В этой задаче вы будете определять сопротивление резистора с помощью встроенного в Micro:bit АЦП (аналого-цифрового преобразователя) для считывания напряжения, несмотря на то что его точность ограничена. Главное — минимизировать ошибку измерений на имеющемся оборудовании. Вам выдано три контроллера Micro:bit, чтобы скомпенсировать возможные погрешности в их работе. В целом эта задача о преодолении ограничений установки и получении достоверных результатов.

Оборудование

1. Макетная плата: Макетная плата состоит из линий питания, проходящих по обоим внешним краям, где разъёмы соединены в вертикальные столбцы для подачи питания ($+$) и земли ($-$). Центральная область для компонентов имеет внутренние соединения в виде горизонтальных рядов, состоящих из пяти разъёмов каждый (A—E и F—J). Эти левая и правая группы по пять разъёмов полностью изолированы друг от друга центральной перегородкой.
2. Высокоточные резисторы (A, B, C и D): компоненты с допуском $0.1\%$, где резисторы с известным сопротивлением служат в качестве эталонных «истинных значений» для проверки точности системы, а резисторы с неизвестным сопротивлением закрыты цветными трубками. Их значения и нужно определить в эксперименте. Снимать трубки с «неизвестных» сопротивлений категорически запрещено!

• Набор резисторов A: десять резисторов $3.3 ~кОм$.
  
• Набор резисторов B (в данном эксперименте не используется): резистор $6.8 ~кОм$, резистор $560 ~Ом$ и резистор неизвестного номинала (закрыт зеленой трубкой) (в данном эксперименте не используется).
  
• Набор резисторов C: один резистор $12 ~ кОм$ и два резистора неизвестного номинала (один закрыт синей трубкой, а другой — красной).
  
• Набор резисторов D: один резистор $510 ~ кОм$ и резистор неизвестного номинала (закрытый черной трубкой).
  

3. Набор Micro:bit: контроллер Micro:bit, выводная плата (3a), три предварительно вставленные перемычки (3b, 3c, 3d) и батарейный отсек (3e) с батарейками.

Измерение потенциала с помощью Micro:bit

Как подключать провода (см. рис. 1)

Подключите три перемычки от выводной платы в соответствии с их вертикальным расположением:

• 3b: Верхняя перемычка (верхний контакт выводной платы на рис. 1). Вставьте его в разъём, где необходимо измерить потенциал.
• 3c: Средняя перемычка (средний контакт выводной платы на рис. 1). Подключите ко входу питания схемы ($V_c$, $+$).
• 3d: Нижняя перемычка (нижний контакт выходной платы на рис. 1). Подключите к земле ($GND$, $-$) схемы.

Порядок проведения измерений

1. Настройка питания: сначала подключите нижнюю (GND) и среднюю ($V_c$) перемычки, а затем включите батарейки.
2. Измерительный контакт: при включенном питании вставьте верхнюю перемычку в необходимый разъём.
3. Вывод данных: нажмите кнопку A или B на передней панели Micro:bit и запишите прокручивающееся цифровое значение ($N$).

Важные примечания

• Когда устройство не используется, отключайте питание для экономии заряда.
  
• Проверка системы: Подключите цепь, как показано на рис. 1. При присоединении верхней перемычки к GND показание должно быть близко к 0. При присоединении верхней перемычки ко входу питания схемы ($V_c$) показание должно быть близко к 1023. Проверка обеих точек позволяет убедиться, что нулевой уровень и полный диапазон измерений откалиброваны правильно. Если измеренные значения значительно отличаются от указанных выше, вероятно, это связано с ошибкой в подключении или плохим контактом.
  
• Предотвращение короткого замыкания: убедитесь, что средняя ($V_c $) и нижняя ($GND$) перемычки не соприкасаются напрямую. В случае неисправности измерения станут недоступны, а на дисплее отобразится сообщение об ошибке. В таких случаях вам могут заменить максимум один Micro:bit.
  
