Pho.rs: Гайка и линейка на бифилярном подвесе

A1 ^0.20 Пусть кривая совершает один оборот вокруг цилиндра радиуса $R<\frac{l}{2\pi}$
(т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$)
Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра.

Ответ: Угол наклона постоянен, так что "развернув" винтовую линию получим
$$
l \sin \theta = 2\pi R
$$
откуда
$$
\theta = \text{arcsin} \frac{2\pi R}{l}
$$

A2 ^0.40 Пусть $\varphi_B-\varphi_A=\Delta{\varphi}$.
Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$

Ответ: Длина куска винтовой линии $d\varphi$ равна по теореме Пифагора
$$
dl = \sqrt{(R\,\text{tg} \theta\, d\varphi)^2 + (Rd\varphi)^2}=d\varphi \sqrt{R^2\,\text{tg} ^2\theta\, +R^2}
$$
Поэтому полная длина равна $l = R\Delta \varphi \sqrt{\,\text{tg}^2 \theta\, +1}$, откуда получаем $\text{tg} \theta\, =\sqrt{(\frac{l}{R\Delta \varphi})^2-1}$ и
$$
\Delta z = z_B - z_A = R\,\text{tg} \theta\, \Delta \varphi = \sqrt{l^2 - (R\Delta \varphi)^2}
$$

A3 ^0.40 Для $\frac{R\Delta{\varphi}}{l}\ll1$ покажите, что
$$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$

Ответ: Раскладывая предыдущую формулу в ряд Тейлора получим ответ.

B1 ^0.10 Измерьте массу гайки $m$.

Ответ: Взесим гайку на весах. Разброс масс гаек достаточно большой. Ответ: $m = 10.0 \pm 0.4 \; г$.

B2 ^0.90 Измерьте радиус нити $r_1$ методом рядов.

Ответ: Измерим радиус, плотно наматывая нить на линейку $N$ раз. Если длина намотанной части равна $D$, то радиус нити равен $r = \frac{D}{2N}$. Получим $N = 60$, $D = 12\pm 1 \; мм$ и $r = 0.10\pm0.01 \; мм$.

B3 ^3.00 Измерьте момент инерции гайки относительно её главной оси.
Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$.

Ответ: Соберем бифилярный подвес (см. рис.). Нужно следить, чтобы гайка была параллельна полу. Из теории период крутильных колебаний будет равен
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{IL}{mgaR}}
$$
Отсюда находим
$$
I=\frac{mgaRT^2}{4\pi^2L}
$$
Численно $I = (5.1 \pm 0.5) \cdot 10^{-7} \; \text{кг}\cdot\text{м}^2$.

Чтобы увеличить точность измерения $a$ стоит взять его достаточно большим, но так чтобы успевать "ловить" период $T$.

Чтобы точно измерить $R$ можно прокатить гайку по линейке. При перекате между гранями гайка проскальзывает по линейке. От этого можно избавиться прилепив очень тонкий слой клейкой массы на уголки гайки. Если гайка проехала расстояние $l$ за $N$ перекатов, ее длина радиус равен
$$
R = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{l}{N}
$$

Бифилярный подвес

С1 ^?? Запишите расстояние $L$ от точки подвеса до точки скрепления для вашей установки.

С2 ^1.70 При закручивании нитей на угол $\varphi$ гайка поднимается на высоту $h$. Снимите зависимость $h(\varphi)$ в максимально широком диапазоне (до углов порядка $500\pi$), закручивая гайку против часовой стрелки, если смотреть на на неё сверху вниз. В дальнейшем будем называть это направление закрутки правым. Следите за тем, чтобы отрезки нитей ниже точки скрепления не перекручивались. На нитях не должны появляться узелки и катышки.

С3 ^1.10 Снимите аналогичную зависимость для закручивания в другую сторону. Убедитесь в асимметрии установки.

C4 ^0.30 Выведите теоретическую зависимость $h(\varphi)$. Пользуясь этим, линеаризуйте зависимость, полученную в пункте С2.

Ответ: Систему из двух перекрученных нитей можно рассматривать как две винтовые линии с ненулевой "толщиной" линии. Точки соприкосновения двух нитей лежат на одной прямой, которая является осью винтовой линии. Поэтому и радиус винтовой линии равен радиусу нитей $r$. Используя результат A3 получим
$$
h = \frac{(r\varphi)^2}{2L}
$$

C5 ^1.20 Для правой закрутки нити постройте график зависимости $h(\varphi)$ в координатах, в которых он является линейным. Из углового коэффициента еще раз определите радиус нити $r_2$.

Ответ: Как следует из предыдущего пункта зависимость $h(\varphi^2)$ должна быть линейной. Построим график в этих осях. Получается прямая. Ее угловой коэффициент из теории равен
$$
k = \frac{r^2}{2L}
$$
откуда находим $r_2 = \sqrt{2Lk}$.

