物理学において、直接測定が困難な量については、観測可能な変数から間接的に導き出すことが標準的なアプローチである。本課題では、Micro:bitに内蔵されたADC (Analog-to-Digital Converter)を利用し、その精度には限界があるものの、未知の抵抗値を測定する手法を見出すこととする。高性能な外部ハードウェアを用いるのではなく、戦略的な実験設計を通じて、デバイスの系統的バイアスを理論的に克服することに焦点を当てる。

デバイス間のADCのばらつきを軽減し、採点の公平性を確保するための取り組みの一環として、3台の別々のMicro:bitが用意されており、生徒はこれにより潜在的な不利な条件を体系的に軽減することができる。最終的に、この問題では、制約のある環境下で信頼性の高い結果を得るために、測定上の限界を克服するプロセスが重視される。

注：この問題の採点基準では、有効桁数を問わない。

装置およびガイドライン

1. ブレッドボード：実験用回路を組み立て、接続するために使用される基板。ブレッドボードは、両端に沿って電源ラインが配置され、垂直の列内の穴すべてが内部接続されていて、電源（+）とアース（-）を供給する。一方、中央の部品配置エリアには、それぞれ正確な5つの穴からなる水平な列（A～EおよびF～J）が内部接続されている。これらの左右の5穴グループは、中央を縦に走る溝によって互いに完全に分離されている。

2. 高精度抵抗器セット（A、B、C、D）：許容差0.1%の高精度部品。既知の抵抗器はシステムの精度を検証するための基準となる「真値」として機能し、未知の抵抗器は実験による測定を行うため色付きチューブで覆われている。隠された値を確認するためにこれらのカバーを取り外したり破損させたりする行為は、試験不正行為として厳重に処罰される。

• 抵抗セットA：10個の$3.3 \text{ k} \Omega$抵抗
• 抵抗セットB：$6.8 \text{ k} \Omega$の抵抗、$560 \ \Omega$の抵抗、および値が不明な抵抗（緑色のチューブで覆われている。本実験では使用しない）。
• 抵抗セット C：$12 \text{ k} \Omega$の抵抗と、値が不明な2つの抵抗（1つは青いチューブで覆われ、もう1つは赤いチューブで覆われている）。
• 抵抗セット D：$510 \text{ k} \Omega$の抵抗と、値が不明な抵抗（黒いチューブで覆われている）。

3. Micro:bitキット：Micro:bit本体、拡張ボード (3a)、あらかじめ接続済みのジャンパー線3本 (3b, 3c, 3d)、および単4アルカリ電池がセットになったバッテリーホルダー (3e)で構成される、マイクロコントローラーの完全セット。

付属のMicro:bitキットを用いた電位の測定と計測

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1. 配線ガイド（図1を参照）

拡張ボードの3本のジャンパー線を、縦方向の位置に従って接続せよ：

• 3b: 上側のジャンパー線（図1中の拡張ボードの最上部ピン）：電圧を測定したい特定のノードにこれを接触させよ。
• 3c: 中央のジャンパー線（図1中の拡張ボードの中央ピン）：回路の電源入力（Vc、+）端子に接続せよ。
• 3d: 下側のジャンパー線（図1中の拡張ボードの最下部ピン）：回路のグランド（GND、-）基準点に接続せよ。

2. 測定手順

1. 電源の設定：まず下側（GND）と中央（Vc）の配線を接続し、その後バッテリーパックの電源を入れよ。
2. ピン接触：電源が入っている状態で、上部のジャンパー線を対象ノードに接触させよ。
3. データの入力：Micro:bitの前面にあるAボタンまたはBボタンを押して、スクロール表示される数値（N）を記録せよ。

3. 重要事項

• 電力を節約するため、使用しないときはバッテリーパックの電源を切ること。
• システムチェック：図1にあるように、回路を接続せよ。上側のジャンパー線をGNDノード付近に接触させると、測定値は0付近になるはずである。上側のジャンパー線を中央のジャンパー線の接続点（Vc）に接触させると、測定値は1023付近になるはずである。この2点を確認することで、測定システムのゼロ点とフルスケールが正しく校正されていることを確認できる。測定値が理論値と大きく異なる場合は、ハードウェアの制限ではなく、配線ミスや接触不良が原因である可能性が高い。
• 短絡の防止：負荷がかかっていない状態で、中央（Vc）と下部（GND）の配線が直接接触しないようにすること。そうなった場合、装置の不具合を引き起こしうる。もし不具合が発生した場合、測定結果が利用できなくなり、ディスプレイにエラーが表示される。その場合、参加者1名につき1回限り、代替機器が提供される。
• 同時使用禁止：1つの回路に複数のMicro:bitを接続することは、システム障害を引き起こす恐れがあるため、本試験会場内では、それを固く禁じる。
• 線形マッピング：量子化プロセスに起因する離散的なステップ誤差を除けば、理想的なADCモデルにおいては、ノード電圧と整数測定結果Nとの間に線形比例関係が存在する。すなわち、理想的なADCモデルでは、0 VからVcまでの電位が、0から1023までのデジタル値に線形にマッピングされる。

