1  ^?? При каком значении $\omega_{1}$ угловой скорости начальное положение paвновесия поршня перестанет быть устойчивым?

Найдём силу реакции $N$ ближней к оси вращения стенки цилиндра, действующую на поршень в исходном положении (см. рисунок ниже).

По второму закону Ньютона:
$$
m \omega^{2} l=p_{0} S - N.
$$По мере увеличения $\omega$ сила $N = p_{0}S - m\omega^{2} l$ уменьшается. Отрыв от стенки может произойти, когда $N$ станет равной нулю, то есть
$$
p_{0} S - m\omega^{2} l=0,
$$отсюда
$$
\omega = \sqrt{\frac{p_{0} S}{m l}} = \omega_{0}.
$$Исследуем положения равновесия поршня в случае, когда на него не действует сила реакции. При постоянной температуре для идеального газа выполняется следующее соотношение:
$$
p V = p_{0} S a=\operatorname{const}.
$$Пусть $x ~-$ смещение поршня по отношению к его исходному положению (см. рисунок ниже), тогда:
$$
V = S (a - x).
$$

Газ действует на поршень с силой, равной
$$
F_{p}=p S=\frac{a}{a - x} p_{0} S .
$$Из условия равновесия поршня:
$$
m \omega^{2}(l + x)=\frac{a}{a - x} p_{0} S,$$подставляя в это уравнение значение $p_0 S$, получаем:
$$x^{2}-x(a-l)+\left( \frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}} - 1 \right) a l=0. \tag{1}
$$Это квадратное уравнение определяет положение равновесия поршня при заданной угловой скорости вращения $\omega$. При $\omega=\omega_{0}$ одно из положений равновесия $x_{0}=0$, а второе $-~x_{1} = a - l$, причем $x_{0}$ соответствует неустойчивому положению равновесия, так как при $x_{0} < x < x_{1}$:
$$
m \omega_{0}^{2}(l + x) > \frac{a}{a - x} p_{0} S. \tag{2}
$$Это означает, что при небольшом смещении поршня от положения $x_{0} = 0$ сила давления газа не сможет удержать поршень. Поэтому при
$$
\omega_{1}=\omega_{0}=22{,}4 ~ с^{-1}
$$его начальное положение равновесия неустойчиво.

2  ^?? На каком расстоянии $x_{1}$ от начального положения установится поршень при неизменной угловой скорости $\omega_{1}$?

При достижении угловой скорости $\omega_1$ поршень перейдёт в устойчивое положение
$$
x_{1} = a - l = 0{,}4 ~м.
$$Устойчивость $x_{1}$ следует из того же неравенства $(2)$ и обратного к нему неравенству, верному при $x > x_{1}$. Эти неравенства означают, что при любом смещении поршня из положения равновесия $x_{1}$ возникающая при этом сила стремится вернуть его в это положение равновесия. Рассмотрим изменение положений равновесий при уменьшении частоты. Обозначим их координаты через $x_{-}$ и $x_{+}$, где $x_{-} < x_{+}$. При $\omega=\omega_{0}$ имеем $x_{+}=x_{1}$. Из теоремы Виета получаем:
$$
\frac{x_{-}+x_{+}}{2} = \frac{a-l}{2}.
$$

3  ^?? Теперь частоту вращения начали медленно уменьшать. При каком значении $\omega_{2}$ поршень вернётся в исходное положение?

Таким образом положения равновесия расположены симметрично относительно точки, положение которой не зависит от частоты. Дискриминант уравнения $(1)$
$$
D=(a - l)^{2}-4 a l \left(\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}} -1\right)
$$убывает с уменьшением частоты и обращается в $0$ при
$$
\omega = \frac{2 \sqrt{a l}}{a + l} \omega_{0}=\Omega.
$$Таким образом, с уменьшением частоты расстояние между положениями равновесия также уменьшается, при $\omega = \Omega$ эти положения сливаются в одно. При $\omega < \Omega$, единственное положение равновесия $-$ начальное положение $x_{0} = 0$, так как у квадратного уравнения $(1)$ нет решений.
Аналогично рассмотрению устойчивости положений равновесия при $\omega = \omega_{0}$ находим, что при всех частотах $\Omega < \omega < \omega_{0}$ положение равновесия с координатой $x_{+}$ устойчиво. Его координата непрерывно зависит от частоты, поэтому при ее медленном уменьшении от $\omega_{0}$ до $\Omega$ поршень остается в этом положении равновесия. Окончательно получаем, что поршень возвращается в исходное положение равновесия при частоте
$$
\omega_{2} = \Omega = 16{,}7~с^{-1}.
$$