물리학에서는 직접 측정하기 어려운 양을 관측 가능한 변수들로부터 간접적으로 유도하는 방법이 표준적으로 사용된다. 이 문제에서는 micro:bit에 내장된 아날로그-디지털-컨버터(ADC)의 정밀도 한계에도 불구하고, 이를 이용하여 알지 못하는 미지 저항값을 측정한다. 고성능 외부 장치를 사용하는 대신, 전략적인 실험 설계를 통해 장치의 계통적 편향(systematic bias)을 극복하는 데 초점을 둔다. 이러한 접근의 일부로, 장치마다 다른 ADC 특성의 차이를 완화하고 채점의 공정성을 확보하기 위해 세 개의 서로 다른 micro:bit 장치가 제공되며, 이를 통해 학생들은 잠재적인 불리함을 체계적으로 줄일 수 있다. 궁극적으로 이 문제는 제한된 환경 안에서 측정의 한계를 극복하고 신뢰할 만한 결과를 얻는 과정을 강조한다.

참고: 이 문제에서 채점 기준에 유효숫자의 개수는 반영되지 않는다.

장비 및 지침

1. 브레드보드(bread board): 실험 회로를 구성하고 연결하는 데 사용하는 보드. 브레드보드는 가장자리에 전원 공급용 레일(power line)이 있으며, 이 부분의 구멍들은 세로 방향으로 모두 연결되어 있어 전원 (+) 과 접지 (-) 를 공급한다. 한편 가운데의 부품 배치 영역(component area)은 내부적으로 가로 방향 연결 구조를 가지며, 정확히 다섯 개의 구멍씩(A–E, F–J) 서로 연결되어 있다. 이때 중앙의 홈(divider)을 기준으로 왼쪽(A–E)과 오른쪽(F–J)의 다섯 개 구멍 그룹은 서로 완전히 분리되어 있으며 전기적으로 연결되어 있지 않다.

2. 정밀 저항 세트 (A, B, C, D): 허용 오차가 0.1%인 고정밀 부품. 저항값이 알려진 저항들은 계의 정확성을 확인하기 위한 기준으로 “참값”으로 가정하면 되며, 미지 저항들은 실험적으로 값을 결정하도록 색깔 튜브로 가려져 있다. 숨겨진 값을 알아내기 위해 이 덮개를 제거하거나 손상시키려는 모든 시도는 시험 부정행위로 간주되어 엄격히 감점된다.

• 저항 세트 A: $3.3 \text{ k} \Omega$ 저항 10개
• 저항 세트 B: $6.8 \text{ k} \Omega$ 저항 1개, $560 \ \Omega$ 저항 1개, 그리고 값이 알려지지 않은 미지 저항 1개 (초록색 튜브로 덮여 있음. 본 실험에서는 사용되지 않음).
• 저항 세트 C: $12 \text{ k} \Omega$ 저항 1개. 값이 알려지지 않은 미지 저항 2개 (하나는 파란색 튜브로 다른 하나는 빨간색 튜브로 덮여 있음).
• 저항 세트 D: $510 \text{ k} \Omega$ 저항 1개. 값이 알려지지 않은 미지 저항 1개 (검은색 튜브로 덮여 있음).

3. Micro:bit 키트: Micro:bit 본체, 확장 보드(3a), 미리 연결된 점퍼선 3개 (3b, 3c, 3d), AAA 알카라인 건전지의 배터리 홀더(3e)로 구성된 완전한 마이크로컨트롤러 장치.

제공된 Micro:bit 키트를 활용한 전위 측정 및 계측

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1. 배선 안내 (그림 1 참조)

확장 보드에서 나온 세 개의 점퍼선을 위치에 따라 다음과 같이 연결하시오.

• 3b: 상단 점퍼 와이어(그림 1의 확장보드의 상단전선): 전압을 측정하려는 특정 지점(node)에 이 와이어를 접촉 시키시오.
• 3c: 가운데 점퍼 와이어(그림 1의 확장보드의 중간전선): 회로의 전원 입력 지점(Vc,+)에 연결하시오.
• 3d: 하단 점퍼 와이어(그림 1의 확장보드의 하단전선): 회로의 접지 기준 지점(GND, -)에 연결하시오.

