประมาณแบบไกล,$R\equiv|\mathbf R|\gg|\mathbf r|$ ให้เก็บเฉพาะพจน์ลำดับแรกใน$ |\mathbf r|/R$ เพื่อเขียนผลต่างของระยะทาง ระหว่างเส้นทางที่เดินทางออกจากอิเล็กตรอนทั้งสองไปยังตัววัด, $\Delta L_{\rm out}\equiv |\mathbf{P}-\mathbf{r}_1|-|\mathbf{P}-\mathbf{r}_2|$, ในรูปของ$\mathbf r$ และ $\mathbf k_f$, หรือ $\mathbf k_f/k_f$.

A2  ^0.40 ใช้ผลจากข้อ A.1 และ รวมผลความต่างเฟสของคลื่น เมื่อตกกระทบ จงหาค่าความต่างเฟส จากการเลี้ยวเบน $\Delta\phi\equiv\phi_1-\phi_2$ ที่วัดได้ ซึ่ง$\phi_1$ และ$\phi_2$ คือเฟสของส่วนที่เกิดจากอิเล็กตรอนที่$r_1$ และ $r_2$ ตามลำดับ โดยแสดงผลในรูปของ$\mathbf{q}$ และ $\mathbf{r}$

A3  ^0.60 ในข้อนี้ กำหนดให้ค่าจริงของแอมพลิจูดของคลื่นที่เลี้ยวเบนออกจากอิเล็กตรอนเดี่ยวแบบจุดเป็นค่าคงที่ $f_0$ ที่ทุกตำแหน่ง

จงเขียนผลรวมแอมพลิจูดเชิงซ้อนจากคลื่นที่เกิดการเลี้ยวเบนจากอิเล็กตรอนทั้งสองนี้ในรูปของ$\mathbf{q}$ และ$\mathbf{r}$ และค่าคงที่แอมพลิจูดที่กำหนดให้โดยนักเรียนสามารถละเฟสที่เป็นตัวร่วมทั่วไปได้

A4  ^0.40 จงเขียนความเข้ม ที่เกิดการเลี้ยวเบนจากอิเล็กตรอนสองตัว ในรูปของค่าคงที่แอมพลิจูดที่กำหนดให้ และ $\mathbf{q}$ และ$\mathbf{r}$

ส่วนที่ B: เมื่อแสงอาพันธ์มีระยะจำกัดเป็นช่วง (แบบจำลองเฟสจัมป์)

พิจารณาอิเล็กตรอนสองตัวที่มีลักษณะเป็นจุด อยู่ที่ตำแหน่ง$\mathbf{r}_1$ และ$\mathbf{r}_2$ โดยที่$\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ ลำแสงที่มีความยาวคลื่น$\lambda_0$ ($k=2\pi/\lambda_0$ และ $\omega=2\pi c/\lambda_0$) ตกกระทบไปที่อิเล็กตรอน และวัดผลการเลี้ยวเบนในระยะไกล ที่ทิศทาง $\mathbf{k}_f$ตามเดิม แต่กำหนดให้สนามที่ตกกระทบเป็นคลื่นระนาบที่มีเฟสสุ่มที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$

เมื่อเฟส $\phi(t)$ เป็นค่าคงที่แบบแบ่งช่วง และมีการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่ม ทุกๆช่วงเวลาตามสมการ

$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$

ดังนั้นระยะอาพันธ์จึงถูกจำกัดที่ช่วง $L_0$ (เป็นค่ากำหนดให้) หรือทุกตอนต้นของแต่ละช่วงระยะเวลา$t_0$ เฟส $\phi(t)$ จะถูกสุ่มใหม่อย่างอิสระ ใน$[0,2\pi)$

กำหนดว่าตัววัดสามารถวัดได้เพียงความเข้มเฉลี่ยเชิงเวลาเท่านั้น นั่นคือ มันไม่สามารถบอกเฟสของคลื่นหรือความเข้มได้ แต่จะบอกค่าเฉลี่ยของความเข้ม ระหว่างช่วงเวลาที่ยาวนานกว่าช่วงเวลา $t_0$ มาก

