في الفيزياء، يُعد الاشتقاق غير المباشر من المتغيرات القابلة للرصد (⁦observable variables⁩) نهجًا معياريًا للكميات التي يصعب قياسها مباشرةً. في هذه المسألة، سنكتشف كيفية قياس مقاومة (⁦resistance⁩) مجهولة باستخدام المحوِّل التماثلي-الرقمي (⁦ADC — Analog-to-Digital Converter⁩) المدمج في الـmicro:bit لقراءة الجهد (⁦voltage⁩)، رغم أن دقته (⁦precision⁩) محدودة نسبيًا. وبدلًا من توظيف عتاد خارجي عالي الأداء، ينصبّ التركيز على التغلّب فكريًا على الانحياز المنهجي (⁦systematic bias⁩) للجهاز عبر تصميم تجريبي (⁦experimental design⁩) مدروس. وكجزء من هذا النهج للحدّ من التفاوتات في المحوِّل التماثلي-الرقمي بين الأجهزة ولضمان عدالة التقييم (⁦grading fairness⁩)، تُقدَّم ثلاث وحدات micro:bit منفصلة، مما يتيح للطلاب تقليص المساوئ المحتملة بصورة منهجية. في النهاية، يُبرز هذا الاستقصاء عمليةَ التغلّب على قيود القياس (⁦measurement limitations⁩) لتحقيق نتائج موثوقة ضمن بيئة مقيَّدة.

الأجهزة والإرشادات

1. لوحة التجارب: لوحة تُستخدم لتركيب وتوصيل دوائرك التجريبية.

2. مجموعات المقاومات الدقيقة (A و B و C و D): مكونات عالية الدقة بتفاوت يبلغ 0.1٪، حيث تعمل المقاومات المعروفة كـ"قيم حقيقية" مرجعية للتحقق من دقة النظام، بينما يتم تغطية المقاومات المجهولة بأنابيب ملونة لتحديدها تجريبياً — مما يعني أن أي محاولة لإزالة أو إتلاف هذه الأغطية لكشف القيم المخفية ستُعاقب بشدة باعتبارها مخالفة في الامتحان.

• مجموعات المقاومات (أ): عشرة$3.3 \ \rm{k \Omega}$مقاومات
• مجموعات المقاومات ب: مقاومة،$6.8 \ \rm{k \Omega}$ ومقاومة،$560 \ \Omega$ ومقاومة ذات قيمة مجهولة (مغطاة بأنبوب أخضر).
• مجموعات المقاومات (C): مقاومة$12 \ \rm{k \Omega}$ ومقاومتان مجهولتا القيمة (إحداهما مغطاة بأنبوب أزرق والأخرى بأنبوب أحمر).
• مجموعات المقاومات (D): مقاومة$510 \ \rm{k \Omega}$ ومقاومة ذات قيمة مجهولة (مغطاة بأنبوب أسود).

3. مجموعة Micro:bit: مجموعة كاملة من microcontroller تتألف من وحدة Micro:bit، ولوحة توسعة، وثلاثة أسلاك توصيل موصولة مسبقًا، وحامل بطاريات مزود ببطاريات قلوية من نوع AAA.

قياس الجهد الكهربائي والأجهزة باستخدام مجموعة Micro:bit المرفقة

None

1. دليل التوصيلات (انظر الشكل 1)

قم بتوصيل الأسلاك الثلاثة من لوحة التوسعة وفقًا لمواقعها الرأسية:

• سلك التوصيل السفلي (الأسود في الشكل 1): قم بتوصيله بعقدة مرجع الأرض (GND، -) للدائرة.
• السلك الاوسط (باللون الأحمر في الشكل 1): قم بتوصيله بعقدة مدخل الطاقة للدائرة (Vc,+).
• سلك الوصل العلوي (الأصفر في الشكل 1): قم بتوصيله بالعقدة المحددة التي تريد قياس الجهد الكهربي فيها.

2. إجراءات القياس

1. إعدادات الطاقة: قم بتوصيل السلك السفلي (GND) والسلك الأوسط (Vc) أولاً، ثم قم بتشغيل حزمة البطارية.
2. توصيل الدبوس: أثناء تشغيل الجهاز، قم بتوصيل سلك التوصيل العلوي بالعقدة المستهدفة.
3. إدخال البيانات: اضغط على الزر A أو B الموجود في الجزء الأمامي من جهاز Micro:bit وسجل القيمة الرقمية المتحركة (N).

