בפיזיקה ניסויית, אומדן עקיף על סמך משתנים נמדדים הוא גישה מקובלת עבור גדלים קשים למדידה ישירה. בשאלה נבחן שיטה למציאת התנגדות לא ידועה באמצעות ממיר אנלוגי לדיגיטלי (ADC) המובנה של Micro:bit, מד מתח דיגיטלי, למרות מגבלות הדיוק שלו. במקום להשתמש בחומרה מתקדמת יותר, הדגש הוא ההתגברות על ההטיות השיטתיות של המכשיר באמצעות תכנון ניסיוני חכם. כחלק מהגישה לצמצום השונות בין ADC אחד לאחר ועל מנת לאפשר בדיקה הוגנת, מסופקות שלוש יחידות Micro:bit נפרדות לחלוטין שייאפשרו לכם לצמצם באופן שיטתי את השפעת הפגמים. בסופו של דבר, מטרת הניסוי היא תהליך ההתגברות על מגבלות מדידה כדי להשיג תוצאות אמינות בסביבה מוגבלת.

לתשומת לבכם, ספרות משמעותיות לא לוקחות חלק בסכמת הניקוד של שאלה זו.

מכשירים והנחיות

1. לוח מטריצה: לוח המשמש לבנייה וחיבור מעגלים ניסיוניים. במטריצה יש קווי מתח לאורך שני הצדדים הארוכים של המטריצה שמחוברים כולם על מנת לאפשר מתח חיובי (+) והארקה (-), בזמן שבחלק המרכזי יש חיבורים פנימיים בשורות אופקיות. בכל חיבור כזה יש בדיוק חמישה חורים מסומנים A-E או F-J. שתי הקבוצות האלה, משמאל ומימין, מבודדות לחלוטין זו מזו על ידי ההפרדה המרכזית שחוצה את המטריצה באמצע.

2. קבוצות נגדים מדויקים (A,B,C,D) - רכיבים בעלי דיוק גבוה עם דיוק (tolerance) של 0.1%, הנגדים הידועים משמשים כ"ערכים אמיתיים" לשם וידוא של דיוק המערכת, ואילו הנגדים הלא־ידועים, אלו המכוסים בשרוולים צבעוניים, הם אלה שתמצאו את ערכיהם בניסוי. אי לכך, כל ניסיון להסיר את הכיסויים או לפגוע בהם כדי לחשוף את הערכים המוסתרים ייחשב לעבירת בחינה חמורה ויוביל לענישה בהתאם.

• קבוצת נגדים A - עשרה נגדי $3.3 \text{ k} \Omega$
• קבוצות נגדים B - נגד $6.8 \text{ k} \Omega$ ,נגד $560 \ \Omega$, ונגד בעל ערך לא ידוע (מכוסה בשרוול ירוק).
• קבוצות נגדים C - נגד $12 \text{ k} \Omega$ ושני נגדים בעלי ערך לא ידוע (אחד מכוסה בשרוול כחול והשני בשרוול אדום).
• קבוצות נגדים D - נגד $510 \text{ k} \Omega$ ונגד בעל ערך לא ידוע (מכוסה בשרוול שחור).

לוח הרחבה (3a) , שלושה חוטי גישור (ג׳אמפר), אשר חוברו מראש (3b,3c,3d), ובית סוללות המצויד בסוללות AAA.

מדידת פוטנציאל חשמלי ועבודה עם ערכת ה-Micro:bit

None

1.הוראות חיבור (ראו תרשים 1)

חברו את שלושת חוטי הגישור מלוח ההרחבה בהתאם למיקומם האנכי:

• 3b - חוט הגישור העליון (החיבור העליון של לוח ההרחבה באיור 1). געו עם החיבור הזה במקום בו תרצו למדוד מתח.
• 3c - חוט הגישור האמצעי (החיבור האמצעי של לוח ההרחבה באיור 1). חברו אותו לצומת שתרצו שיהיה מקור המתח של המעגל (Vc,+).
• 3d - חוט הגישור התחתון (החיבור התחתון של לוח ההרחבה באיור 1). חברו אותו לצומת שתרצו שיהיה נקודת הייחוס המוארקת של המעגל (GND,-)

2. תהליך המדידות

1. עריכת מכשור חשמלי: חברו תחילה את החוט התחתון (GND) והאמצעי (Vc), לאחר מכן הפעילו את בית הסוללות.
2. מגעים: בזמן שהחשמל דולק, געו באמצעות החוט המגשר העליון בצומת היעד.
3. הזנת נתונים: לחצו על כפתור A או B בחזית ה-Micro:bit ורשמו את הערך שמופיע ספרה-אחר-ספרה על המסך (N).

