Pho.rs: Магнитный резонанс и внешние флуктуации

A1 ^1.20 Найдите положение $q$ и скорость $\dot q={{\rm d}q}/{{\rm d}t}$ осциллятора в момент времени $t=T_0$. Выразите их через $A$, $\delta$, $f_0$, $\omega_0$.

Уравнение легко решается, если определить\[\tilde q = q - \frac{f_0}{\omega_0^2}, \quad 0 < t < \frac{T_0}{2}.\]Тогда уравнение принимает вид\[\ddot{\tilde q} + \omega_0^2 \tilde q = 0.\]Для интервала\[\frac{T_0}{2} < t < T_0\]определим\[\bar q = q + \frac{f_0}{\omega_0^2},\]тогда\[\ddot{\bar q} + \omega_0^2 \bar q = 0.\]До включения внешней силы $f(t)$ движение задавалось:\[q_{t < 0}(t)=A\sin(\omega_0 t+\delta).\]Амплитуда $A$ связана с начальной энергией:\[E=\frac12 m\omega_0^2A^2,\]а второе начальное условие (то есть значение $q(0))$ задаётся фазой $\delta$. Для интервала\[0 < t < \frac{T_0}{2}\]общее решение:\[q_{0 < t < T_0/2}(t)= \tilde A \sin(\omega_0 t+\tilde\delta)+\frac{f_0}{\omega_0^2}.\]Приравнивая координату и скорость в момент $t=0$, получаем:\[A\sin\delta=\tilde A \sin\tilde\delta+\frac{f_0}{\omega_0^2},\]\[A\cos\delta=\tilde A \cos\tilde\delta.\]Для интервала\[\frac{T_0}{2} < t < T_0\]общее решение:\[q_{T_0/2 < t < T_0}(t)=\bar A \sin(\omega_0 t+\bar\delta)-\frac{f_0}{\omega_0^2}.\]Приравнивая состояние в момент\[t=\frac{T_0}{2},\]используя\[\omega_0 T_0=2\pi,\]имеем:\[-\tilde A \sin\tilde\delta+\frac{f_0}{\omega_0^2}=-\bar A \sin\bar\delta-\frac{f_0}{\omega_0^2},\]\[\tilde A \cos\tilde\delta=\bar A \cos\bar\delta.\]Теперь в момент $t=T_0$:\[q(T_0)=\bar A \sin\bar\delta-\frac{f_0}{\omega_0^2}=\tilde A\sin\tilde\delta-\frac{3f_0}{\omega_0^2}=A\sin\delta-\frac{4f_0}{\omega_0^2}\tag{1}\]и\[\dot q(T_0)= \bar A \omega_0 \cos\bar\delta= \tilde A \omega_0 \cos\tilde\delta= A\omega_0 \cos\delta.\tag{2}\]

Ответ: \[q(T_0)=A\sin\delta-\frac{4f_0}{\omega_0^2},\quad \dot q(T_0)=A\omega_0 \cos\delta\]

A2 ^1.20 Полная механическая энергия осциллятора равна $E(t)= {m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}/{2}$. Найдите разность энергий $E(t)$ между моментами времени $t=T_0$ и $t=0$, вызванную действием внешней силы $F(t)$. Иными словами, найдите $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$. Выразите ответ через $A$, $\delta$, $f_0$, $\omega_0$.

Полная механическая энергия:\[m^{-1}E_{t\ge T_0}=\frac12 \bar A^2 \omega_0^2 \cos^2\bar\delta+\frac12 \omega_0^2 \left( \bar A \sin\bar\delta - \frac{f_0}{\omega_0^2} \right)^2\]После преобразований: \[ m^{-1}E_{t\ge T_0} = m^{-1}E_{t\le0} 4f_0 \left( A\sin\delta - \frac{2f_0}{\omega_0^2} \right). \] Следовательно, \[ \Delta E = -4mf_0 \left( A\sin\delta - \frac{2f_0}{\omega_0^2} \right) \] или

Ответ: \[ { \Delta E = 4mf_0 \left( \frac{2f_0}{\omega_0^2} - A\sin\delta \right) } \]

A3 ^1.20 Пусть $\delta$ — случайная величина, равномерно распределённая в интервале $-\pi \le \delta < \pi$. Иными словами, рассмотрим большое число осцилляторов, подчиняющихся уравнению $(1)$. У всех них $A$ одинаково, а $\delta$ выбирается случайно из диапазона $-\pi\le\delta < \pi$. Вычислите среднее значение поглощаемой ими энергии $\langle \Delta E \rangle$, а также средний квадрат $\langle (\Delta E)^2 \rangle$.

Так как \[ \langle \sin\delta \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin\theta\,\mathrm d\theta =0, \] и \[ \langle \sin^2\delta \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2\theta\,\mathrm d\theta = \frac12, \] получаем

Ответ: \[ { \langle \Delta E \rangle = \frac{8mf_0^2}{\omega_0^2} } ,\quad { \langle (\Delta E)^2 \rangle = 8m^2 f_0^2 A^2 + \frac{64m^2 f_0^4}{\omega_0^2} } \]

B1 ^1.50 Выразите компоненты $M_x$, $M_y$, $M_z$ через $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$.