3. الاحتياطات

• أوقف تشغيل حزمة البطارية عند عدم استخدامها لتوفير الطاقة.
• فحص النظام: عند توصيل السلك العلوي بنقطة قريبة من عقدة GND، يجب أن تكون القراءة قريبة من 0.2. وعند توصيل السلك العلوي بنقطة توصيل السلك الأوسط (Vc)، يجب أن تكون القراءة قريبة من 1023. ويضمن التحقق من هاتين النقطتين أن مرجع الصفر ومقياس القياس الكامل لنظام القياس قد تمت معايرتهما بشكل صحيح. إذا اختلفت القيم المقاسة بشكل كبير عن التوقعات النظرية، فمن المحتمل أن يكون السبب . خطأ في الأسلاك أو اتصال ضعيف وليس قيودًا في الأجهزة.
• تجنب حدوث قصر في الدائرة: تأكد من أن السلكين الأوسط (Vc) والسفلي (GND) لا يتلامسان مباشرةً في حالة عدم وجود حمل.
• التحويل الخطي: باستثناء تأثيرات الخطوات المنفصلة الناتجة عن عملية التكمية، توجد علاقة خطية تناسبية بين جهد العقدة ونتيجة القياس الصحيحة N في نموذج محول ADC المثالي. أي أن الفولتية التي تتراوح من0 V إلى Vc يتم تحويلها خطياً إلى قيم رقمية تتراوح بين 0 و1023 في نموذج محول ADC المثالي.

الجزء أ. استكشاف معنى قيم قياس ADC

الهدف هو دراسة العلاقة بين المخرج الرقمي(digital output) لـ Micro:bit ($N$) وجهد العقدة ($V$). من خلال بناء شبكة باستخدام ثمانية مقاومات متطابقة من "مجموعة المقاومات أ"، ستقوم بفحص ما إذا كان محول ADC المدمج يتوافق فعلاً مع نموذج خطي مثالي استناداً إلى البيانات التي تم جمعها. بالنسبة لعملية القياس، يُفترض أن دبوس Micro:bit هو مسبار مثالي لا يؤثر على توزيع جهد الدائرة. بافتراض أن جميع المقاومات لها قيم متطابقة، يهدف هذا الجزء إلى الاستدلال المنطقي على ما إذا كانت العلاقة التناسبية بين الجهد وقراءات محول ADC قائمة بالفعل، وذلك من خلال مقارنة البيانات مع الخصائص الهيكلية للدائرة دون استخدام أجهزة قياس خارجية.

A1  ^0.60 تصميم التجربة ومخططات الدوائر الكهربائية

صمم شبكة مقاومات تحقق الأهداف التجريبية المحددة وقدم مخططًا كهربائيًا مناسبًا لها. عند رسم المخطط، التزم بالإرشادات التالية:

ضع علامة على جميع العقد التي سيتم أخذ قياسات الجهد فيها وقم بتعيين معرف خاص لكل منها (على سبيل المثال، $a, b, \dots$).

قم بتسمية نقاط التوصيل بين وصلات الطاقة في لوحة التوسعة Micro:bit ($V_c, GND$) وشبكة المقاومات بوضوح على أنها$V_c$ و $ GND$، على التوالي.

A2  ^0.60 جمع البيانات وتحليلها:

قم بإجراء التجربة على الدائرة المصممة باستخدام Micro:bit واحد للحصول على قياسات لجميع العقد. احسب الفروق في قياسات ADC بين العقد المتجاورة للتحقق من الخطية (linearity)، وحدد الخطية بناءً على انحراف أقصى يبلغ 2% (يُعرَّف الانحراف الأقصى بأنه أكبر فرق منفرد بين أي نقطة بيانات والقيمة المتوسطة لمجموعة البيانات).

[تعليمات للتجارب التالية]

عند الانتهاء من الجزء أ، احتفظ بمقاومتين فقط من المقاومات المستخدمة في التجربة وأعد الباقي إلى علبته الأصلية (حزمة المقاومات أ). وذلك لضمان عدم اختلاطها مع المكونات الأخرى في الإجراءات التجريبية التالية.