• Запрет на одновременное использование: использование более одного контроллера Micro:bit в одной цепи может повредить их. Так делать категорически запрещено.
  
• Линейное отображение: если не учитывать эффекты дискретности, в идеальной модели АЦП между напряжением на узле и целочисленным результатом измерения $N$ существует прямая пропорциональность. То есть в идеальной модели АЦП потенциалы в диапазоне от 0 до $V_c$ прямо пропорциональны цифровым значениям в диапазоне от 0 до 1023.
  

Часть A. Анализ измерений АЦП (1.2 балла)

Цель задачи — изучить взаимосвязь между цифровым выводом Micro:bit ($N$) и потенциалом узла ($V$). Собрав схему из восьми одинаковых резисторов из «Набора резисторов A», вы проверите, действительно ли встроенный АЦП соответствует идеальной линейной модели. В процессе измерений считайте, что измерительная перемычка Micro:bit является идеальным щупом, который не нарушает распределение потенциала в цепи. Считая, что все резисторы одинаковые, нужно сделать вывод, действительно ли значение потенциала прямо пропорционально показаниям АЦП.

A1  ^0.60 Нарисуйте измерительную схему, с помощью которой можно проверить линейную связь между потенциалом и показаниями АЦП. Придерживайтесь следующих требований:

Отметьте все узлы, в которых будут производиться измерения потенциала, и присвойте каждому из них уникальное обозначение (например, $a,b,\ldots$).

Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания Micro:bit ($V_c$, $GND$) и цепью как $V_c$ и $ GND$, соответственно.

A2  ^0.60 Соберите схему и проведите измерения для всех её узлов. Используйте только один контроллер Micro:bit. Рассчитайте разности в измерениях АЦП между соседними узлами для проверки линейности. Проверьте линейность, считая, что максимально допустимое отклонение не должно превышать $2\%$ (наибольшее отклонение среди всех точек от среднего значения).

По завершении части A оставьте только два резистора, использованных в эксперименте, а все остальные верните в пакет (набор резисторов A), чтобы они не мешались.

Часть B. Прямые измерения и погрешности (3.5 балла)

Цель этой части задачи — оценить значение неизвестного сопротивления $r$, по эталонному значению $R$ и выходному сигналу Micro:bit. Для анализа сделаны следующие допущения:

• Линейность АЦП: Предполагается, что встроенный АЦП обеспечивает линейную зависимость между напряжением и цифровым выходом $N$.
  
• Обозначения калибровочных констант: $N_{L}$ и $ N_{H}$ обозначают показания на узлах $GND$ и $V_c$ соответственно. (В идеальном случае $N_{L} = 0$ и $N_{H} = 1023$).
  
• Установка: выберите любые два резистора из части A: один из них используйте в качестве эталонного ($R$), а другой в качестве неизвестного ($r$).
  

B1  ^0.50 Нарисуйте измерительную схему для измерения сопротивления неизвестного резистора ($r$), используя эталонный резистор ($R$).

Примечание: эталонный резистор $R$ должен быть напрямую подключен к узлу GND. Обозначьте все измерительные узлы буквами и укажите все используемые величины на схеме. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания ($V_c$, $GND$) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как $V_c$ и $ GND$, соответственно.

B2  ^0.50 Для полученного делителя напряжения получите выражение для расчета неизвестного сопротивления. Запишите все необходимые уравнения, получите выражение через выходные значения АЦП, $N_L$, $N_H$ и т.д. Пере пишите формулу для случаев $N_L = 0$ и $N_H =1023$.

B3  ^1.00 Соберите схему и проведите измерения с использованием трех контроллеров Micro:bit. Каждым устройством получите полный набор измерений для своей схемы (для всех узлов). Считая, что истинные значения обоих сопротивлений равны $3.3~кОм$, рассчитайте среднюю относительную погрешность ($\bar{\epsilon}$), усредненную по трем АЦП. Рассчитайте также относительное стандартное отклонение (RSD) найденных значений сопротивления. Средняя относительная погрешность — это средняя величина отклонения между измеренными и истинными значениями, нормированная по истинному значению. RSD — это отношение среднеквадратичного отклонения к среднему значению.