3. הערות חשובות

• כבו את הסוללות כאשר הן אינן בשימוש כדי לחסוך באנרגיה.
• בדיקת מערכת: כאשר נוגעים בחוט העליון בנקודה ליד צומת ה-GND, הקריאה צריכה להיות קרובה ל-0. כאשר נוגעים בחוט העליון בנקודת החיבור של החוט האמצעי (Vc), הקריאה צריכה להיות קרובה ל-1023. אימות של הערכים בשתי הנקודות מבטיח שנקודת האפס וקצה טווח המדידה המלא מכוילים כהלכה. אם הערכים הנמדדים שונים באופן משמעותי מהערכים התאורטיים, סביר להניח שמדובר בחיבור שגוי או במגעים חלשים ולא במגבלת חומרה.
• מניעת קצרים: ודאו שהחוט האמצעי (Vc) והתחתון (GND) אינם נוגעים זה בזה ישירות ללא רכיב שמגביל את הזרם, מפני שהציוד עשוי להינזק. אם קורה נזק כזה, מדידות יפסיקו להופיע והתצוגה תורה על שגיאה. במקרה כזה רכיב חלופי יסופק – אבל רק פעם אחת לכל משתתף.
• אין להשתמש בבקרים בו זמנית: חיבור של יותר מבקר Micro:bit אחד למעגל יחיד עשוי לגרום לכשל במערכת והוא אסור בתכלית האיסור באולם הבחינה.
• מיפוי לינארי: ב-ADC אידאלי, פרט לאפקטים שנובעים מהפיכת המידע מרציף לבדיד (quantization) .מתקיימת תלות לינארית ישירה בין המתח הנמדד לבין המספר המתקבל N. כלומר, ערכים בין 0 וולט לבין Vc ממופים ישירות לערכים מספריים בין 0 ל-1023 עבור ADC אידאלי.

בדיקת המשמעות של ערכים נמדדים ב-ADC

מטרת חלק זה היא לחקור את ההתאמה בין הפלט הדיגיטלי (N) והמתח הנמדד (V). קחו שמונה נגדים זהים זה לזה מקבוצת נגדים A וחברו אותם זה לזה כדי לבדוק אם ה-ADC המובנה באמת תואם למודל לינארי מושלם. בתהליך המדידה יש להניח שהמחבר של ה-ADC הוא חיבור אידאלי שאינו משפיע בכלל על התנהגות המעגל. בהנחה שלכל הנגדים ערך התנגדות זהה, בחלק זה ננסה להסיק האם אכן יש יחס ישר בין המתח לבין הערכים שמציג ה-ADC. לשם כך, נשלב את ההבנה על מבנה המעגל עם המדידות המתקבלות, ללא שימוש במכשירי מדידה חיצוניים.

A1  ^0.60 תכנון ניסוי ושרטוט מעגל

תכננו אוסף נגדים מחוברים שישיג את מטרת הניסוי ושרטטו מעגל מתאים. כשתציירו את המעגל, שימו לב להנחיות הבאות:

סמנו את כל הצמתים בהם תמדדו את המתח ותנו מזהה ייחודי לכל אחד מהם (למשל, $a, b, \dots$).

סמנו בבירור את נקודות החיבור של החוטים המגשרים של מקור המתח ($V_c, GND$) לבין אוסף הנגדים המחוברים בסימונים $V_c$ ו-$ GND$ בהתאמה.

A2  ^0.60 איסוף נתונים וניתוחם

בצעו את הניסוי על המעגל המתוכנן בעזרת בקר יחיד כדי לקבל מדידות בכל אחד מהצמתים. חשבו את ההפרשים במדידות של ה-ADC בין צמתים סמוכים כדי לוודא את הלינאריות, וקבעו האם התוצאות הן לינאריות עד כדי סטיה של 2%.

[הנחיות לחלקים הבאים]

לאחר שתשלימו את חלק A, החזירו את כל הנגדים בהם נעשה שימוש פרט לשניים למקום בו הם היו (קבוצת נגדים A). כך תוודאו שהם לא יתערבבו עם יתר הרכיבים בניסויים הבאים.