2. 측정 절차

1. 전원 설정: 먼저 하단(GND)과 중간(Vc) 전선을 원하는 지점에 연결한 다음, 배터리 팩의 전원을 켜시오.
2. 핀 접촉: 전원이 켜진 상태에서 상단 점퍼선을 측정하고자 하는 지점에 접촉시키시오.
3. 데이터 수집: Micro:bit 전면의 A 또는 B 버튼을 누르고, 화면에 표시되는 숫자 값(N)을 기록하시오.

3. 중요사항

• 전력을 절약하려면 사용하지 않을 때는 배터리 팩의 전원을 끄시오.
• 시스템 점검: 그림 1과 같이 회로를 연결하시오. 상단(Top) 전선을 GND 노드 근처에 접촉하면 측정값이 0 근처가 되어야 한다. 상단(Top) 전선을 중간(Middle) 전선의 연결 지점(Vc)에 접촉하면 측정값이 1023 근처가 되어야 한다. 이 두 지점을 모두 확인하면 측정 시스템의 제로 기준과 풀 스케일이 올바르게 보정되었는지 확인할 수 있다. 측정값이 이론적 예측값과 현저히 다른 경우, 이는 하드웨어의 한계보다는 배선 오류나 접촉 불량 때문일 가능성이 높다.
• 단락 방지: 부하가 걸리지 않은 상태에서 중간(Vc) 전선과 하단(GND) 전선이 서로 직접 접촉하지 않도록 하시오. 이 경우 장비 고장이 발생할 수 있음.
  고장이 발생하면 측정을 수행할 수 없으며, 디스플레이에 오류가 표시된다.
  
  이 때 참가자당 한 번에 한하여 교체 장비가 제공된다.
• 동시 사용 금지: 동시에 2개 이상의 Micro:bit을 회로에 연결시키면 시스템이 고장을 일으킬 수 있으므로 특별히 조심해야 한다.
• 선형 매핑: 양자화(정수화) 과정에서 발생하는 이산(discrete) 계단 효과를 제외하면, 이상적인 ADC 모델에서는 어느 지점의 전압과 정수 측정 결과 N 사이에 선형 비례 관계가 성립한다. 즉, 이상적인 ADC 모델에서는 0 V에서 Vc에 이르는 전위가 0과 1023 사이의 디지털 값으로 선형적으로 매핑된다.

파트 A. ADC 측정값의 의미 탐색

이 파트의 목적은 Micro:bit의 디지털 출력($N$)과 노드 전위($V$) 간의 상관관계를 조사하는 것이다. ‘저항 세트 A’에 포함된 8개의 동일한 저항을 사용하여 회로를 구성하고, 측정한 데이터를 바탕으로 내장 ADC가 실제로 이상적인 선형 모델에 부합하는지 검증한다. 측정 과정에서 Micro:bit의 핀은 회로의 전위 분포를 교란하지 않는 이상적인 프로브로 간주한다. 추가적인 외부 측정 장치를 사용하지 않고, 모든 저항의 값이 동일하다고 가정할 때, 전압과 ADC 판독값 사이에 비례 관계가 실제로 성립하는지 추론하는 것을 목표로 한다.

A1  ^0.60 실험 설계 및 회로도

위의 실험 목표를 달성할 수 있는 저항의 구성을 고안하고, 이에 해당하는 회로도를 그리시오. 회로도를 그릴 때에는 다음 지침을 준수하시오:

전위 측정이 이루어지는 모든 지점을 표시하고, 각 지점에 고유한 식별기호를 할당하시오(예: $a, b, \dots$).

Micro:bit 확장 보드의 전원 점퍼선($V_c, GND$)의 연결 지점을 각각 $V_c$ 와 $ GND$ 로 명확하게 표시하시오.

A2  ^0.60 데이터 수집 및 분석

설계한 회로에 대해 하나의 Micro:bit를 사용하여 모든 가능한 지점(nodes)에서 측정을 수행하라. 인접한 지점 사이의 ADC 측정값 차이를 계산하여 선형성을 확인하라. 선형성 여부는 최대 편차가 2% 이내인지로 판단한다. 여기서 최대 편차는 데이터셋의 평균값과 개별 데이터값 사이의 차이 중 가장 큰 값을 의미한다.

[이후 실험에 대한 안내]

파트 A를 완료한 후에는, 실험에 사용한 저항 중 두 개만 남겨 두고 나머지는 모두 원래의 용기(저항 세트 A)에 원위치 시키시오. 이는 이후의 실험 과정에서 다른 부품들과 혼합되는 것을 방지하기 위함이다.

