Pho.rs: Длина тени

A1 ^0.20 Выразите $L$ через $R$ и $\alpha$ при $h=0$.

Солнечные лучи можно считать параллельными. При нулевом уровне жидкости в сосуде дно крайними не освещающими дно являются лучи, касающиеся шара. Проводя их продолжения до пересечения с дном
$$L=\frac{2R}{cos(\alpha)}
$$

A2 ^0.30 Выразите $L$ через $R$, $\alpha$, $\beta$, $l$ и $h$ при $0 < h < h_1$.

Лучи преломляются и остаются параллельны друг другу. Поскольку поверхность жидкости параллельна основанию сосуда, преломление лучей, касающихся шара, не влияет на длину тени. Таким образом
$$L=\frac{2R}{cos(\alpha)}
$$

A3 ^1.00 Выразите $h_1$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

Излом графика наступает тогда, когда один из крайних лучей не может коснуться шара до преломления в жидкости. Таким образом, в момент, когда на графике начинается излом, касательная к шару направлена под углом $\alpha$ к вертикали. Отсюда получаем ответ
$$h_1=l+R\left(1-sin(\alpha)\right)
$$

B1 ^2.50 При $h_1 < h < h_2$ получите зависимость длины тени от $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$ и $h$.

Поскольку $\beta<\alpha$, пока касательная к шару не станет образовывать угол $\beta$ с вертикалью, все лучи после преломления не будут пересекать шар. Тогда границей тени является луч, преломляющийся в точке контакта шара с поверхностью жидкости. Пусть $H$ - высота центра шара над поверхностью жидкости. Тогда найдём длину тени
$$L=\frac{R}{cos(\alpha)}+Htg(\alpha)+\sqrt{R^2-H^2}
$$
Выражение для $H$ следующее
$$H=l+R-h
$$
Откуда
$$L=\frac{R}{cos(\alpha)}+(l+R-h)tg(\alpha)+\sqrt{R^2-(l+R-h)^2}
$$

B2 ^1.00 Выразите $h_2$ через $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$.

Как мы уже знаем, пока касательная к шару составляет с вертикалью угол больший, чем $\beta$, границей тени является луч, преломленный в точке контакта шара с поверхностью. Отсюда
$$h_2=l+R(1-sin(\beta))
$$

C1 ^1.30 Поскольку участок линейный, зависимость $L(h)$ имеет вид $L=L_0-kh$. Выразите $L_0$ и $k$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

Если касательная к шару в точке контакта с поверхностью жидкости составляет с вертикалью угол меньший чем $\beta$, один из лучей после преломления касается шара уже внутри жидкости и уже является границей тени. Сохраним обозначение $H$, введённое при решении пункта $B1$. Тогда
$$L=\frac{R}{cos(\alpha)}+Htg(\alpha)+\frac{R}{cos(\beta)}-Htg(\beta)
$$
Подставляя выражение для $H$, получим
$$L=\frac{R}{cos(\alpha)}+\frac{R}{cos(\beta)}+(l+R)(tg(\alpha)-tg(\beta))-(tg(\alpha)-tg(\beta))h
$$
Откуда
$$L_0=\frac{R}{cos(\alpha)}+\frac{R}{cos(\beta)}+(l+R)(tg(\alpha)-tg(\beta))
$$
$$k=tg(\alpha)-tg(\beta)
$$

C2 ^0.20 Выразите минимальную длину тени через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

В некоторый момент уровень поднимется так высоко, что верхний касающийся шара луч будет касаться его и после преломления. В дальнейшем именно верхний луч, касающийся шара после преломления, определяет длину его тени. Она остаётся постоянной и равна
$$L=\frac{2R}{cos(\beta)}
$$

С3 ^0.50 Выразите $h_3$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$.

Используем результат предыдущего пункта
$$\frac{2R}{cos(\beta)}=\frac{R}{cos(\alpha)}+\frac{R}{cos(\beta)}+(l+R)(tg(\alpha)-tg(\beta))-(tg(\alpha)-tg(\beta))h_3
$$
Откуда
$$h_3=l+R(1+\frac{cos(\beta)-cos(\alpha)}{sin(\alpha-\beta)})
$$

D1 ^1.50 Найдите численные значения $\cos\alpha$ и $\cos\beta$.

Из графика получим, что
$$\frac{L_{max}}{L_{min}}=\frac{cos(\beta)}{cos(\alpha)}=\frac{4}{3}
$$
Найдём угловой коэффициент линейного участка графика
$$k=tg(\alpha)-tg(\beta)=\frac{7}{12}
$$
Используя известное выражение
$$\frac{1}{cos^2(\alpha)}=1+tg^2(\alpha)
$$
получаем
$$tg(\alpha)-\sqrt{\frac{9}{16}(1+tg^2(\alpha))-1}=\frac{7}{12}
$$
Получаем квадратное уравнение относительно $tg(\alpha)$
$$tg^2(\alpha)-\frac{8tg(\alpha)}{3}+\frac{16}{9}=0
$$
Его решение
$$tg(\alpha)=\frac{4}{3}
$$
Получим ответы на вопросы
$$cos(\alpha)=\frac{3}{5};~cos(\beta)=\frac{4}{5}
$$

D2 ^0.50 Найдите радиус шарика $R$.

Максимальная длина тени равна
$$L_{max}=\frac{2R}{cos(\alpha)}=14~см
$$
откуда
$$R=\frac{L_{max}cos(\alpha)}{2}=4,2~см
$$

D3 ^0.50 Найдите показатель преломления жидкости $n$.

$$n=\frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}=\frac{4}{3}
$$

D4 ^0.50 Найдите длину нити $l$.

Наиболее точно $l$ можно измерить по точке $h_3$
$$l=h_3-R(1+\frac{cos(\beta)-cos(\alpha)}{sin(\alpha-\beta)})=h_3-\frac{12}{7}R=5,3~см
$$

Длина тени

Решение