חלק B - מדידה פשוטה וניתוח שגיאות של נגד לא ידוע בהסתמך על נקודת ייחוס ידועה

מטרת חלק זה היא להעריך את השגיאה בהתנגדות לא ידועה $r$ בהסתמך על נגד ייחוס ידוע $R$ והפלט של ה-ADC בבקר. השתמשו בהנחות הבאות לצורך הניתוח:

• לינאריות של ה-ADC: הניחו שה-ADC הפנימי תמיד מקיים קשר לינארי בין המתח הנמדד לבין הפלט הדיגיטלי $N$.
• סימונים לקבועים של כיול המערכת: נסמן ב-$N_{L}$ וב-$ N_{H}$ את הערכים המתקבלים בצומת $GND$ ובצומת $V_c$, בהתאמה. (אידאלית, מתקיים $N_{L} = 0$ ו-$N_{H} = 1023$)
• בניית המערכת: בחרו שני נגדים כרצונכם מחלק A שישמשו כנגד הייחוס ($R$) וכנגד הלא-ידוע ($r$).

B1  ^0.50 תכנון מעגל ואיור

תכננו מעגל למדידת הנגד הלא-ידוע ($r$), בעזרת נגד הייחוס ($R$). ספקו איור מתאים.

שימו לב: יש לחבר את נגד הייחוס $R$ ישירות לצומת $GND$. סמנו את כל הצמתים בהם תמדדו באותיות והגדירו את כל הגדלים הרלוונטיים באיור הסכמטי של המעגל. סמנו בבירור את נקודות החיבור של החוטים המגשרים של מקור המתח ($V_c, GND$) לבין אוסף הנגדים המחוברים בסימונים $V_c$ ו-$ GND$ בהתאמה.

B2  ^0.50 פיתוח הנוסחאות המקורבות

השתמשו בחוק חלוקת המתח כדי לקבל ביטוי להתנגדות הלא-ידועה. התחילו בכך שתכתבו משוואה שמתארת את הקשר בין המתחים בצמתים שונים ואז קבלו נוסחה שמשתמשת בערכים שמתקבלים מה-ADC כמו $N_L $, $N_H$ וכן הלאה. לבסוף, כתבו מחדש את הנוסחה למקרה שבו $N_L= 0$ ו-$N_H =1023$.

B3  ^1.00 ניסוי וניתוח תוצאותיו

בצעו מדידות עם כל אחד משלושת הבקרים – בצעו מדידה אחת לכל צומת עם כל בקר ורשמו את התוצאה. בהנחה שהערכים הנכונים של שני הנגדים, הידוע וזה שאינו ידוע, הם $3.3\text{ k}\Omega$, חשבו את השגיאה היחסית הממוצעת ($\bar{\epsilon}$) בשלושת ה-ADC-ים ואת סטיית התקן היחסית (RSD) של הערכים שהתקבלו.

שגיאה יחסית ממוצעת היא ממוצע הגודל של ההפרש בין הערך הנמדד והערך הנכון, מחולק בגודל האמיתי. RSD היא היחס בין סטיית התקן לבין הממוצע.

B4  ^0.60 נתחו את האופן בו שגיאת המדידה של ה-ADC ($e$) משפיעה על הדיוק של ההתנגדות המוערכת. לצרכי פשטות הניחו שמתקיים $N_{L}=0$ וכן $N_{H}=1023$. כתבו ביטוי לשגיאה המתקבלת בהתנגדות $\Delta r$ במונחי $N,e$ו-$R$. הניחו שהשגיאה $e$ קטנה מספיק ביחס ל-$N$.

B5  ^0.90 טווח התנגדויות לערך טעות נתון

בהנחה שהשגיאה ב-ADC היא $e=1$, חשבו את הערכים המותרים של $r/R$ עבורם השגיאה היחסית בהנתגדות ($\frac{\Delta r}{r}$) היא לכל היותר 1%.

[הנחיות לחלקים הבאים]

לאחר שתשלימו את חלק B, החזירו את כל הרכיבים בהם נעשה שימוש למקום בו היו - ערכת נגדים A. עשו זאת כדי לוודא שהם לא יתערבבו עם רכיבים אחרים בניסויים הבאים.

חלק C - שיפור הערכת ההתנגדות (1): התגברות על שגיאת קוונטיזציה

ניסוי זה נועד להגיע לדיוק גבוה יותר בתנאים בהם שיטת המדידה הבסיסית בחלק B אינה מספיקה כתוצאה משגיאת דיסקרטיזציה. שגיאת דיסקרטיזציה

היא ההבדל בין האות הרציף הנכנס לבין ההצגה הדיגיטלית שלו, שנובע מהרזולוציה הסופית של ה-ADC. כאשר יחס ההתנגדויות ($r/R$) שונה משמעותית מ-1, שגיאת דיסקרטיזציה (ההבדל שנובע משינוי ב-1 של הקריאה של ה-ADC) נהיית משמעותית הרבה יותר, מה שמוביל לשגיאות משמעותיות בערכים הנמדדים. בחלק זה, נשתמש בקבוצת הנגדים C.