파트 B. 알려진 기준저항값을 이용한 미지 저항의 단순 추정 및 오차 분석

이 파트의 목적은 값이 알려진 기준저항 $R$이 있을 때 Micro:bit의 ADC 출력을 사용하여 미지 저항 $r$ 의 값을 추정하는 것이다. 분석을 위해 다음과 같은 가정을 한다:

• ADC의 선형성: 내장 ADC는 전위와 디지털 출력 간에 선형 관계를 유지하는 것으로 가정한다.
• 교정 상수의 표기: $N_{L}$ 와$ N_{H}$ 는 각각 $GND$ 지점과 $V_c$ 지점에서의 측정값을 나타낸다. (이상적으로는 $N_{L} = 0$ 와 $N_H=1023$ 이다.)
• 셋업: 파트 A에서 사용한 저항 중 두 개를 선택하여 하나는 기준 저항($R$)으로, 다른 하나는 미지 저항($r$)으로 여기고 사용하시오.

B1  ^0.50 회로 설계 및 회로도

미지의 저항($r$)을 측정하기 위해 기준 저항($R$)을 이용하여 측정 회로를 설계하시오. 이에 해당하는 회로도를 제시하시오.

주의: 기준 저항$R$은 반드시 GND 지점에 직접 연결되어야 한다. 모든 측정 지점을 문자로 표시하고 관련 변수들을 명시하시오. Micro:bit 확장 보드의 전원 점퍼($V_c, GND$)와 저항 네트워크 사이의 연결 지점을 각각 $V_c$와 $ GND$로 명확하게 표시하시오.

B2  ^0.50 추정식의 유도

전압 분배(voltage divider) 법칙을 이용하여 미지 저항($r$)에 대한 식을 유도하시오. 이를 위해, 먼저 각 지점의 전위 간의 관계를 쓴 후, ADC 출력값 $N$, $N_L$, $N_H$ 등을 사용하여 최종식을 유도하시오. 이상적 모델의 값($N_{L} = 0$ 및 $N_{H} = 1023$)을 가정하여 그 값을 대입하여 식을 다시 쓰시오.

B3  ^1.00 실험 및 데이터 분석

Micro:bit 3개를 각각 사용하여, 지점당 그리고 장치당 한 번씩 측정값을 읽고 데이터를 기록하시오. 알려진 저항과 알려지지 않은 저항의 실제 값이 모두 $3.3\text{ k}\Omega$ 라고 가정하고, 추정된 저항값의 3개 장치 평균 상대 오차($\bar{\epsilon}$)와 상대 표준 편차(RSD)를 계산하시오. 평균 상대 오차(Mean Relative Error)는 측정값과 실제값 사이의 편차 크기를 실제값으로 나눠준 뒤, 그 평균을 취한 값이다. 상대표준편차 (RSD, Relative Standard Deviation)는 표준편차를 평균값으로 나눈 비율을 의미한다.

B4  ^0.60 ADC의 측정 오차를 $e$라고 할 때, 이 값이 추정된 저항의 정확도에 어떤 영향을 주는지 분석하시오. 간단히 하기 위해 $N_{L}=0$ 과 $N_{H}=1023$이라고 가정한다. 그 결과 생기는 저항 오차 $\Delta r$를 $e$, $N$, $R$로 나타내는 관계식을 유도하시오. 여기서 $e$는 $N$에 비해서 매우 작다고 가정한다.

B5  ^0.90

ADC 오차가 $e=1$ 이라고 가정할 때, 저항의 상대오차 ($\frac{\Delta r}{r}$)가 1%이내로 유지되기 위해 필요한$\frac{r}{R}$의 범위를 계산하시오.

[이후 실험에 대한 안내]

파트 B를 완료한 후에는 사용한 모든 저항을 원래의 용기(저항 세트 A)에 원위치 하시오. 이는 이후의 실험 과정에서 다른 부품들과 혼합되는 것을 방지하기 위함이다.

