Logo
Logo

Гайка и линейка на бифилярном подвесе

Разбалловка

A1  0.20 Пусть кривая совершает один оборот вокруг цилиндра радиуса $R<\frac{l}{2\pi}$
(т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$)
Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра.

1 $\varphi_0=\arcsin\left(\frac{2{\pi}R}{l}\right)$ 0.20
A2  0.40 Пусть $\varphi_B-\varphi_A=\Delta{\varphi}$.
Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$

1 $$l^2=(z_B-z_A)^2+(R\Delta{\varphi})^2
$$
0.20
2 $$z_B-z_A=\sqrt{l^2-(R\Delta{\varphi})^2}
$$
0.20
A3  0.40 Для $\frac{R\Delta{\varphi}}{l}\ll1$ покажите, что
$$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$

1 $$(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{x}{2}
$$
0.20
2 $z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$ 0.20
B1  0.10 Измерьте массу гайки $m$.

1 $m \in [9.6; 10.4]$ г 0.10
B2  0.90 Измерьте радиус нити $r_1$ методом рядов.

1 Используется не менее 50 витков 0.30
2 Широкие ворота: $r_1 \in [0.08; 0.14]$ мм 0.20
3 Узкие ворота: $r_1 \in [0.10; 0.12]$ мм 0.40
4 Написан диаметр вместо радиуса -0.20
B3  3.00 Измерьте момент инерции гайки относительно её главной оси.
Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$.

1 Используется бифилярный подвес 0.70
2 Верно рассчитан теоретический период колебаний $T = 2\pi \sqrt{\frac{IL}{mgab}}$ 0.80
3 Используется достаточно большое $a >4$ см 0.20
4 Придуман точный метод измерения $R$ 0.20
5 Измерение $T$ отклоняется от теоретического не более чем на 20%. 0.40
6 $I \in [4.6; 5.6] \cdot 10^{-7}$ $\text{кг}\cdot \text{м}^2$ 0.70
С1  ?? Запишите расстояние $L$ от точки подвеса до точки скрепления для вашей установки.

1 $L < 30$ см -0.50
С2  1.70 При закручивании нитей на угол $\varphi$ гайка поднимается на высоту $h$. Снимите зависимость $h(\varphi)$ в максимально широком диапазоне (до углов порядка $500\pi$), закручивая гайку против часовой стрелки, если смотреть на на неё сверху вниз. В дальнейшем будем называть это направление закрутки правым. Следите за тем, чтобы отрезки нитей ниже точки скрепления не перекручивались. На нитях не должны появляться узелки и катышки.

1 Сняты точки 8 × 0.20
2 Присутствуют точки с $\varphi > 480\pi$ 0.10
С3  1.10 Снимите аналогичную зависимость для закручивания в другую сторону. Убедитесь в асимметрии установки.

1 Сняты точки 5 × 0.20
2 Высота подъема гайки больше чем в С2 0.10
C4  0.30 Выведите теоретическую зависимость $h(\varphi)$. Пользуясь этим, линеаризуйте зависимость, полученную в пункте С2.

1 $h(\varphi)=\frac{(r\varphi)^2}{2L}$ 0.20
2 Правильная линеаризация: $h(\varphi^2)$, $\sqrt{h}(\varphi)$ и т.п. 0.10
C5  1.20 Для правой закрутки нити постройте график зависимости $h(\varphi)$ в координатах, в которых он является линейным. Из углового коэффициента еще раз определите радиус нити $r_2$.

1 Точки нанесены на график 8 × 0.05
2 Построена прямая 0.20
3 Неправильный масштаб -0.10
4 Не подписаны оси -0.10
5 Оси не оцифрованы или оцифрованы некорректно -0.10
6 Верный угловой коэффициент 0.30
7 $r_2 \in [0.06; 0.11]$ мм 0.30
С6  0.70 Получите теоретическую зависимость $\tau$ от параметров установки, где $\tau(h)$ - время, за которое гайка останавливается, если её отпустить с высоты $h$.

