Определите, каким будет давление воды в верхней части сосуда после того, как пузырёк поднимется вверх.

Давление воздуха в пузырьке у дна сосуда $p_{1}=p_{0}+\rho g h$. Пусть после подъёма пузырька вверх давление воздуха стало равным $p_{2}=p_{0}+\Delta p$, а объём $V_{2}=V+\Delta V$. Поскольку $\Delta V_{ж}=-\Delta V$, то $\Delta p=-K \Delta V_{ж} / V_{ж}=K \Delta V / V_{ж}$. Так как процесс изотермический, $(p_{0}+\rho g h) V=(V+\Delta V)(p_{0}+K \Delta V / V_{ж})$. Обозначая отношение $\Delta V / V$ через $\varepsilon$, получим:
$$
\rho g h=p_{0} \varepsilon + K \varepsilon \frac{V}{V_{ж}}+K \frac{V}{V_{ж}} \varepsilon^{2}.
$$
Решая квадратное уравнение, получаем:
$$
\varepsilon=\frac{-p_{0}-K \frac{V}{V_{ж}} \pm \sqrt{\left(p_{0}+K \frac{V}{V_{ж}}\right)^{2}+\frac{4 K V \rho g h}{V_{ж}}}}{2 K \frac{V}{V_{ж}}}.
$$
Давление в верхней части сосуда
$$
p_{2}=p_{0}+K \frac{V}{V_{ж}} \varepsilon=\frac{p_{0}-K \frac{V}{V_{ж}}+\sqrt{\left(p_{0}+K \frac{V}{V_{ж}}\right)^{2}+\frac{4 K V \rho g h}{V_{ж}}}}{2}. \quad (1)
$$
Мы учли, что объём пузырька не может стать меньше нуля, и поэтому одно из решений не подходит.
В предельных случаях ответ $(1)$ упрощается:
$1$. При $V \rightarrow 0$ получаем $p_{2}=p_{0}$.
$2$. При $K \rightarrow 0$ снова $p_{2}=p_{0}$.
$3$. В пределе $K \rightarrow \infty$ давление $p_{2}=p_{1}=p_{0}+\rho g h$.
$4$. Численный расчёт для указанных значений даёт
$$
p_{2}=1.17 \cdot 10^{5}~Па.
$$
Таким образом, при подъёме пузырька давление во всём сосуде возрастёт на величину $p_{2}-p_{0}=0.17 \cdot 10^{5}~Па$. При этом давление в пузырьке изменится на $\Delta p=p_{2}-p_{1}=-0.13 \cdot 10^{5}~Па$. Следовательно, $|\Delta p| / p_{1}=0.1$.
$\textit{Примечание}$. Так как относительное изменение давления в пузырьке при его подъёме существенно меньше $p_{0}$, можно воспользоваться приближённой формулой, связывающей изменения давления и объёма воздуха в пузырьке при его подъёме: $p \Delta V+V \Delta p=0$. Из этой формулы следует $\Delta p=-p_{1} \Delta V / V$. Формула для $p_{2}$ приобретает следующий приближённый вид:
$$
p_{2}=p_{1} \frac{V K+V_{ж} p_{0}}{V K+V_{ж} p_{0}+V_{ж} \rho g h} \approx 1.15 \cdot 10^{5}~Па.
$$

1  ^?? $V \rightarrow 0$,

2  ^?? $K \rightarrow 0$ (сильно сжимаемая жидкость),

3  ^?? $K \rightarrow \infty$ (несжимаемая жидкость).

4  ^?? Вычислите ответ для случая $h=3~м$, $S=10~см^{2}$, $V=0.2~см^{3}$, $K=2 \cdot 10^{9}~Па$, плотность воды $\rho=10^{3}~кг/м^{3}$, $g=10~м/с^{2}$.