파트 C. 오차 추정 개선 (1): 양자화 오차 문제 해결

이 실험은 양자화(정수화) 오차로 인해 파트 B의 방법이 충분하지 않은 상황에서 더 정확한 저항값을 추정하는 것을 목표로 한다. 양자화 오차는 아날로그-디지털 변환기(ADC)의 유한한 분해능으로 인해 발생하는, 연속적인 아날로그 입력 신호와 이를 이산화(discrete)한 디지털 형태로 표현한 값 사이의 차이를 말한다. 저항 비율($r/R$)이 1에서 크게 벗어날 경우, 양자화 오차(ADC값의 단계 사이의 차이)가 불균형적으로 증폭되어 추정된 저항값에 상당한 오차가 발생하게 된다. 저항 세트 C를 사용하여 실험을 수행하시오.

C1  ^0.60 초기 저항 추정 및 통계 분석

저항 세트 C의 기준 저항($12\text{ k}\Omega$ )을 이용하여, 파트 B의 방법을 바탕으로 미지 저항 $r_1$(파란색 튜브)와 $r_2$(빨간색 튜브)의 값을 각각 추정하시오. 3대의 Micro:bit 중에서 1대만을 사용하여 추정값을 계산하시오.

C2  ^0.60 정밀도 향상을 위한 실험 설계

C.1의 결과를 바탕으로 보면, 미지 저항 $r_2$(빨간색 튜브) 에 대해 얻은 추정값의 정밀도 또는 신뢰도가 충분히 만족스럽지 않을 수 있다. 이는 추정 오차가 저항비 ($r/R$)에 따라 U자 모양의 곡선을 따르는 물리적 특성 때문이다. 이 문제를 해결하고 $r_2$를 더 정확하게 추정하기 위해, $R, r_1, r_2$를 사용한 실험 방안을 설계하고 필요한 회로도를 제시하시오.

주의: 회로도상의 모든 측정 지점을 표시하고 측정값을 관련 변수로 표시하시오. Micro:bit 확장 보드의 전원 점퍼($V_c, GND$ )와 회로 사이의 연결 지점을 각각 $V_c$와 $ GND$로 명확하게 표시하시오.

C3  ^0.70 실험 및 데이터 분석

C.2에서 제안된 새로운 실험 설계를 바탕으로 $r_2$ 의 값을 재추정하시오. 세 개의 Micro:bit 각각에 대한 저항값을 계산하고, 추정된 저항값의 최대값과 최소값 사이의 차이를 계산하시오.

[후속 실험 지침]

파트 C의 실험을 마친 후, 실험에 사용한 저항을 모두 원래의 용기(저항 세트 C)에 다시 넣어 두시오. 이는 후속 실험 절차에서 다른 부품들과 섞이지 않도록 하기 위함임.

파트 D. 저항 추정의 정확도 향상 (2)

저항 팩 D에는 알려진 저항 $R_1(=510 \text{ k} \Omega)$ 과 저항값을 알지 못하는 미지 저항 $r$이 포함되어 있다. 파트 B에서 소개한 간단한 추정 방법을 적용하면 상당한 측정 오차가 발생할 수 있다. 이 과제에서 관찰되는 오차는 ADC 비선형성이나 양자화 오차의 증폭(파트 C)과는 근본적으로 다른 별개의 물리적 요인에서 기인한다. 여러분의 과제는 이 근본적인 요인을 파악하고 $r$을 정확하게 추정할 수 있는 측정 전략을 수립하는 것이다.

D1  ^0.80 회로 설계 및 회로도

알 수 없는 저항값 $r$의 추정 정확도를 높일 수 있는 방법을 설계하고, 이에 해당하는 회로도를 제시하시오.


주의: 회로도상의 모든 측정 지점을 표시하고 측정값을 관련 변수로 표시하시오. Micro:bit 확장 보드의 전원 점퍼($V_c, GND$ )와 저항 네트워크 사이의 연결 지점을 각각 $V_c$와 $ GND$로 명확하게 표시하시오.

D2  ^1.80 추정 식의 도출

회로 설계를 바탕으로, 미지 저항 $r$을 계산하는 수학적 식을 유도하시오. 먼저 각 지점의 전위와 $r$의 관계를 설정하고, ADC 출력값( $N_H,N_L,,,,$)을 사용하여 최종 공식을 유도하시오.

D3  ^0.80 실험 및 데이터 분석

설계한 내용을 구현하고 측정을 통해 $r$의 값을 추정하시오. 세 개의 Micro:bit을 각각 이용하여 저항값을 추정하고, 평균($\bar r$)을 구하며, 추정 저항값의 최대값과 최소값 사이의 차이를 계산하시오.