ความเข้มรวมที่วัดได้คือ $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ ที่นี่$\langle \cdots \rangle_t$ หมายถึงค่าเฉลี่ยที่ใช้ระยะเวลามากกว่า $t_0$

โดยกำหนดให้$I_0$ เป็นความเข้มเฉลี่ยเชิงเวลา ที่วัดได้จากอิเล็กตรอนเพียงตัวเดียวในการทดลองนี้

B1  ^2.30 ใช้แบบจำลองเฟสจัมป์ข้างต้นเพื่อหาค่าเฉลี่ยเวลาของความเข้มรวมจากอิเล็กตรอนสองตัว $\langle I\rangle_t$ ที่ตำแหน่งตัววัด โดยเขียนคำตอบในรูปของ $I_0$,$\mathbf{q}\equiv \mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$, ระยะ $\mathbf{r}$, ความยาวคลื่น $\lambda_0$, และความยาวอาพันธ์ $L_0$ โดยสมมติว่าตัววัดใช้เวลาเฉลี่ยในการวัดมากกว่า$\gg t_0$ มากๆ

ส่วนที่ C: เมื่อพิจารณาว่าอนุภาคไม่เป็นจุด

ในคำถามตอนต้น เราพิจารณาการเลี้ยวเบนที่เกิดจากอิเล็กตรอนแบบเป็นจุดเท่านั้น ในข้อนี้เราจะพิจารณาการเลี้ยวเบนจากการกระจายประจุ สองแบบเพื่อเปรียบเทียบกัน : (i) ประจุแบบจุดที่อยู่ที่ $\mathbf r=0$ โดยให้แอมพลิจูดการกระเจิงเป็น $A_1(\mathbf q)=Q_0$, (ii) การกระจายประจุแบบเกาส์ $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$

ค่าคงที่$Q_0$ และ$\rho_0$ ถูกเลือกโดยใช้เงื่อนไข

$$Q_0 = \int \rho_2(\mathbf{r}) d^3r.$$

เมื่อ $d^3 r$ หมายถึงการอินทิเกรตในสามมิติ เช่น $d^3r=dxdydz$. และ $\int_{\mathbb R^3}$หมายถึงการอินทิเกรตรวมปริมาตรทั้งหมด กำหนดให้การอินทิเกรตที่อาจต้องใช้(นำไปใช้ได้โดยไม่ต้องพิสูจน์):

$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$

C1  ^0.40 จงเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ของ $Q_0$, $\rho_0$, และ$R_0$

C2  ^0.40 จงหาแอมพลิจูด

$$A_2(\mathbf q)\equiv \int_{\mathbb R^3}\rho_2(\mathbf r)e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}\,d^3\mathbf r$$
และเปรียบเทียบอัตราส่วนกับแอมพลิจูด$A_1(\mathbf q)=Q_0$

C3  ^0.20 ประมาณอัตราส่วนของความเข้ม, $\dfrac{I_2}{I_1}$, จากผลการเลี้ยวเบนของสองกรณีข้างต้น เมื่อ $q = \dfrac{2}{R_0}$.

ส่วนที่ D: การเลี้ยวเบนจากผิวขรุขระ

วัสดุโครงสร้างลูกบาศก์แบบง่าย ทำได้โดยการสร้างฟิล์มของวัสดุให้ซ้อนทับเพิ่มขึ้นทีละชั้นไปเรื่อยๆ แต่บางครั้งผิวของโครงสร้างนั้นไม่เรียบแต่ขรุขระ ซึ่งเกิดจาก จำนวนชั้นฟิล์มบนตลอดทั้งพื้นผิวมีไม่เท่ากัน โดยโอกาสที่จะเจอพื้นที่ผิว ที่มีจำนวนชั้น N ใดใด นั้นมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยจำนวน $\bar N$ ชั้นและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น $\sigma$ (มีหน่วยเป็นจำนวนชั้น) ตามสมการ

