Pho.rs: Длина тени

A1 ^0.20 Выразите $L$ через $R$ и $\alpha$ при $h=0$.

1 $L$ определяется лучами, касающимися шара.	0.10
2 $$L=\frac{2R}{cos(\alpha)} $$	0.10

A2 ^0.30 Выразите $L$ через $R$, $\alpha$, $\beta$, $l$ и $h$ при $0 < h < h_1$.

1 Преломление лучей на одном уровне не изменяет длину тени	0.20
2 $$L=\frac{2R}{cos(\alpha)} $$	0.10

A3 ^1.00 Выразите $h_1$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

1 Момент излома - касание нижнего луча в точке контакта шара с поверхностью жидкости	0.50
2 $$h_1=L+R(1-sin(\alpha)) $$	0.50

B1 ^2.50 При $h_1 < h < h_2$ получите зависимость длины тени от $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$ и $h$.

1 $L$ определяется лучом, преломляющимся на поверхности шара	0.60
2 $$H=l+R-h $$	0.10
3 $$BC=\sqrt{R^2-H^2} $$	0.20
4 $$AB=kh+b $$	0.30
5 $$AB=\frac{R}{cos(\alpha)}+H~tg(\alpha) $$	0.80
6 $$L=\frac{R}{cos(\alpha)}+(l+R-h)tg(\alpha)+\sqrt{R^2-(l+R-h)^2} $$	0.50

B2 ^1.00 Выразите $h_2$ через $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$.

1 Характер зависимости меняется в момент, когда преломленный в точке $C$ луч касается поверхности шара	0.50
2 $$h_2=l+R(1-sin(\beta)) $$	0.50

C1 ^1.30 Поскольку участок линейный, зависимость $L(h)$ имеет вид $L=L_0-kh$. Выразите $L_0$ и $k$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

1 $L$ определяется лучом, касающимся поверхности шара внутри жидкости	0.30
2 $AC$ и $BC$ - линейные функции $h$	0.10
3 $$AB=\frac{R}{cos(\alpha)}+H~tg(\alpha) $$	0.20
4 $$BC=\frac{R}{cos(\beta)}-H~tg(\beta) $$	0.20
5 $$k=tg(\alpha)-tg(\beta) $$	0.20
6 $$L_0=\frac{R}{cos(\alpha)}+\frac{R}{cos(\beta)}+(l+R)(tg(\alpha)-tg(\beta)) $$	0.30

C2 ^0.20 Выразите минимальную длину тени через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

1 $$L_{min}=\frac{2R}{cos(\beta)}
$$

0.20

С3 ^0.50 Выразите $h_3$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

1 M1 Верхний луч касается шара дважды	0.20
2 M2 Используется минимальное значение $L$	0.20
3 M3 Правильное уравнение в других переменных	0.20
4 M1 $$h_3=l+R(1+\frac{cos(\beta)-cos(\alpha)}{sin(\alpha-\beta)}) $$	0.30
5 M2 $$h_3=l+R\left(1+\frac{sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}\right) $$	0.30
6 M3 $$h_3=l+R+R\frac{cos(\beta)-cos(\alpha)}{cos(\alpha)cos(\beta)(tg(\alpha)-tg(\beta))} $$	0.30

D1 ^1.50 Найдите численные значения $\cos\alpha$ и $\cos\beta$.

1 $$k=\frac{7}{12} $$ $$0.57\leq{k}\leq0,6 $$	0.10
2 $$\frac{L_{max}}{L_{min}}=\frac{\cos(\beta)}{cos(\alpha)} $$	0.10
3 Получено квадратное уравнение относительно тригонометрической функции $\alpha$ или $\beta$	0.50
4 $$cos(\alpha)=\frac{3}{5}\pm0,03 $$ (балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов)	0.40
5 $$cos(\beta)=\frac{4}{5}\pm0,04 $$ (балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов)	0.40

D2 ^0.50 Найдите радиус шарика $R$.

1 $$R=(4,2\pm0,2)~см
$$
(балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов)

0.50

D3 ^0.50 Найдите показатель преломления жидкости $n$.

1 $$n=1,33\pm0,07
$$
(балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов)

0.50

D4 ^0.50 Найдите длину нити $l$.

1 Для точности определения $l$ используется $h_3$ (балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов)	0.20
2 $$l=(5,3\pm0,4)~см $$ (балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов)	0.30