Pho.rs: Измерение сопротивлений с помощью Micro:bit

A1 ^0.60 Нарисуйте измерительную схему, с помощью которой можно проверить линейную связь между потенциалом и показаниями АЦП. Придерживайтесь следующих требований:

Отметьте все узлы, в которых будут производиться измерения потенциала, и присвойте каждому из них уникальное обозначение (например, $a,b,\ldots$).

Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания Micro:bit ($V_c$, $GND$) и цепью как $V_c$ и $ GND$, соответственно.

A2 ^0.60 Соберите схему и проведите измерения для всех её узлов. Используйте только один контроллер Micro:bit. Рассчитайте разности в измерениях АЦП между соседними узлами для проверки линейности. Проверьте линейность, считая, что максимально допустимое отклонение не должно превышать $2\%$ (наибольшее отклонение среди всех точек от среднего значения).

Таблица с прямыми измерениями:

	$N_L$	$N_g$	$N_f$	$N_e$	$N_d$	$N_c$	$N_b$	$N_a$	$N_H$
АЦП1	0	128	257	385	513	639	769	897	1023

Таблица пересчёта:

	$\Delta N$ (g/GND)	$\Delta N$ (f/g)	$\Delta N$ (e/f)	$\Delta N$ (d/e)	$\Delta N$ (c/d)	$\Delta N$ (b/c)	$\Delta N$ (a/b)	$\Delta N$ ($V_c$/a)	$\overline{\Delta N}$
АЦП1	128	129	128	128	126	130	128	126	127.88

Максимальное наблюдаемое отклонение $\textrm{max} (\Delta N_i - \overline{\Delta N}) = 2.125$, что соответствует $2.125 / 127.88 \cdot 100 =1.66\% < 2\%$. Линейность подтверждается.

B1 ^0.50 Нарисуйте измерительную схему для измерения сопротивления неизвестного резистора ($r$), используя эталонный резистор ($R$).

Примечание: эталонный резистор $R$ должен быть напрямую подключен к узлу GND. Обозначьте все измерительные узлы буквами и укажите все используемые величины на схеме. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания ($V_c$, $GND$) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как $V_c$ и $ GND$, соответственно.

B2 ^0.50 Для полученного делителя напряжения получите выражение для расчета неизвестного сопротивления. Запишите все необходимые уравнения, получите выражение через выходные значения АЦП, $N_L$, $N_H$ и т.д. Пере пишите формулу для случаев $N_L = 0$ и $N_H =1023$.

В полученном делителе напряжений потенциал узла $V$ определяется выражением
\[V = \frac{R}{r+R}V_c.\]Предполагается, что потенциал $V$ на входе Micro:bit связан с показанием $N$ линейно. Тогда потенциал $V$ задаётся выражением $$V = \frac{N-N_L}{N_H-N_L}V_c.$$Отсюда находим

Ответ: $$r = \frac{N_H - N}{N-N_L}R.$$

Если $N_L = 0$ и $N_H = 1023$:

Ответ: $$r = \frac{1023-N}{N}R.$$

B3 ^1.00 Соберите схему и проведите измерения с использованием трех контроллеров Micro:bit. Каждым устройством получите полный набор измерений для своей схемы (для всех узлов). Считая, что истинные значения обоих сопротивлений равны $3.3~кОм$, рассчитайте среднюю относительную погрешность ($\bar{\epsilon}$), усредненную по трем АЦП. Рассчитайте также относительное стандартное отклонение (RSD) найденных значений сопротивления. Средняя относительная погрешность — это средняя величина отклонения между измеренными и истинными значениями, нормированная по истинному значению. RSD — это отношение среднеквадратичного отклонения к среднему значению.

	$N_L$	$N$	$N_H$	$r_\text{est}\left(=\dfrac{N_H-N}{N-N_L}R\right),~\Omega$	$\varepsilon=\left\|\dfrac{r_\text{true}-r_\text{est}}{r_\text{true}}\right\|,~10^{-3}$
АЦП1	0	512	1023	3294	1.95
АЦП2	1	…	1022	…	…
АЦП3	…	…	…	…	…

По прямым измерениям можно найти $\overline{\varepsilon}$ и $\textrm{RSD} = \dfrac{1}{\overline{r}}\sqrt{\dfrac{\sum_{i=0}^3(r_i - \overline{r})^2}{3-1}}$.

B4 ^0.60 Теперь проанализируйте, как приборная погрешность измерения АЦП ($e$) влияет на точность определения сопротивления. Для простоты примем, что $N_{L}=0$ и $N_{H}=1023$. Выразите погрешность $\Delta r$ сопротивления через $N$, $e$ и $R$. Считайте, что $e$ достаточно мало по сравнению с $N$.

$$r=\dfrac{1023 - N}{N}R \Rightarrow \frac{dr}{dN} = -\frac{1023}{N^2}R.$$ Погрешность может быть определена по производной $$\Delta r = \left|\cfrac{dr}{dN}\right|\cdot e.$$ Окончательно

Ответ: $$\Delta r = \dfrac{1023}{N^2}R e.$$

B5 ^0.90 Пусть погрешность АЦП равна $e=1$, рассчитайте требуемый диапазон $r/R$, при котором относительная погрешность сопротивления (${\Delta r}/{r}$) остается в пределах $1\%$.