$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$

(เพื่อการคิดค่าเฉลี่ย เรากำหนดให้ $N$ เป็นตัวแปรที่มีค่าต่อเนื่องได้) ให้$d$ เป็นระยะห่างระหว่างชั้นอะตอมที่อยู่ติดกัน (ระยะระหว่าง โมโนเลเยอร์) และให้$q_z$ เป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์$\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ ที่ตั้งฉากกับพื้นผิวเรียบของฟิล์ม กล่าวคือ$q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$ สำหรับจำนวนชั้นเดี่ยว$N$ที่เป็นจำนวนเต็ม แอมพลิจูดของการกระเจิงคือ

$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$

เมื่อเฉลี่ยตามการกระจายความหนาแบบเกาส์เซียน เราจะถือว่า$N$ เป็นตัวแปรต่อเนื่อง และใช้สมการ

$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$

สำหรับการคำนวณชั้นต่อไปได้ สมมติว่าความเข้มของการเลี้ยวเบนที่วัดได้มาจากค่าเฉลี่ยของแอมพลิจูดที่สอดคล้องกัน

$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$

D1  ^2.40 จงคำนวณอัตราส่วนความเข้ม

$$\frac{I(q_z,\sigma=0.4,\bar N=5)}{I(q_z,\sigma=0,\bar N=5)}$$
เมื่อ

$$q_z=\frac{\pi}{2d} \qquad\text{และ}\qquad q_z=\frac{2\pi}{d},$$
ตามลำดับ หากจำเป็น ให้ประเมินกรณีที่สองโดย เลือก limit ที่เหมาะสม

ส่วนที่ E: การเลี้ยวเบนจากฟิล์มที่อยู่ระหว่างการผลิต

การสร้างวัสดุโครงสร้างลูกบาศก์แบบง่าย ทำได้โดยการสร้างฟิล์มของวัสดุให้ซ้อนทับเพิ่มขึ้นทีละชั้น(โมโนเลเยอร์) กล่าวคือ เราจะสร้างแต่ละชั้นจนเสร็จสมบูรณ์ก่อนที่จะเริ่มสร้างชั้นถัดไป ให้ $d$ เป็นระยะห่างระหว่างชั้นอะตอมที่อยู่ติดกัน (หรือระยะระหว่างโมโนเลเยอร์) และให้$q_z$ เป็นองค์ประกอบของ $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ ที่ตั้งฉากกับพื้นผิวของฟิล์ม ( $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$) ขณะที่สร้างฟิล์ม ความหนาของฟิล์มจะเปลี่ยนแปลงไป ซึ่งส่งผลต่อความเข้มของการเลี้ยวเบน ณ $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ด้วย เนื่องจากเราสนใจการถ่ายโอนโมเมนตัมในทิศทางนี้ โดยผลจากแต่ละโมโนเลเยอร์ทุกๆ ชั้นที่ถูกสร้างจะถูกรวมอย่างสอดคล้องกัน

E1  ^2.30 หากเริ่มผลิตฟิล์มเมื่อ $t = 0$ และเวลาที่ใช้ในการสร้างฟิล์มแต่ละชั้นให้สมบูรณ์คือ$t_0$ ให้หาอัตราส่วนความเข้มของการเลี้ยวเบนจากฟิล์มที่อยู่ระหว่างกระบวนการผลิตที่เวลา

$$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)}$$
เราจะศึกษาการวัดในกรณีที่ $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$.

สำหรับการผลิตฟิล์มแต่ละชั้น กำหนดให้อัตราเพิ่มสัดส่วนพื้นผิวฟิล์ม เป็นเชิงเส้นจาก 0 ถึง 1 ดังนั้น ณ เวลา $t=(N+\theta)t_0$ จะมีจำนวนชั้นที่สร้างเสร็จสมบูรณ์แล้ว $N$ ชั้น และ ชั้นที่กำลังสร้างอยู่บนสุดนั้นมีสัดส่วนเป็น $\theta$ ของพื้นที่ผิวทั้งหมด