Logo
Logo

Длина тени

Разбалловка

A1  0.20 Выразите $L$ через $R$ и $\alpha$ при $h=0$.

1 $L$ определяется лучами, касающимися шара. 0.10
2 $$L=\frac{2R}{cos(\alpha)} $$ 0.10
A2  0.30 Выразите $L$ через $R$, $\alpha$, $\beta$, $l$ и $h$ при $0 < h < h_1$.

1 Преломление лучей на одном уровне не изменяет длину тени 0.20
2 $$L=\frac{2R}{cos(\alpha)} $$ 0.10
A3  1.00 Выразите $h_1$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

1 Момент излома - касание нижнего луча в точке контакта шара с поверхностью жидкости 0.50
2 $$h_1=L+R(1-sin(\alpha)) $$ 0.50
B1  2.50 При $h_1 < h < h_2$ получите зависимость длины тени от $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$ и $h$.

1 $L$ определяется лучом, преломляющимся на поверхности шара 0.60
2 $$H=l+R-h $$ 0.10
3 $$BC=\sqrt{R^2-H^2} $$ 0.20
4 $$AB=kh+b $$ 0.30
5 $$AB=\frac{R}{cos(\alpha)}+H~tg(\alpha) $$ 0.80
6 $$L=\frac{R}{cos(\alpha)}+(l+R-h)tg(\alpha)+\sqrt{R^2-(l+R-h)^2} $$ 0.50
B2  1.00 Выразите $h_2$ через $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$.

1 Характер зависимости меняется в момент, когда преломленный в точке $C$ луч касается поверхности шара 0.50
2 $$h_2=l+R(1-sin(\beta)) $$ 0.50
C1  1.30 Поскольку участок линейный, зависимость $L(h)$ имеет вид $L=L_0-kh$. Выразите $L_0$ и $k$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

1 $L$ определяется лучом, касающимся поверхности шара внутри жидкости 0.30
2 $AC$ и $BC$ - линейные функции $h$ 0.10
3 $$AB=\frac{R}{cos(\alpha)}+H~tg(\alpha) $$ 0.20
4 $$BC=\frac{R}{cos(\beta)}-H~tg(\beta) $$ 0.20
5 $$k=tg(\alpha)-tg(\beta) $$ 0.20
6 $$L_0=\frac{R}{cos(\alpha)}+\frac{R}{cos(\beta)}+(l+R)(tg(\alpha)-tg(\beta)) $$ 0.30
C2  0.20 Выразите минимальную длину тени через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

1 $$L_{min}=\frac{2R}{cos(\beta)} $$ 0.20
С3  0.50 Выразите $h_3$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

1 M1 Верхний луч касается шара дважды 0.20
2 M2 Используется минимальное значение $L$ 0.20
3 M3 Правильное уравнение в других переменных 0.20
4 M1 $$h_3=l+R(1+\frac{cos(\beta)-cos(\alpha)}{sin(\alpha-\beta)}) $$ 0.30
5 M2 $$h_3=l+R\left(1+\frac{sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}\right) $$ 0.30
6 M3 $$h_3=l+R+R\frac{cos(\beta)-cos(\alpha)}{cos(\alpha)cos(\beta)(tg(\alpha)-tg(\beta))} $$ 0.30
D1  1.50 Найдите численные значения $\cos\alpha$ и $\cos\beta$.

1 $$k=\frac{7}{12} $$ $$0.57\leq{k}\leq0,6 $$ 0.10
2 $$\frac{L_{max}}{L_{min}}=\frac{\cos(\beta)}{cos(\alpha)} $$ 0.10
3 Получено квадратное уравнение относительно тригонометрической функции $\alpha$ или $\beta$ 0.50
4 $$cos(\alpha)=\frac{3}{5}\pm0,03 $$ (балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов) 0.40
5 $$cos(\beta)=\frac{4}{5}\pm0,04 $$ (балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов) 0.40
D2  0.50 Найдите радиус шарика $R$.

1 $$R=(4,2\pm0,2)~см $$ (балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов) 0.50
D3  0.50 Найдите показатель преломления жидкости $n$.

1 $$n=1,33\pm0,07 $$ (балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов) 0.50
D4  0.50 Найдите длину нити $l$.

1 Для точности определения $l$ используется $h_3$ (балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов) 0.20
2 $$l=(5,3\pm0,4)~см $$ (балл ставится при наличии правильного уравнения относительно тригонометрических функций углов) 0.30