1 $$\frac{I\dot{\varphi}^2}{2}+\frac{mg(r\varphi)^2}{2L}=E
$$
0.20
2 $${\omega_0}^2=\frac{mgr^2}{IL}
$$
0.20
3 $$\tau={\pi}\sqrt{\frac{IL}{mgr^2}}
$$
0.20
4 $\tau(h)=\text{const}$ 0.10
С7  1.00 Для правой закрутки экспериментально получите зависимость $\tau(h)$.

1 Сняты точки 5 × 0.10
2 Точки не отклоняются от среднего более чем на 6%. 5 × 0.10
С8  2.50 Снимите зависимость $\tau(L)$. Постройте линеаризованный график.

1 Сняты точки 8 × 0.25
2 Линеаризация $T(\sqrt{L})$, $T^2(L)$ 0.20
3 Точки нанесены на график 8 × 0.05
4 Построена прямая 0.10
5 Неправильный масштаб -0.10
6 Не подписаны оси -0.10
7 Оси не оцифрованы или оцифрованы некорректно -0.10
C9  1.20 Модулем кручения $f$ однородного стержня называют коэффициент пропорциональности в формуле $M = f \cdot \varphi$, где $M$ - закручивающий момент сил, приложенных к основанию стержня, $\varphi$ - угол поворота основания стержня. Определите коэффициент $C$ в зависимости $f = C/L$, где $f$ - собственный модуль кручения одной нити, $L$ - длина нити. Опишите метод. Оцените отношение $\frac{C}{mgr^2}$. Убедитесь, что рассмотренный эффект почти не влияет на полученные результаты.

1 Сняты точки 8 × 0.08
2 Построен график или использован МНК 0.10
3 Найден угловой коэффициент 0.10
4 Ответ $С \in [10^{-9}; 10^{-8}]$ $\text{Н}\cdot \text{м}^2$ 0.20
5 Оценка $\frac{C}{mgr^2} \approx 1$ 0.16
C10  0.30 Заметьте, что гайка раскручивается до неразличимых глазом угловых скоростей. Оцените по порядку, с какой максимальной угловой скоростью она вращается.

1 Ответ $\omega \in [50; 1000]$ рад/с 0.30
D1  1.20 Считая известным, что при отклонении линейки на угол $\varphi$ от положения равновесия изменение её высоты представимо в виде
$$h=A{\varphi},
$$
выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$.

1 $$H^2+(R_0+r\varphi)^2={H_0}^2+{R_0}^2
$$
0.60
2 $$2{H_0}\frac{dH}{d\varphi}+2{R_0}r=0
$$
0.40
3 $$A=\frac{R_0}{H_0}r
$$
0.20
D2  0.80 Получите теоретическую зависимость $\tau'(\varphi_0)$, где $\tau'$ - время от начала движения линейки до момента ее первой остановки, $\varphi_0$ - начальный угол закручивания нитей.

1 $E= \frac{I\dot{\varphi}^2}{2}+mgh=\frac{m{R_0}^2\dot{\varphi}^2}{6}+mgA\varphi$
(любая из формул)
0.10
2 Движение с постоянным угловым ускорением 0.20
3 $\ddot{\varphi}=\frac{mgA}{I}=\frac{3gA}{{R_0}^2}$
(любая из формул)
0.20
4 $$\tau'=2R_0\sqrt{\frac{2\varphi_0}{3gA}}=2\sqrt{\frac{2\varphi_0H_0R_0}{3gr}}
$$
(любая из формул)
0.30
D3  1.50 Снимите зависимость $\tau'(\varphi_0)$, где $\tau'$ - время от начала движения линейки до момента ее первой остановки, $\varphi_0$ - начальный угол закручивания нитей. Измерения проводите в диапазоне $\varphi_0 \in [\pi; 10\pi]$.

1 Нарисована установка 0.06
2 Сняты точки 8 × 0.18
D4  1.50 Постройте линеаризованный график и в третий раз определите радиус нити $r_3$.

1 Линеаризация: $T(\sqrt{\varphi_0})$, $T^2(\varphi)$ и т. п. 0.20
2 Точки нанесены на график 8 × 0.05
3 Построена прямая 0.10
4 Неправильный масштаб -0.10
5 Не подписаны оси -0.10
6 Оси не оцифрованы или оцифрованы некорректно -0.10
7 Угловой коэффициент 0.50
8 Радиус нити $r_3 \in [0.07; 0.16]$ мм 0.30