1  ^?? Под каким углом к вертикали направлена сила Архимеда, действующая на деревянный шарик?

Пусть плотности воды, деревянного и металлического шариков равны $\rho$, $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ соответственно, объёмы шариков $V_{1}$ и $V_{2}$, расстояние от оси вращения до деревянного шарика $R$, силы натяжения верхней и нижней нитей $T_{1}$ и $T_{2}$, угловая скорость вращения $\omega$.
Рассмотрим мысленно вместо деревянного шарика шарик из воды. На эти шарики действует одинаковая сила Архимеда (см. рисунок ниже).

Ускорение шариков $a=\omega^{2} R$. По второму закону Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
$$
\begin{gathered}
F_{A} \sin \gamma=\rho V_{1} \omega^{2} R, F_{A} \sin \gamma-T_{1} \sin \alpha=\rho_{1} V_{1} \omega^{2} R,
\\
F_{A} \cos \gamma=\rho V_{1} g, F_{A} \cos \gamma-T_{1} \cos \alpha=\rho_{1} V_{1} g.
\end{gathered}
$$
Отсюда:
$$
\operatorname{tg} \gamma=\frac{\omega^{2} R}{g}, \operatorname{tg} \alpha=\frac{\omega^{2} R}{g}.
$$
Следовательно, $\gamma=\alpha$. Сила Архимеда направлена под углом $\alpha$ к вертикали, то есть, вдоль нити.

2  ^?? Найдите отношение сил натяжения верхней и нижней нитей.

Найдём горизонтальные и вертикальные составляющие сил Архимеда, действующих на шарики (см. рисунок ниже):
$$
F_{A_{1} x}=\rho V_{1} \omega^{2} R, \quad F_{A_{1} y}=\rho V_{1} g,
\\
F_{A_{2} x}=\rho V_{2} \omega^{2} 3 R, \quad F_{A_{2} y}=\rho V_{2} g.
$$

По второму закону Ньютона:
$$
\left\{\begin{array}{l}
F_{A_{1} x}-T_{1} \sin \alpha=\rho_{1} V_{1} \omega^{2} R,
\\
F_{A_{1} y}-\rho_{1} V_{1} g-T_{1} \cos \alpha=0,
\\
F_{A_{2} x}+T_{1} \sin \alpha+T_{2} \cos \alpha=\rho_{2} V_{2} \omega^{2} 3 R,
\\
F_{A_{2} y}-\rho_{2} V_{2} g+T_{1} \cos \alpha-T_{2} \sin \alpha=0.
\end{array}\right.
$$
Из записанных уравнений находим:
$$
\left\{\begin{array}{l}
\left(\rho-\rho_{1}\right) V_{1} \omega^{2} R=T_{1} \sin \alpha,
\\
\left(\rho-\rho_{1}\right) V_{1} g=T_{1} \cos \alpha,
\\
\left(\rho_{2}-\rho\right) V_{2} \omega^{2} 3 R=T_{1} \sin \alpha+T_{2} \cos \alpha,
\\
\left(\rho_{2}-\rho\right) V_{2} g=T_{1} \cos \alpha-T_{2} \sin \alpha.
\end{array}\right.
$$
Отсюда:
$$
3 \operatorname{tg} \alpha=\frac{x \sin \alpha+\cos \alpha}{x \sin \alpha-\cos \alpha}, \text { где } x=\frac{T_{1}}{T_{2}}.
$$
Зная $\alpha$, находим:
$$
x=\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{19}{8}.
$$