На рисунке показан изогнутый стержень, закреплённый в начале координат $O$ и имеющий форму $z=\frac{1}{k}x^2$, где $k$ — ненулевой коэффициент пропорциональности с размерностью длины. На стержень надет ползунок, коэффициент трения между ним и стержнем равен $\mu$.

1 Пренебрегая трением, найдите величину ускорения $a$ ползунка, направленную по касательной к стержню, в зависимости от $z$.

$\textit{Подсказка:}$ выберите один из 5 возможных вариантов: $0$, $g$, $2g\sqrt{\frac{z}{4z+k}}$, $gz\sqrt{4z^2+k^2}$, $\frac{gz}{k}$.

2 В каком диапазоне значений $z$ ползунок будет оставаться в покое, если учитывать трение и считать стержень неподвижным? Выразите ответ через $\mu$, $g$ и $k$.

Предположим теперь, что стержень равномерно вращается вокруг оси $z$ с угловой скоростью $\omega=\sqrt{\frac{2g}{k}}$.

3 В каком диапазоне значений $z$ ползунок будет оставаться в покое относительно стержня?

4 Решите предыдущий пункт в предположении $\mu=0.5$, $\omega=\sqrt{\frac{6g}{k}}$.