C1  ^0.60 הערכת התנגדות ראשונית וניתוח סטטיסטי

בעזרת נגד הייחוס ($12\text{ k}\Omega$) מקבוצת נגדים C, העריכו את ערכי הנגדים הלא-ידועים $r_1$ (שרוול כחול) ו-$r_2$ (שרוול אדום) על סמך השיטה מחלק B. חשבו את ההתנגדות המוערכת עבור אחד מהבקרים.

C2  ^0.60 תכנון מערכת ניסוי לשיפור הדיוק

בהסתמך על התוצאות מסעיף C.1, ניתן לשים לב שהדיוק או האמינות של הערך המשוער עבור הנגד הלא-ידוע $r_2$ (האחד עם השרוול האדום) אינם מספקים. הדבר קורה כתוצאה מהתופעה הפיזיקלית ששגיאת ההערכה יוצרת צורת U כתלות ביחס ההתנגדויות ($r/R$). כדי להתמודד עם התופעה הזו ולקבל הערכה מדויקת יותר של $r_2$, תכננו מערכת ניסוי ואיירו את המעגלים הנדרשים בעזרת $R, r_1, r_2$.

שימו לב: בכל האיורים, סמנו באותיות את כל הצמתים בהם תמדדו והגדירו את כל הגדלים הרלוונטיים באיור הסכמטי של המעגל. סמנו בבירור את נקודות החיבור של החוטים המגשרים של מקור המתח ($V_c, GND$) לבין רשת הנגדים בסימונים $V_c$ ו-$ GND$ בהתאמה.

C3  ^0.70 ניסוי וניתוח תוצאות

העריכו בשנית את הערך של $r_2$ על סמך המערכת הניסיונית שהוצעה בסעיף C.2. חשבו את ההתנגדות באמצעות כל אחד משלושת הבקרים וחשבו את ההפרש בין הערך המקסימלי והערך המינימלי של ההתנגדות המתקבלת.

[הנחיות לניסויים הבאים:]

לאחר שתסיימו את חלק C, החזירו את כל הנגדים חזרה למקומם המקורי (קבוצת נגדים C) כדי לוודא שהם לא יתערבבו עם רכיבים אחרים בניסויים הבאים. עשו זאת כדי לוודא שהם לא יתערבבו עם רכיבים אחרים בניסויים הבאים

חלק D - שיפור הערכת ההתנגדות (2)

בקבוצת נגדים D יש נגד ידוע $R_1(=510 \text{ k} \Omega)$ ונגד לא-ידוע $r$. שימוש בשיטה מחלק B עשוי להוביל לשגיאת מדידה משמעותית. חוסר ההתאמה בו עוסק חלק זה נובע מסיבה פיזיקלית חדשה - סיבה שונה לחלוטין מהאי-לינאריות של ה-ADC או מהגדלת שגיאות דיסקרטיזציה (שנותחה בחלק C). עליכם להבין את הגורם הבסיסי שיוצר את השגיאה ולחשוב על שיטת מדידה שתאפשר להעריך את $r$ במדויק.

D1  ^0.80 תכנון מעגל ואיור

פתחו דרך לשפר את הדיוק של הערכת ההתנגדות של הנגד הלא-ידוע $r$ וציירו איור מתאים של המעגל.

שימו לב: סמנו את כל הצמתים בהם תמדדו והגדירו את כל הגדלים הרלוונטיים באיור הסכמטי של המעגל. סמנו בבירור את נקודות החיבור של חוטי מקור המתח ($V_c, GND$) לרשת הנגדים בסימונים $V_c$ ו-$ GND$ בהתאמה.

D2  ^1.80 פיתוח נוסחאות הערכה

על סמך המעגל המתוכנן, פתחו ביטויים מתמטיים שיאפשרו לחשב את את ההתנגדות הלא-ידועה. התחילו בחישוב הקשר בין הגדלים הנמדדים לבין $r$ ואז קבלו את הנוסחה הסופית במונחי הערכים הנמדדים על ידי ה-ADC ($N_H , N_L, ,,,$).

D3  ^0.80 ניסוי וניתוח תוצאות

יישמו את התכנון והעריכו את הערך של $r$. חשבו את ההתנגדות המשוערכת לכל אחד מהבקרים, מצאו את הממוצע ($\bar r$) וחשבו את ההפרש בין הערך המקסימלי והערך המינימלי של ההתנגדויות המשוערכות.