Part A. ADC測定値の意味を探る

目的は、Micro:bitのデジタル出力（$N$）とノード電位（$V$）との相関関係を探ることである。「抵抗セットA」の8つの同一の抵抗を用いて回路を構築し、収集したデータに基づいて、内蔵ADCが真に理想的な線形モデルに適合しているかどうかを検証する。測定プロセスにおいては、Micro:bitのピンを、回路の電位分布を乱さない理想的なプローブであると仮定する。すべての抵抗の値が同一であると仮定した上で、このパートでは、外部測定機器を使用せずに、データを回路の構造的特性と照合することで、電圧とADCの読み取り値の間に比例関係が実際に成立しているかどうかを論理的に推論することを目的としている。

A1  ^0.60 実験計画と回路図

前記の実験目的を達成できる抵抗回路を設計し、対応する回路図を作成せよ。回路図を作成する際は、以下の指針に従うこと：

測定を行う可能性のあるすべてのノードにマークを付け、それぞれに一意の識別子を割り当てよ（例：$a, b, \dots$）。

Micro:bit拡張ボードの電源ジャンパー（$V_c, GND$）と抵抗ネットワークとの接続点を、それぞれ $V_c$ および $ GND$ と明確にラベル付けせよ。

A2  ^0.60 データの収集と解析

設計した回路についてMicro:bitを1台使用し、すべてのノードの測定値を取得するための実験を実施せよ。直線性を検証するため隣接するノード間のADC測定値の差を計算し、最大偏差2%（個々のデータポイントとデータセットの平均値との間の最大差）に基づいて直線性を判定せよ。

【以後の実験に関する注意事項】

パートAの終了後、実験で使用した抵抗器のうち2個のみを残し、残りのものはすべて元の容器（抵抗器パックA）に戻すこと。これは、以後の実験手順において他の部品と混ざらないようにするためである。

Part B. 既知の基準値を用いた未知抵抗の簡易推定と誤差解析

このセクションの目的は、既知の基準抵抗 $R$ および Micro:bit の ADC 出力を用いて、未知の抵抗 $r$ の値を推定することである。この解析では、以下の仮定が設けられている：

• ADCの直線性：内蔵ADCは、電位とデジタル出力 $N$との間に直線的な関係が保たれているものと仮定する。
   
• 校正定数の表記：$N_{L}$ および $ N_{H}$ は、それぞれ $GND$ および $V_c$ ノードでの測定値を表す。（理想的には、$N_{L} = 0$ および $N_{H} = 1023$）。
   
• 設定：パートAから2つの抵抗器を選び、基準抵抗（$R$）と未知の抵抗（$r$）として使用する。
   

B1  ^0.50 回路設計と回路図

基準抵抗（$R$）を用いて、未知の抵抗（$r$）を測定するための測定回路を設計せよ。対応する回路図を作成せよ。

注：基準抵抗 $R$ は、GND 端子に直接接続すること。すべての測定ノードに文字でラベルを付け、回路図内ですべての関連変数を明記せよ。Micro:bit拡張ボードの電源ジャンパー（$V_c, GND$） と抵抗ネットワークとの接続点を、それぞれ $V_c$ および $ GND$ として明確にラベル付けすること。

B2  ^0.50 推定式の導出

電圧分割の原理を用いて、未知の抵抗の式を導出せよ。ノード電位間の関係を確立し、$N_L$ , $N_H$等のADC出力値を用いて最終的な式を導出すること。$N_{L} = 0$ および $N_{H} = 1023$の場合についての式を示せ。

B3  ^1.00 実験とデータ解析

3つのMicro:bitを使用して測定を行い、各デバイスについてノードごとに1回の読み取りを行い、データを記録せよ。既知の抵抗値と未知の抵抗値の真の値がそれぞれ$3.3\text{ k}\Omega$であると仮定して、3台のADCについての平均相対誤差 ($\bar{\epsilon}$) および推定抵抗値の相対標準偏差 (RSD) を算出せよ。