الجزء ب. التقدير البسيط وتحليل الخطأ للمقاومة المجهولة باستخدام مرجع معروف

الهدف من هذا الجزء هو تقدير قيمة مقاومة$r$ مجهولة باستخدام مقاوم$R$ مرجعي معروف ومخرجات محول ADC في Micro:bit. وقد تم وضع الافتراضات التالية لإجراء التحليل:

• خطية محول الإشارة التناظرية إلى الرقمية (ADC): يُفترض أن المحول الداخلي يحافظ على علاقة خطية بين الجهد والمخرج الرقمي $N$.
• رموز ثوابت المعايرة:$N_{L}$ و$ N_{H}$ تمثلان القراءات عند العقدتين$GND$ و$V_c$ على التوالي. (في الحالة المثالية،$N_{L} = 0$ و $N_{H} = 1023$).
• الإعداد: اختر أي مقاومتين من الجزء (أ) لتكونا المقاوم المرجعي ($R$) والمقاوم المجهول ($r$).

B1  ^0.50 تصميم الدوائر والرسوم التخطيطية

صمم دائرة قياس باستخدام مقاوم مرجعي ($R$) ومقاوم مجهول ($r$) لتحقيق الأهداف التجريبية المذكورة، وقدم مخططًا للدائرة المقابلة.

ملاحظة: يجب توصيل المقاوم$R$ المرجعي مباشرةً بعقدة GND. قم بتسمية جميع عقد القياس بأحرف وحدد جميع المتغيرات ذات الصلة في مخطط الدائرة. قم بتسمية نقاط التوصيل بين وصلات الطاقة ($V_c, GND$) بلوحة التوسعة Micro:bit وشبكة المقاومات بوضوح على أنها$V_c$ و $ GND$، على التوالي.

B2  ^0.50 استنتاج صيغ التقدير

باستخدام مبدأ مقسم الجهد، اشتق تعبيرًا للمقاومة المجهولة . أولاً، اشتق صيغة عامة تأخذ في الاعتبار تباينات الجهاز. ثم، قدم صيغة تقدير مبسطة تستند إلى النموذج المثالي ($N_{L} = 0$ و $N_{H} = 1023$). لهذا الغرض، ابدأ بتحديد العلاقة بين جهد العقد و ، ثم اشتق الصيغة النهائية باستخدام قيم خرج محول الرقمي إلى التناظري (ADC).

B3  ^1.00 التجربة وتحليل البيانات

قم بإجراء قياسات باستخدام ثلاثة أجهزة Micro:bit، مع أخذ قراءة واحدة لكل عقدة لكل جهاز، وسجل البيانات. بافتراض أن القيم الحقيقية لكل من المقاومة المعروفة والمقاومة المجهولة هي$3.3\text{ k}\Omega$ ، احسب متوسط الخطأ النسبي ($\bar{\epsilon}$) والانحراف المعياري النسبي (RSD) لقيم المقاومة المقدرة.

B4  ^0.60 حلل كيف يؤثر خطأ قياس محول التناظرية إلى الرقمية (ADC) ($e$) على دقة المقاومة المقدرة. للتبسيط، افترض أن$N_{L}=0$ و $N_{H}=1023$. اشتق علاقة لخطأ$\Delta r$ المقاومة الناتج بالاستناد إلى$N,e$ و $R$.

B5  ^0.90

نطاق المقاومة لحد معين من التفاوت المسموح به

بافتراض خطأ في محول ADC يبلغ $e=1$، احسب النطاق المطلوب لـ$r$ (بالنسبة إلى$R$) بحيث يظل الخطأ النسبي للمقاومة ($\frac{\Delta r}{r}$) ضمن 1%.

[تعليمات للتجارب التالية]

عند الانتهاء من الجزء ب، أعد جميع المكونات إلى حاويتها الأصلية (حزمة المقاومات أ). وذلك لضمان عدم اختلاطها مع المكونات الأخرى في الإجراءات التجريبية التالية.

الجزء د. تحسين تقدير المقاومة (2): التغلب على مشكلة خطأ التكمية

تهدف هذه التجربة إلى الحصول على تقدير أكثر دقة للمقاومة في الظروف التي تكون فيها الطريقة الأساسية الواردة في الجزء ب غير كافية بسبب خطأ التكمية. خطأ التكمية هو الفرق بين إشارة الدخل التناظرية المستمرة وتمثيلها الرقمي المنفصل الناتج عن الدقة المحدودة لمحول التناظرية إلى الرقمية (ADC). عندما تنحرف نسبة المقاومة ($r/R$) بشكل كبير عن 1، يتم تضخيم خطأ التكمية (فرق خطوة واحدة في قراءة ADC) بشكل غير متناسب، مما يؤدي إلى أخطاء جوهرية في المقاومة المقدرة.

