Pho.rs: Гайка и линейка на бифилярном подвесе

A1 ^0.20 Пусть кривая совершает один оборот вокруг цилиндра радиуса $R<\frac{l}{2\pi}$
(т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$)
Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра.

__

$\varphi_0=\arcsin\left(\frac{2{\pi}R}{l}\right)$

0.20

A2 ^0.40 Пусть $\varphi_B-\varphi_A=\Delta{\varphi}$.
Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$

__

$$l^2=(z_B-z_A)^2+(R\Delta{\varphi})^2 $$	0.20
$$z_B-z_A=\sqrt{l^2-(R\Delta{\varphi})^2} $$	0.20

A3 ^0.40 Для $\frac{R\Delta{\varphi}}{l}\ll1$ покажите, что
$$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$

__

$$(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{x}{2} $$	0.20
$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$	0.20

B1 ^0.10 Измерьте массу гайки $m$.

__

$m \in [9.6; 10.4]$ г

0.10

B2 ^0.90 Измерьте радиус нити $r_1$ методом рядов.

__

Используется не менее 50 витков	0.30
Широкие ворота: $r_1 \in [0.08; 0.14]$ мм	0.20
Узкие ворота: $r_1 \in [0.10; 0.12]$ мм	0.40
Написан диаметр вместо радиуса	-0.20

B3 ^3.00 Измерьте момент инерции гайки относительно её главной оси.
Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$.

__

Используется бифилярный подвес	0.70
Верно рассчитан теоретический период колебаний $T = 2\pi \sqrt{\frac{IL}{mgab}}$	0.80
Используется достаточно большое $a >4$ см	0.20
Придуман точный метод измерения $R$	0.20
Измерение $T$ отклоняется от теоретического не более чем на 20%.	0.40
$I \in [4.6; 5.6] \cdot 10^{-7}$ $\text{кг}\cdot \text{м}^2$	0.70

С1 ^?? Запишите расстояние $L$ от точки подвеса до точки скрепления для вашей установки.

__

$L < 30$ см

-0.50

С2 ^1.70 При закручивании нитей на угол $\varphi$ гайка поднимается на высоту $h$. Снимите зависимость $h(\varphi)$ в максимально широком диапазоне (до углов порядка $500\pi$), закручивая гайку против часовой стрелки, если смотреть на на неё сверху вниз. В дальнейшем будем называть это направление закрутки правым. Следите за тем, чтобы отрезки нитей ниже точки скрепления не перекручивались. На нитях не должны появляться узелки и катышки.

__

Сняты точки	8 × 0.20
Присутствуют точки с $\varphi > 480\pi$	0.10

С3 ^1.10 Снимите аналогичную зависимость для закручивания в другую сторону. Убедитесь в асимметрии установки.

__

Сняты точки	5 × 0.20
Высота подъема гайки больше чем в С2	0.10

C4 ^0.30 Выведите теоретическую зависимость $h(\varphi)$. Пользуясь этим, линеаризуйте зависимость, полученную в пункте С2.

__

$h(\varphi)=\frac{(r\varphi)^2}{2L}$	0.20
Правильная линеаризация: $h(\varphi^2)$, $\sqrt{h}(\varphi)$ и т.п.	0.10

C5 ^1.20 Для правой закрутки нити постройте график зависимости $h(\varphi)$ в координатах, в которых он является линейным. Из углового коэффициента еще раз определите радиус нити $r_2$.

__

Точки нанесены на график	8 × 0.05
Построена прямая	0.20
Неправильный масштаб	-0.10
Не подписаны оси	-0.10
Оси не оцифрованы или оцифрованы некорректно	-0.10
Верный угловой коэффициент	0.30
$r_2 \in [0.06; 0.11]$ мм	0.30

С6 ^0.70 Получите теоретическую зависимость $\tau$ от параметров установки, где $\tau(h)$ - время, за которое гайка останавливается, если её отпустить с высоты $h$.

__

$$\frac{I\dot{\varphi}^2}{2}+\frac{mg(r\varphi)^2}{2L}=E $$	0.20
$${\omega_0}^2=\frac{mgr^2}{IL} $$	0.20
$$\tau={\pi}\sqrt{\frac{IL}{mgr^2}} $$	0.20
$\tau(h)=\text{const}$	0.10

С7 ^1.00 Для правой закрутки экспериментально получите зависимость $\tau(h)$.

