Из условия следует, что сумма сил натяжения пружин всегда равна $F$, растяжения пружин в начальный момент одинаковы и равны $x_{0}=F / k$, где $k=k_{1}+k_{2}$, суммарная начальная энергия пружин $E_{0}=F^{2} / 2 k$.
В момент, когда скорость груза максимальна, его ускорение равно нулю, значит первая пружина не деформирована, а вторая растянута силой $F$. Приравнивая работу силы $F$ изменению энергии системы, получим
$$
F\left(\frac{F}{k_{2}}-\frac{F}{k}\right)=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{F^{2}}{2 k_{2}}-\frac{F^{2}}{2 k},
$$
откуда максимальная скорость груза:
$$
v=F \sqrt{\frac{k_{1}}{m k_{2}\left(k_{1}+k_{2}\right)}}.
$$
Так как сумма сил натяжения пружин постоянна, минимальность одной из них означает максимальность другой, поэтому в момент минимального удлинения одной из пружин скорость изменения длины будет нулевой у обеих пружин, а значит, будет равна нулю и скорость груза. Тогда для растяжений пружин $x_{1}$ и $x_{2}$ в этот момент получим систему уравнений:
$$
\left\{\begin{array}{l}
k_{1} x_{1}+k_{2} x_{2}=F,
\\
F\left(x_{2}-x_{0}\right)+\frac{k x_{0}^{2}}{2}=\frac{k_{1} x_{1}^{2}}{2}+\frac{k_{2} x_{2}^{2}}{2}.
\end{array}\right.
$$
С помощью первого уравнения выразим $x_{2}$ через $x_{1}$ и подставим в первое уравнение. Используя выражение для $x_{0}$, получим квадратное уравнение относительно $x_{1}$:
$$
\frac{k_{1}}{2 k_{2}}\left(k_{1}+k_{2}\right) x_{1}^{2}=\frac{k_{1} F^{2}}{2 k_{2}\left(k_{1}+k_{2}\right)}.
$$
Его решения $x_{1}=\pm x_{0}$, положительный корень соответствует начальному удлинению пружины. Это согласуется с тем, скорость груза в начальный момент времени равна нулю.
Второе решение отвечает меньшей длине первой пружины:
$$
x_{1}=-x_{0}, \quad x_{2}=x_{0} \frac{2 k_{1}+k_{2}}{k_{2}}.
$$
Таким образом удлинение первой пружины в момент, когда её длина будет минимальна, равно
$$
x_{1}=-\frac{F}{k_{1}+k_{2}}.
$$
Отрицательный знак означает, что пружина в этот момент будет сжата.