Поскольку \[ \dot S_\pm = \pm i\omega_2 e^{\pm i\omega_2 t}\Sigma_\pm + e^{\pm i\omega_2 t}\dot\Sigma_\pm, \] а \[ \dot S_z=\dot\Sigma_z, \] получаем систему: \[ \dot\Sigma_+ = -i(\omega_0+\omega_2)\Sigma_+ + i\omega_1 \Sigma_z, \] \[ \dot\Sigma_- = +i(\omega_0+\omega_2)\Sigma_- i\omega_1 \Sigma_z, \] \[ \dot\Sigma_z = \frac{i\omega_1}{2} (\Sigma_+ - \Sigma_-). \] Используя \[ \Sigma_\pm=\Sigma_x \pm i\Sigma_y, \] получаем: \[ \dot\Sigma_x = (\omega_0+\omega_2)\Sigma_y, \] \[ \dot\Sigma_y = -(\omega_0+\omega_2)\Sigma_x + \omega_1 \Sigma_z, \] \[ \dot\Sigma_z = -\omega_1 \Sigma_y. \] Следовательно

Ответ: \[ M_x=-\omega_1, \quad M_y=0, \quad M_z=-(\omega_0+\omega_2) \]

B2 ^0.90 Получите уравнения, описывающие изменение $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ со временем. В них должны входить $M_x, M_y, M_z $ и $\Theta$.

После поворота координат: \[ v_x=v_X\cos\Theta+v_Z\sin\Theta, \] \[ v_y=v_Y, \] \[ v_z=-v_X\sin\Theta+v_Z\cos\Theta. \] Применяя это к $\Sigma$, получаем: \[ \dot\Sigma_X = M_y \Sigma_Z + (-M_z\cos\Theta+M_x\sin\Theta)\Sigma_Y \tag{3} \] \[ \dot\Sigma_Y = (M_z\cos\Theta+M_x\sin\Theta)\Sigma_X + (M_z\sin\Theta-M_x\cos\Theta)\Sigma_Z \tag{4} \] \[ \dot\Sigma_Z = -M_y\Sigma_X + (-M_z\sin\Theta+M_x\cos\Theta)\Sigma_Y \tag{5} \]

Ответ: \[ \dot\Sigma_X = M_y \Sigma_Z + (-M_z\cos\Theta+M_x\sin\Theta)\Sigma_Y \] \[ \dot\Sigma_Y = (M_z\cos\Theta+M_x\sin\Theta)\Sigma_X + (M_z\sin\Theta-M_x\cos\Theta)\Sigma_Z \] \[ \dot\Sigma_Z = -M_y\Sigma_X + (-M_z\sin\Theta+M_x\cos\Theta)\Sigma_Y \]

B3 ^1.00 Используя результаты пунктов B1 и B2, выразите $\Omega$ и $\operatorname{tg}\Theta$ через $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$.

Выбираем

Ответ: \[ \tan\Theta = \frac{\omega_1}{\omega_0+\omega_2}\]

Тогда система упрощается: \[ \dot\Sigma_X = +\Omega \Sigma_Y, \] \[ \dot\Sigma_Y = -\Omega \Sigma_X, \] \[ \dot\Sigma_Z=0, \] где

Ответ: \[ { \Omega= \sqrt{ (\omega_0+\omega_2)^2+\omega_1^2 } } \]

B4 ^1.50 Получите выражение для $\langle S_z(t)\rangle$.

Пусть начальные условия: \[ S_x(0)=S_y(0)=0, \quad S_z(0)=\mu \neq 0. \] По определению: \[ S_z(t) = -\Sigma_X(t)\sin\Theta + \Sigma_Z(t)\cos\Theta. \tag{6} \] Из уравнений: \[ \dot\Sigma_Z=0 \Rightarrow \Sigma_Z(t)=\mu\cos\Theta \tag{7} \] и \[ \ddot\Sigma_X = -\Omega^2 \Sigma_X \Rightarrow \Sigma_X(t) = -\mu \sin\Theta \cos(\Omega t). \tag{8} \] Подставляя:

Ответ: \[ { \langle S_z(t)\rangle = \langle S_z(0)\rangle \left( \sin^2\Theta \cos(\Omega t) + \cos^2\Theta \right) } \]

B5 ^1.50 Оказалось, что в моменты времени, равные нечётным кратным $T_1$ (т.е. $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \ldots$), имеет место $\langle S_z(t)\rangle =0$. При этом во все остальные моменты времени выполняется $\langle S_z(t)\rangle>0$. Вычислите $\omega_1T_1$.

Условие выполняется только если \[ \Theta=\frac{\pi}{4}, \qquad \Omega T_1=\pi. \] Так как \[ \tan\Theta = \frac{\omega_1}{\omega_0+\omega_2}=1, \] то \[ \Omega = \sqrt{ \omega_1^2+(\omega_0+\omega_2)^2 } = \sqrt{2}\cdot \omega_1. \] Следовательно

Ответ: \[ { \omega_1 T_1 = \frac{\sqrt{2}\pi}{2} } \]

Магнитный резонанс и внешние флуктуации

Решение