__

Сняты точки	5 × 0.10
Точки не отклоняются от среднего более чем на 6%.	5 × 0.10

С8 ^2.50 Снимите зависимость $\tau(L)$. Постройте линеаризованный график.

__

Сняты точки	8 × 0.25
Линеаризация $T(\sqrt{L})$, $T^2(L)$	0.20
Точки нанесены на график	8 × 0.05
Построена прямая	0.10
Неправильный масштаб	-0.10
Не подписаны оси	-0.10
Оси не оцифрованы или оцифрованы некорректно	-0.10

C9 ^1.20 Модулем кручения $f$ однородного стержня называют коэффициент пропорциональности в формуле $M = f \cdot \varphi$, где $M$ - закручивающий момент сил, приложенных к основанию стержня, $\varphi$ - угол поворота основания стержня. Определите коэффициент $C$ в зависимости $f = C/L$, где $f$ - собственный модуль кручения одной нити, $L$ - длина нити. Опишите метод. Оцените отношение $\frac{C}{mgr^2}$. Убедитесь, что рассмотренный эффект почти не влияет на полученные результаты.

__

Сняты точки	8 × 0.08
Построен график или использован МНК	0.10
Найден угловой коэффициент	0.10
Ответ $С \in [10^{-9}; 10^{-8}]$ $\text{Н}\cdot \text{м}^2$	0.20
Оценка $\frac{C}{mgr^2} \approx 1$	0.16

C10 ^0.30 Заметьте, что гайка раскручивается до неразличимых глазом угловых скоростей. Оцените по порядку, с какой максимальной угловой скоростью она вращается.

__

Ответ $\omega \in [50; 1000]$ рад/с

0.30

D1 ^1.20 Считая известным, что при отклонении линейки на угол $\varphi$ от положения равновесия изменение её высоты представимо в виде
$$h=A{\varphi},
$$
выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$.

__

$$H^2+(R_0+r\varphi)^2={H_0}^2+{R_0}^2 $$	0.60
$$2{H_0}\frac{dH}{d\varphi}+2{R_0}r=0 $$	0.40
$$A=\frac{R_0}{H_0}r $$	0.20

D2 ^0.80 Получите теоретическую зависимость $\tau'(\varphi_0)$, где $\tau'$ - время от начала движения линейки до момента ее первой остановки, $\varphi_0$ - начальный угол закручивания нитей.

__

$E= \frac{I\dot{\varphi}^2}{2}+mgh=\frac{m{R_0}^2\dot{\varphi}^2}{6}+mgA\varphi$ (любая из формул)	0.10
Движение с постоянным угловым ускорением	0.20
$\ddot{\varphi}=\frac{mgA}{I}=\frac{3gA}{{R_0}^2}$ (любая из формул)	0.20
$$\tau'=2R_0\sqrt{\frac{2\varphi_0}{3gA}}=2\sqrt{\frac{2\varphi_0H_0R_0}{3gr}} $$ (любая из формул)	0.30

D3 ^1.50 Снимите зависимость $\tau'(\varphi_0)$, где $\tau'$ - время от начала движения линейки до момента ее первой остановки, $\varphi_0$ - начальный угол закручивания нитей. Измерения проводите в диапазоне $\varphi_0 \in [\pi; 10\pi]$.

__

Нарисована установка	0.06
Сняты точки	8 × 0.18

D4 ^1.50 Постройте линеаризованный график и в третий раз определите радиус нити $r_3$.

__

Линеаризация: $T(\sqrt{\varphi_0})$, $T^2(\varphi)$ и т. п.	0.20
Точки нанесены на график	8 × 0.05
Построена прямая	0.10
Неправильный масштаб	-0.10
Не подписаны оси	-0.10
Оси не оцифрованы или оцифрованы некорректно	-0.10
Угловой коэффициент	0.50
Радиус нити $r_3 \in [0.07; 0.16]$ мм	0.30

Гайка и линейка на бифилярном подвесе

Разбалловка