Logo
Logo

Нелинейный элемент

A1  2.00 Найдите максимальную мощность $P_1$, выделяющуюся на нелинейном элементе.

Обозначим за $A$ точку на графике вольт-амперной характеристики нелинейного элемента, а за $O$ --- центр окружности. Пусть $OA$ составляет угол $\varphi$ с осью напряжений $\frac{U}{U_0}=x$. Тогда
$$P_{НЭ}=IU={U_0}{I_0}\sin\varphi \cos\varphi=\frac{{U_0}{I_0}\sin 2\varphi}{2}
$$
В начальный момент угол $\varphi$ принимает значение $\pi/3$, поэтому в процессе дальнейшей зарядки конденсатора величина $2\varphi$ принимает значения $\frac{2\pi}{3}\leq\varphi\leq2\pi$.
Таким образом, максимальная мощность, выделяющаяся на нелинейном элементе достигается в момент замыкания ключа и равна

Ответ: $$P_1=\frac{{U_0}{I_0}\sqrt{3}}{4}$$

A2  8.00 Найдите максимальную скорость изменения энергии конденсатора $P_2$ и время после замыкания ключа $\Delta t$, через которое она достигается.

Скорость изменения энергии конденсатора
$$\frac{dW}{dt}={I_C}{U_C}={U_0}{I_0}\sin\varphi(1-\cos\varphi)$$
Величина $\sin\varphi(1-\cos\varphi)$ является площадью равнобедренного треугольника с основанием $2\sin\varphi$ и высотой $(1-\cos\varphi)$, вписанного в окружность единичного радиуса. Максимум площади достигается в случае равностороннего треугольника. Таким образом, в этот момент времени $\varphi$ принимает значение $2\pi/3$, а максимальная площадь равняется $S_{max}=3\sqrt{3}/4$
Окончательно
$$P_2=\frac{3\sqrt{3} {U_0}{I_0}}{4}$$
Найдём время, через которое $\varphi$ принимает значение $2\pi/3$. Рассмотрим изменение напряжения на конденсаторе с течением времени. Поскольку суммарное напряжение на нелинейном элементе и конденсаторе сохраняется
$$\frac{dU_C}{dt}=-{U_0}\frac{dx}{dt}$$
Величину $\frac{dx}{dt}$ найдём из условия движения точки $A$ по окружности с некоторой угловой скоростью $\omega$
$$\frac{dx}{dt}=-{\omega}\sin\varphi \Rightarrow \frac{dU_C}{dt}={\omega}\,{U_0}\sin\varphi$$
С другой стороны
$$q_C=CU_C$$
Откуда
$$I_C=C\frac{dU_C}{dt}={I_0}\sin\varphi$$
Комбинируя два выражения для $\frac{dU_C}{dt}$
$$\omega=\frac{I_0}{CU_0}=\mathrm{const}$$
Таким образом, $OA$ вращается с постоянной угловой скоростью и к моменту достижения максимальной скорости изменения конденсатора поворачивается на угол $\pi/3$, откуда сразу получим выражение для времени
$${\Delta}t=\frac{{\pi}CU_0}{3I_0}$$

Ответ: $$P_2=\frac{3\sqrt{3} {U_0}{I_0}}{4}$$
$${\Delta}t=\frac{{\pi}CU_0}{3I_0}$$