Logo
Logo

Магнитный резонанс и внешние флуктуации

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Разбалловка

A26
0.0
Сумма баллов
A1  1.20 Найдите положение $q$ и скорость $\dot q={{\rm d}q}/{{\rm d}t}$ осциллятора в момент времени $t=T_0$. Выразите их через $A$, $\delta$, $f_0$, $\omega_0$.

1 $q(T_0)=A\sin\delta-\frac{4f_0}{\omega_0^2}$, $\dot q(T_0)=A\omega_0 \cos\delta$ 2 × 0.60
A2  1.20 Полная механическая энергия осциллятора равна $E(t)= {m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}/{2}$. Найдите разность энергий $E(t)$ между моментами времени $t=T_0$ и $t=0$, вызванную действием внешней силы $F(t)$. Иными словами, найдите $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$. Выразите ответ через $A$, $\delta$, $f_0$, $\omega_0$.

1 $ { \Delta E = 4mf_0 \left( {2f_0}/{\omega_0^2} - A\sin\delta \right) } $ 1.20
A3  1.20 Пусть $\delta$ — случайная величина, равномерно распределённая в интервале $-\pi \le \delta < \pi$. Иными словами, рассмотрим большое число осцилляторов, подчиняющихся уравнению $(1)$. У всех них $A$ одинаково, а $\delta$ выбирается случайно из диапазона $-\pi\le\delta < \pi$. Вычислите среднее значение поглощаемой ими энергии $\langle \Delta E \rangle$, а также средний квадрат $\langle (\Delta E)^2 \rangle$.

1 ${ \langle \Delta E \rangle = {8mf_0^2}/{\omega_0^2} } $, $ { \langle (\Delta E)^2 \rangle = 8m^2 f_0^2 A^2 + {64m^2 f_0^4}/{\omega_0^2} }$ 2 × 0.60
B1  1.50 Выразите компоненты $M_x$, $M_y$, $M_z$ через $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$.

1 $M_x=-\omega_1$, $ M_y=0$, $ M_z=-(\omega_0+\omega_2)$ 3 × 0.50
B2  0.90 Получите уравнения, описывающие изменение $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ со временем. В них должны входить $M_x, M_y, M_z $ и $\Theta$.

1 $\dot\Sigma_X = M_y \Sigma_Z + (-M_z\cos\Theta+M_x\sin\Theta)\Sigma_Y$

$\dot\Sigma_Y = (M_z\cos\Theta+M_x\sin\Theta)\Sigma_X + (M_z\sin\Theta-M_x\cos\Theta)\Sigma_Z$

$\dot\Sigma_Z = -M_y\Sigma_X + (-M_z\sin\Theta+M_x\cos\Theta)\Sigma_Y $ 		3 × 0.30
B3  1.00 Используя результаты пунктов B1 и B2, выразите $\Omega$ и $\operatorname{tg}\Theta$ через $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$.

1 $\tan\Theta = \frac{\omega_1}{\omega_0+\omega_2}$, ${ \Omega= \sqrt{ (\omega_0+\omega_2)^2+\omega_1^2 } }$ 2 × 0.50
B4  1.50 Получите выражение для $\langle S_z(t)\rangle$.

1 ${ \langle S_z(t)\rangle = \langle S_z(0)\rangle \left( \sin^2\Theta \cos(\Omega t) + \cos^2\Theta \right) }$ 1.50
B5  1.50 Оказалось, что в моменты времени, равные нечётным кратным $T_1$ (т.е. $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \ldots$), имеет место $\langle S_z(t)\rangle =0$. При этом во все остальные моменты времени выполняется $\langle S_z(t)\rangle>0$. Вычислите $\omega_1T_1$.

1 $ { \omega_1 T_1 = \frac{\sqrt{2}\pi}{2} } $ 1.50