X-ışını kırınım desenleri, bir kristal içindeki çok sayıda minik “dalga kaynağı”nın birbiriyle girişimde bulunması sonucu ortaya çıkar ve bunu, bu kaynakların karmaşık genliklerini doğru fazlarla toplayarak tahmin edebiliriz. (Gerçek) bir genlik$A\ge0$ ve bir $\phi$ faz ile karakterize edilen tek renkli bir dalga düşünelim. Karmaşık genliği$\tilde{A}$ şu şekilde tanımlarız:
$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$
Böylece dalganın (gerçek) genliği $\tilde{A}$ 'nin mutlak değeri olur ve $\phi$ ise fazıdır. Dolayısıyla$\tilde{A}$ , hem mutlak değeri hem de fazı tek bir karmaşık sayı içinde uygun bir şekilde kodlar. Bu problem setinde, toplam karmaşık genliğin karesi ile boyutsuz bir yoğunluk tanımlıyoruz:
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
Dedektör tepkisi, gelen ışın normalizasyonu ve yaygın yayılma faktörleri gibi yaygın deneysel ve geometrik orantılılık faktörleri bu tanıma dahil edilmiştir. Buna karşılık, tek elektron saçılma genliği$f_0$, tek bir noktasal elektrondan saçılma genliği ölçeği olarak açıkça korunmuştur.
Kristal bir malzeme gelen bir dalgaya maruz kaldığında, dalga kristal kafes tarafından kırılır ve kırılan dalga parçaları birbirleriyle girişim yapar. Ortaya çıkan kırınım dalgasının yoğunluğu, tek tek kırınım dalgalarının karmaşık genlikleri toplanarak, aralarındaki faz farkları dikkate alınarak ve ardından ortaya çıkan toplam karmaşık genliğin karesi hesaplanarak bulunabilir. Kırınım esas olarak elektronlarla etkileşimlerden kaynaklanır ve çekirdekler gibi daha ağır parçacıkların katkıları genellikle ihmal edilebilir düzeydedir. Tek bir nokta elektron tarafından kırınan dalganın genliği, yalnızca elektron ile dedektör arasındaki mesafeye $R = |\mathbf{R}|$ bağlıdır. $R $, örneğin boyutlarından çok daha büyük olduğundan, örnek üzerindeki değişimi ihmal edilebilir. Bu nedenle, tek tek kırınan dalgalar arasındaki faz farkları uygun şekilde hesaba katılarak toplam kırınan dalga doğru bir şekilde belirlenebilir; bu sırada dalgaların genliklerinin sabit olduğu varsayılır.
$\mathbf{k}_i$ve $\mathbf{k}_f$ sırasıyla gelen dalganın ve kırınan dalganın dalga vektörlerini temsil etsin. Dalga vektörü $\mathbf{k}_i$ olan gelen düzlem dalga, dalga vektörü $\mathbf{k}_f$ olan bir dalgaya kırınır. Momentum aktarımı şu şekilde tanımlanır:
$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i$$
ve dalga boyu değişmediği için bunların büyüklüklerinin eşit olduğu varsayılır:
$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$
$\mathbf{r}_1$ ve $\mathbf{r}_2$ konumlarında bulunan iki nokta elektronu ele alalım ve $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ ifadesini tanımlayalım. Bir dedektör $\mathbf{P}$ konumunda yer almaktadır ve $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$ ifadesini tanımlıyoruz. Bir düzlem dalga $E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ bu iki elektrona çarpmaktadır ve kırınan dalga, $\mathbf{k}_f$ yönü boyunca uzak alanda gözlemlenmektedir. A bölümünde, yalnızca göreceli uzamsal fazlar önemli olduğundan, ortak zaman bağımlı faktör $e^{-i\omega t}$ dikkate alınmamaktadır.