B4  ^0.60 Теперь проанализируйте, как приборная погрешность измерения АЦП ($e$) влияет на точность определения сопротивления. Для простоты примем, что $N_{L}=0$ и $N_{H}=1023$. Выразите погрешность $\Delta r$ сопротивления через $N$, $e$ и $R$. Считайте, что $e$ достаточно мало по сравнению с $N$.

B5  ^0.90 Пусть погрешность АЦП равна $e=1$, рассчитайте требуемый диапазон $r/R$, при котором относительная погрешность сопротивления (${\Delta r}/{r}$) остается в пределах $1\%$.

По завершении части B верните все резисторы в исходную упаковку (набор резисторов A), чтобы они не мешались.

Часть C. Учет ошибки дискретизации при измерениях (1.9 балла)

Цель этой части задачи — добиться более точной оценки сопротивления, когда прямой метод из части B оказывается недостаточным из-за ошибки дискретизации. Ошибка дискретизации — это разница между непрерывным входным сигналом и его оцифрованным представлением, возникающая из-за конечного разрешения АЦП. Когда отношение сопротивлений ($r/R$) значительно отклоняется от 1, ошибка дискретизации (погрешность из-за того, что АЦП выводит целое значение) заметно возрастает, что приводит к существенным погрешностям в определении сопротивления. В этой части используется набор резисторов C.

C1  ^0.60 Используя эталонный резистор ($12~кОм$) из набора резисторов C, вычислите сопротивления неизвестных резисторов $r_1$ (синяя трубка) и $r_2$ (красная трубка). Используйте метод из части B. Сделайте это только для одного из трех Micro:bit.

C2  ^0.60 Точность результата, полученного в C1 для резистора $r_2$ (красная трубка), неудовлетворительна. Нарисуйте схему цепи, содержащую $R$, $r_1$, $r_2$, которая позволяет более точно определить $r_2$.

Примечание: На всех схемах должны быть четко обозначены все узлы, в которых вы снимаете значения, и используемые переменные. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания ($V_c$, $GND$) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как $V_c$ и $ GND$ соответственно.

C3  ^0.70 Вычислите $r_2$ из эксперимента, предложенного вами в C2. Рассчитайте сопротивление для каждого из трех Micro:bit и вычислите разницу между максимальным и минимальным значениями полученного сопротивления.

После завершения части C верните все резисторы в исходную упаковку (набор резисторов C), чтобы они не мешались.

Часть D. Дополнительные факторы при измерениях (3.4 балла)

Набор резисторов D содержит известный резистор $R_1~(=510 ~кОм)$ и неизвестный резистор $r$. Прямой метод из части B приводит к значительным погрешностям. Наблюдаемые расхождения обусловлены физическим фактором, который принципиально отличается как от нелинейности АЦП, так и от ошибок дискретизации (часть C). Ваша задача состоит в том, чтобы выявить этот фактор и предложить точный метод определения $r$.

D1  ^0.80 Предложите метод определения неизвестного сопротивления $r$ и зарисуйте соответствующую схему.

Примечание: обозначьте на схеме все узлы, в которых вы снимаете значения, и все используемые переменные. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания ($V_c$, $GND$) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как $V_c$ и $ GND$ соответственно.

D2  ^1.80 Запишите все необходимые уравнения на потенциалы узлов и $r$, после чего подставьте туда выходные значения АЦП ($N_H$, $N_L$ и др.). Получите выражение для неизвестного сопротивления $r$.

D3  ^0.80 Проведите измерения и вычислите $r$ для каждого из трех контроллеров Micro:bit. Вычислите его среднее значение ($\bar r$), а также разницу между максимальным и минимальным значениями.