平均相対誤差とは、測定値と真値との間の偏差の平均値を、真値で除して正規化したものである。RSDは、標準偏差を平均値で割った比である。

B4  ^0.60 ADCの測定誤差（$e$）が、推定抵抗値の精度にどのような影響を与えるかを分析せよ。簡略化のため、$N_{L}=0$ および $N_{H}=1023$ と仮定する。結果として生じる抵抗誤差 $\Delta r$ を、$N,e$ および $R$ を用いて表せ。$e$は$N$に比べて十分小さいと仮定せよ。

B5  ^0.90 与えられた誤差許容範囲に収まる抵抗範囲

ADCの誤差を $e=1$ と仮定し、抵抗の相対誤差 ($\frac{\Delta r}{r}$)が1%以内に収まる$r$ /$R$の範囲を求めよ。

【以後の実験に関する注意事項】

パートBの終了後、すべてを元の容器（抵抗器パックA）に戻すこと。これは、以後の実験手順において他の部品と混ざらないようにするためである。

Part C. 抵抗値の推定精度の向上（1）：量子化誤差の問題の克服

本実験は、パートBの基本手法では量子化誤差のために不十分な条件下において、より正確な抵抗値の推定を実現することを目的としている。量子化誤差とは、アナログ-デジタル変換器（ADC）の有限な分解能に起因して生じる、連続的なアナログ入力信号とその離散化されたデジタル表現との間の誤差である。抵抗比（$r/R$）が1から大きく外れると、量子化誤差（ADCの読み取り値における1ステップ分の差）が不釣り合いに増幅され、推定抵抗値に大きな誤差が生じることになる。このパートでは抵抗セットCを用いる。

C1  ^0.60 初期抵抗の推定と統計的解析

抵抗パックC中の基準抵抗（$12\text{ k}\Omega$）を用いて、未知の抵抗$r_1$ （青いチューブ）および $r_2$ （赤いチューブ）の値を、パートBの手法に基づいて推定せよ。3つのMicro:bitのうちの1つを用いて、推定抵抗値を計算せよ。

C2  ^0.60 精度向上のための実験計画法

C.1の結果に基づくと、未知の抵抗器$r_2$（赤色のチューブ）について得られた推定値の精度や信頼性は、必ずしも十分とは言えないかもしれない。これは、推定誤差が抵抗比（$r/R$）に応じて U 字型の曲線を描くという物理的特性によるものである。この問題に対処し、$r_2$のより正確な推定を行うために、 実験計画を立案し、$R, r_1, r_2$を用いて必要な回路図を作成せよ。

注：すべての回路図には、測定ノードおよび関連する変数を明確に表記すること。Micro:bit拡張ボードの電源ジャンパー（$V_c, GND$） と抵抗ネットワークとの接続点を、それぞれ $V_c$ および $ GND$ と表記せよ。

C3  ^0.70 実験とデータ解析

C.2で提案された新しい実験計画に基づいて、$r_2$の値を再推定せよ。3つのMicro:bitそれぞれを用いて抵抗値を求め、推定された抵抗値の最大値と最小値の差を計算せよ。

【以後の実験に関する指示】

パートCの終了後、すべてを元の容器（抵抗器パックC）に戻すこと。これは、その後の実験手順において、他の部品と混ざらないようにするためである。

Part D. 抵抗値の推定精度の向上 (2)

抵抗パックDには、既知の抵抗$R_1(=510 \text{ k} \Omega)$と未知の抵抗$r$が含まれている。パートBの簡易な推定法を適用すると、大きな測定誤差が生じる可能性がある。この課題で観察される不一致は、ADCの非直線性や量子化誤差の増幅（パートC）とは根本的に異なる、明確な物理的要因に起因している。ここでの課題は、この根本的な要因を特定し、$r$を正確に推定するための測定戦略を策定することである。

D1  ^0.80 回路設計と回路図

未知の抵抗値 $r$の推定精度を高める方法を考案し、対応する回路図を作成せよ。


注：回路図上のすべての測定ポイントおよび関連する変数にラベルを付けること。Micro:bit拡張ボードの電源ジャンパー（$V_c, GND$） と抵抗ネットワークとの接続点を、それぞれ$V_c$および$ GND$として明確にラベル付けせよ。

D2  ^1.80 推定式の導出

回路設計に基づいて、未知の抵抗 $r$ を計算するための数式を導出せよ。まず、ノード電位と $r$ との関係を確立し、次に ADC 出力値（ $N_H , N_L, ,,,$）を用いて最終的な式を導出せよ。

D3  ^0.80 実験とデータ解析

設計を実装し、$r$の値を推定せよ。3つのMicro:bitそれぞれについて推定抵抗値を算出し、その平均値（$\bar r$）を求め、推定抵抗値の最大値と最小値の差を計算せよ。