A1 0.60 $R\equiv|\mathbf R|\gg|\mathbf r|$ uzak alan yaklaşımı kapsamında, yalnızca en yüksek mertebeden $ |\mathbf r|/R$ terimini tutun ve giden geometrik yol farkı, $\Delta L_{\rm out}\equiv |\mathbf{P}-\mathbf{r}_1|-|\mathbf{P}-\mathbf{r}_2|$ ifadesinin $\mathbf k_f$ ve $\mathbf r$ terimleriyle ifade edin; ya da eşdeğer olarak $\mathbf k_f/k_f$ ile.
A2 0.40 A.1'deki sonucunuzu kullanarak ve $\mathbf{r}_1$ve $\mathbf{r}_2$ noktalarındaki gelen dalganın konuma bağlı fazını dikkate alarak, dedektörde ortaya çıkan iki kırınım katkısı arasındaki faz farkını, $\mathbf{q}$ ve $\mathbf{r}$ cinsinden ifade edin. Faz farkı şu şekilde tanımlanır:$\Delta\phi\equiv\phi_1-\phi_2$ , burada$\phi_1$ ve $\phi_2$ sırasıyla $r_1$ ve $r_2$ noktalarındaki elektronların katkılarının fazlarıdır.
A3 0.60 Bu iki elektrondan yayılan kırınım dalgasının toplam karmaşık genliğini $\mathbf{q}$ ve $\mathbf{r}$ kullanarak ifade edin. Yoğunluğu etkilemediği için, genel ortak faz faktörünü göz ardı edebilirsiniz. Tek bir noktadaki elektrondan yayılan kırınım dalgasının gerçek $f_0$ genliğinin, konumdan bağımsız bir sabit olduğunu varsayalım.
$\mathbf{r}_1$ve $\mathbf{r}_2$ konumlarında bulunan iki nokta benzeri elektronu ele alalım; burada $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$olduğunu varsayalım. Dalga boyu $\lambda_0$ olan bir ışın demeti (yani $k=2\pi/\lambda_0$ ve $\omega=2\pi c/\lambda_0$) elektronları aydınlatır ve kırınan dalga, $\mathbf{k}_f$ boyunca uzak alanda gözlemlenir. Gelen alanı, zamana bağlı rastgele bir faza sahip düzlem dalga olarak modelleyeceğiz,
$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$
burada $\phi(t)$ parça parça sabittir ve belirli zaman aralıklarında rastgele faz sıçramalarına uğrar
$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$
$L_0$ (verilen) boyuna koherans uzunluğudur. Her bir $t_0$ uzunluk aralığının başında, $\phi(t)$ , $[0,2\pi)$ üzerinde düzgün dağılım gösteren yeni ve bağımsız bir değere sıfırlanır. $I_0$ aynı geometride tek bir elektronun dedektörde vereceği (zaman ortalamalı) yoğunluğu temsil etsin. Bu problemde, dedektörün zaman ortalamalı bir yoğunluğu ölçtüğü varsayılır. Yani, tek tek rastgele faz sıçramalarını ayırt etmez. Bunun yerine, faz sıçrama aralığından çok daha uzun bir süre boyunca anlık yoğunluğun ortalamasını kaydeder: $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ Burada$\langle \cdots \rangle_t$ , birçok faz sıçrama aralığı üzerinden bir ortalamayı ifade eder.
B1 2.30 Yukarıdaki faz atlama modelini kullanarak, iki elektronun dedektörde oluşturduğu zamanortalamalı toplam yoğunluğu$\langle I\rangle_t$ bulun. Sonucunuzu $I_0,$ $\mathbf{q}\equiv \mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ , ayrım vektörü $\mathbf{r}$, dalga boyu $\lambda_0$ve koherans uzunluğu $L_0$ cinsinden ifade etmelisiniz. Dedektörün $\gg t_0$ dan çok daha uzun zaman aralığı boyunca ortalama yaptığını varsayınız.