C1  ^0.60 تقدير المقاومة الأولي والتحليل الإحصائي

باستخدام المقاوم المرجعي ($12\text{ k}\Omega$ ) من حزمة المقاومات B، قم بتقدير قيم المقاومات$r_1$ المجهولة (الأنبوب الأزرق) و$r_2$ (الأنبوب الأحمر) على التوالي، بناءً على الطريقة التي استخدمتها في الجزء B. احسب المقاومة المقدرة لكل من أجهزة Micro:bit الثلاثة. ثم احسب الفرق بين القيم القصوى والدنيا للمقاومة المقدرة لكل من$r_1$ و$r_2$ .

C2  ^0.60 تصميم التجربة لتحسين الدقة

بناءً على نتائج C.1، قد لا تكون دقة أو موثوقية القيم المقدرة التي تم الحصول عليها للمقاوم المجهول (الأنبوب الأحمر) مرضية تمامًا. ويرجع ذلك إلى الخاصية الفيزيائية التي يتبع فيها خطأ التقدير منحنى على شكل حرف U اعتمادًا على نسبة المقاومة ($r/R$). لمعالجة هذه المشكلة وتحقيق تقدير أكثر دقة لـ $r_2$، صمم مخططًا تجريبيًا وقدم المخططات الدائرية اللازمة باستخدام $R, r_1, r_2$.

ملاحظة: يجب أن تحدد جميع المخططات بوضوح عقد القياس والمتغيرات المرتبطة بها. حدد بوضوح نقاط التوصيل بين وصلات الطاقة في لوحة التوسعة Micro:bit ($V_c, GND$) وشبكة المقاومات على أنها$V_c$ و $ GND$، على التوالي.

C3  ^0.70 التجربة وتحليل البيانات

أعد تقدير قيمة$r_2$ بناءً على التصميم التجريبي الجديد المقترح في C.2. احسب المقاومة لكل من أجهزة Micro:bit الثلاثة واحسب الفرق بين القيمتين القصوى والدنيا للمقاومة المقدرة.

[تعليمات للتجارب التالية]

عند الانتهاء من الجزء A، احتفظ بمقاومتين فقط من المقاومات المستخدمة في التجربة وأعد الباقي إلى علبته الأصلية (حزمة المقاومات A). وذلك لضمان عدم اختلاطها مع المكونات الأخرى في الإجراءات التجريبية التالية.

الجزء (هـ): تحسين تقدير المقاومة (3)

تحتوي مجموعة المقاومات (D) على مقاومة$R_1(=510 \ \rm{k}\Omega)$ معروفة ومقاومة مجهولة. وقد يؤدي تطبيق طريقة التقدير البسيطة الواردة في الجزء (B) إلى أخطاء قياس كبيرة. وتنشأ التباينات الملحوظة في هذه المهمة عن عامل فيزيائي متميز — وهو عامل يختلف اختلافًا جوهريًا عن كل من عدم خطية محول الإشارة الرقمية (الجزء (C)) وتضخيم أخطاء التكمية (الجزء (D)). ويتمثل التحدي الذي يواجهك في تحديد هذا العامل الأساسي ووضع استراتيجية قياس لتحقيق تقدير دقيق لـ $r$.

D1  ^0.80 تصميم الدوائر والرسوم التخطيطية

ابتكر طريقة لتحسين دقة تقدير المقاوم المجهول ، وقدم مخططًا كهربائيًا مناسبًا.


ملاحظة: قم بتسمية جميع نقاط القياس والمتغيرات المرتبطة بها على المخطط. قم بتسمية نقاط التوصيل بين وصلات الطاقة في لوحة التوسعة Micro:bit ($V_c, GND$ ) وشبكة المقاومات بـ$V_c$ و$ GND$ ، على التوالي.

D2  ^1.80 اشتقاق معادلات التقدير

$r$

بناءً على تصميم الدائرة الخاصة بك، اشتق المعادلات الرياضية لحساب المقاومة المجهولة . ابدأ بتحديد العلاقة بين جهد العقد و $r$، ثم اشتق الصيغة النهائية باستخدام قيم خرج محول ADC ( $N_H , N_L, ,,,$).

D3  ^0.80 التجربة وتحليل البيانات

قم بتنفيذ تصميمك وقم بتقدير قيمة $r$. احسب المقاومة المقدرة لكل من أجهزة Micro:bit الثلاثة واستنتج المتوسط ($\bar r$) واحسب الفرق بين القيم القصوى والدنيا للمقاومات المقدرة.