С учётом результатов пунктов B2 и B4 условие на относительную погрешность может быть переписано как $$\frac{1023}{N(1023-N)} \leqslant 0.01\Rightarrow N^2 - 1023N + 102300 \leqslant 0.$$ Решение этго неравенства даёт две границы:
$$N\geqslant N_{min} = 112.33,\quad N\leqslant N_{max} = 910.67.$$ Это даёт ограничения на сопротивления:

Ответ: $$0.123 R \leqslant r \leqslant 8.11 R.$$

C1 ^0.60 Используя эталонный резистор ($12~кОм$) из набора резисторов C, вычислите сопротивления неизвестных резисторов $r_1$ (синяя трубка) и $r_2$ (красная трубка). Используйте метод из части B. Сделайте это только для одного из трех Micro:bit.

Прямые измерения для $r_1$:

	$N_L$	$N$	$N_H$	$r_\text{est}\left(=\dfrac{N_H-N}{N-N_L}R\right),~\Omega$
АЦП1	0	904	1023	1580

Прямые измерения для $r_2$:

	$N_L$	$N$	$N_H$	$r_\text{est}\left(=\dfrac{N_H-N}{N-N_L}R\right),~\Omega$
АЦП1	0	1005	1023	215

C2 ^0.60 Точность результата, полученного в C1 для резистора $r_2$ (красная трубка), неудовлетворительна. Нарисуйте схему цепи, содержащую $R$, $r_1$, $r_2$, которая позволяет более точно определить $r_2$.

Примечание: На всех схемах должны быть четко обозначены все узлы, в которых вы снимаете значения, и используемые переменные. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания ($V_c$, $GND$) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как $V_c$ и $ GND$ соответственно.

Примечание: возможны другие подходы, например, определение $r_1$ с использованием $R$ и последующее определение $r_2$ с использованием параллельного соединения $r_1$ и $R$.

Нахождение $r_1$ и $r_1+r_2$ с использованием $R$ с дальнейшим вычитанием всё ещё неточно из-за ошибки дискретизации.

C3 ^0.70 Вычислите $r_2$ из эксперимента, предложенного вами в C2. Рассчитайте сопротивление для каждого из трех Micro:bit и вычислите разницу между максимальным и минимальным значениями полученного сопротивления.

Сопротивления определяются по формулам, полученным в части B:
\[r_1 = \dfrac{N_H - N}{N-N_L}R,\quad r_2 = \dfrac{N_H-N}{N-N_L}r_1.
\]

	$N_L$	$N$	$N_H$	$r_1,~\Omega$	$N_L$	$N$	$N_H$	$r_2,~\Omega$
АЦП1	0	904	1023	1580	0	891	1023	234
АЦП2	0	904	1023	1580	0	892	1023	228
АЦП3	0	906	1023	1550	0	892	1023	227

Среднее значение равно $\overline{r_2}=229.7~\Omega$, а разница между максимальным и минимальным значениями $\Delta r_2 = 7~\Omega$.

D1 ^0.80 Предложите метод определения неизвестного сопротивления $r$ и зарисуйте соответствующую схему.

Примечание: обозначьте на схеме все узлы, в которых вы снимаете значения, и все используемые переменные. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания ($V_c$, $GND$) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как $V_c$ и $ GND$ соответственно.

D2 ^1.80 Запишите все необходимые уравнения на потенциалы узлов и $r$, после чего подставьте туда выходные значения АЦП ($N_H$, $N_L$ и др.). Получите выражение для неизвестного сопротивления $r$.

Первый случай: $r$ сверху, $R$ подсоединён к земле. Напряжение $V$ падает на соединённых параллельно $R$ и внутреннем сопротивлении АЦП $R_i$ . Эквивалентное сопротивление соединённых параллельно $R$ и $R_i$ равно $R_\text{eq1} = \dfrac{RR_i}{R + R_i}$. Тогда аналогично части B имеем

\[ V_a = \dfrac{R_\text{eq1}}{R_\text{eq1} + r}V_c\Rightarrow \dfrac{V_a}{V_c} = \dfrac{RR_i}{RR_i + rR_i +rR}.\] Пользуясь линейностью показаний АЦП, можем записать \[\dfrac{N_a-N_L}{N_H - N_L} = \dfrac{V_a}{V_c}.\]

Второй случай: $R$ сверху, $r$ подсоединён к земле. Теперь резисторы $r$ и $R_i$ параллельны. Аналогично первому случаю имеем

\[R_\text{eq2} = \dfrac{rR_i}{r + R_i},~V_b = \dfrac{R_\text{eq2}}{R_\text{eq2} + r}V_c,~ \dfrac{V_b}{V_c} = \dfrac{rR_i}{RR_i + rR_i +rR},~\dfrac{N_b-N_L}{N_H - N_L} = \dfrac{V_b}{V_c}.\]

Из полученных уравнений получаем

\[r = \dfrac{N_b-N_L}{N_a-N_L}R.\]

D3 ^0.80 Проведите измерения и вычислите $r$ для каждого из трех контроллеров Micro:bit. Вычислите его среднее значение ($\bar r$), а также разницу между максимальным и минимальным значениями.

	$N_L$	$N_a$	$N_b$	$N_H$	$r,~\text{k}\Omega$
АЦП1	0	450	589	1023	668
АЦП2	0	450	591	1023	670
АЦП3	0	449	589	1023	669

Среднее значение равно $\overline{r}=669~\text{k}\Omega$, а разница между максимальным и минимальным значениями $\Delta r = 2~\text{k}\Omega$.