Bir elektron genellikle klasik bir nokta parçacığı olarak ele alınır, ancak daha gerçekçi bir modelde yükü, sınırlı bir uzamsal bölgeye dağılmış olarak düşünülebilir. İki idealize edilmiş yük dağılımını ele alalım: (i) $\mathbf r=0$ konumunda bulunan ve saçılma genliği $A_1(\mathbf q)=Q_0$ olan ideal bir nokta yükü, (ii) genişletilmiş bir Gauss yük dağılımı $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$.
Sabitler $Q_0$ ve $\rho_0$ , her iki durumda da toplam yükün aynı olması için seçilir:
$$Q_0= \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$
Burada $d^3 r$, üç boyutlu uzaydaki hacim elemanını ifade eder. Kartezyen koordinat sisteminde, $d^3r=dxdydz$ ve $\int_{\mathbb R^3}$ tüm uzay üzerinde integrasyonu ifade eder. Yararlı özdeşlikler (kanıt gerektirmeden kullanılabilir):
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$
Bir filmin yüzeyinin (yani en üstteki atom katmanlarının) tamamen düz olmadığını, ancak yüzey pürüzlülüğü gösterdiğini düşünün. Yaygın bir model, yerel film kalınlığının (tek tabaka cinsinden ölçülen) Gauss dağılımını izlediğini varsaymaktır. $N$, ışının yanal tutarlılık alanı içindeki tamamlanmış tek tabakaların yerel sayısını temsil etsin. $N$ değerinin yüzey boyunca değiştiğini ve $\bar N$ ortalama değeri ve $\sigma$ standart sapma değeri (her ikisi de tek tabaka biriminde) ile normal dağılım gösterdiğini varsayalım:
$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
(Ortalamaları değerlendirmek amacıyla, $N$ değişkenini sürekli bir değişken olarak ele alabilirsiniz.) $d$ bitişik atom katmanları (tek katmanlar) arasındaki mesafe olsun ve $q_z$ değeri, saçılma vektörünün $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ filmin düz yüzeyine dik bileşenini, yani $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$'yi temsil etsin. Tek katman sayısı $N$'nin tam sayı olduğu durumlarda, saçılma genliği
$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
ile verilir. Gauss kalınlık dağılımı üzerinden ortalama alırken,$N$ 'yi sürekli bir değişken olarak ele alır ve aşağıdaki kapalı formdaki ifadeyi
$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$
karşılık gelen sürekli eklenti olarak kullanırız . Ölçülen kırınım yoğunluğunun koherent ortalama genlikten elde edildiğini varsayalım,
$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$
Bir alt tabaka üzerinde katman katman büyütülmüş, basit kübik yapıya sahip ince bir film düşünün; yani, bir sonraki tek tabakanın büyümeye başlamasından önce her bir tek tabaka tamamlanmaktadır. Bitişik atom katmanları (tek katmanlar) arasındaki mesafeyi $d$ olarak alalım ve filmin düz yüzeyine dik olan $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ nin bileşenini $q_z$ ile gösterelim, bir diğer tabirle$q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$ olarak gösterelim. Film büyüdükçe, filmin kalınlığı değişir ve $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ değerindeki kırınım yoğunluğu da değişir. Hesaplama, belirtilen düzlem dışı momentum transferinde gerçekleştirilir ve tüm tek katman katkıları tutarlı bir şekilde toplanır.
E1
2.30
Eğer film $t = 0$ anında uzamaya başlarsa ve bir tek tabakanın oluşması için gereken süre $t_0$ ise, kırınım yoğunluğu oranını bulun
$$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)}$$
$\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ değerinde ölçülmüştür. Her tek tabaka büyüme aralığı boyunca, üst tabakanın kaplama oranının 0'dan 1'e doğrusal olarak arttığını varsayalım; böylece $t=(N+\theta)t_0$ zamanında, tamamlanmış $N$ tabaka ve bir sonraki tek tabakanın kaplama oranı $\theta$ vardır.