С6 ^0.70 Получите теоретическую зависимость $\tau$ от параметров установки, где $\tau(h)$ - время, за которое гайка останавливается, если её отпустить с высоты $h$.

Ответ: Запишем закон сохранения энергии:
$$
E = mgh + \frac{I\omega^2}{2} = mg\frac{(r\varphi)^2}{2L} + \frac{I\dot{\varphi}^2}{2}=\text{const}
$$
Дифференцируя это по времени, получим
$$
0=mg\frac{r^2\varphi \dot{\varphi}}{L}+I\dot{\varphi}\ddot{\varphi}
$$
откуда
$$
\ddot{\varphi} + \frac{mgr^2}{IL}\varphi=0.
$$
Это уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega_0 = \sqrt{\frac{mgr^2}{IL}}$.

Время до первой остановки равно половине периода, т.е.
$$
\tau = \frac{1}{2} \frac{2\pi}{\omega_0} = \pi \sqrt{\frac{IL}{mgr^2}}
$$

С7 ^1.00 Для правой закрутки экспериментально получите зависимость $\tau(h)$.

Ответ: Измерив $\tau(h)$, получим, что это константа с точностью до случайной погрешности $\approx 1 c$, что и соответствует гармноническим колебаниям - период не зависит от амплитуды.

С8 ^2.50 Снимите зависимость $\tau(L)$. Постройте линеаризованный график.

Ответ: Из пункта C6 $$\tau = \pi \sqrt{\frac{IL}{mgr^2}}.$$ Построим график в осях $\tau(\sqrt{L})$. Он линейный, что подверждает теоретическую формулу для $\tau$.

C9 ^1.20 Модулем кручения $f$ однородного стержня называют коэффициент пропорциональности в формуле $M = f \cdot \varphi$, где $M$ - закручивающий момент сил, приложенных к основанию стержня, $\varphi$ - угол поворота основания стержня. Определите коэффициент $C$ в зависимости $f = C/L$, где $f$ - собственный модуль кручения одной нити, $L$ - длина нити. Опишите метод. Оцените отношение $\frac{C}{mgr^2}$. Убедитесь, что рассмотренный эффект почти не влияет на полученные результаты.

Ответ: Подвесим гайку на одной нити так, чтобы натянутая нить располагалась на оси вращательной симметрии гайки. Из теории известно, что при этом будут происходить гармонические колебания с периодом $$T_f = 2\pi \sqrt{\frac{I}{f}}$$
Таким образом: $$f = 4\pi^2 \frac{I}{T_{f}^{2}} = \frac{C}{L} \Leftrightarrow T_{f}^{2} = 4\pi^2 \frac{I}{C} L$$
Проведем измерения $T_{f}(L)$ и построим график в координатах $T_{f}^2(L)$. По коэффициенту наклона определим $C$: $$C = (1.9 \pm 0.3) \cdot 10^{-9} \: Н \cdot м$$

C10 ^0.30 Заметьте, что гайка раскручивается до неразличимых глазом угловых скоростей. Оцените по порядку, с какой максимальной угловой скоростью она вращается.

Ответ: Энергия системы равна
$$E = \frac{I \dot{\varphi}^2}{2} + mgh = \frac{I \dot{\varphi}^2}{2} + \frac{mgr^2}{2L}\varphi^2
$$
Приравняем энергию системы в верхней и нижней точке:
$$
\frac{I\omega^2}{2}=mgh
$$
откуда
$$
\omega = \sqrt{\frac{2mgh}{I}}
$$
Взяв $ h = 30 \; мм$ и подставив числа, получим $\omega_{max} \approx 160 \; рад/с $.

D1 ^1.20 Считая известным, что при отклонении линейки на угол $\varphi$ от положения равновесия изменение её высоты представимо в виде
$$h=A{\varphi},
$$
выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$.

Ответ: При переходе из прямого участка нити в винтовую линию ее угол наклона не меняется. "Развернув" нить и записав теорему Пифагора получим
$$
H^2+(R_0+r\varphi)^2={H_0}^2+{R_0}^2
$$
Диффернцируя это по $\varphi$ получим
$$
2{H_0}\frac{dH}{d\varphi}+2{R_0}r=0
$$
(здесь мы пренебрегли слагаемым $2r^2\varphi$).

Отсюда
$$
H=H_0-\frac{R_0}{H_0}r\varphi
$$

D2 ^0.80 Получите теоретическую зависимость $\tau'(\varphi_0)$, где $\tau'$ - время от начала движения линейки до момента ее первой остановки, $\varphi_0$ - начальный угол закручивания нитей.

Ответ: Линейку можно считать длинным однородным стержнем, тогда ее момент инерции равен $I=\frac{1}{3}mR_0^2$.

Запишем закон сохранения энергии:
$$
E = mgh + \frac{I\dot{\varphi}^2}{2}=mgA\varphi+\frac{I\dot{\varphi}^2}{2}=\text{const}
$$
Диффиринцируя это по времени:
$$
0 = mgA\dot{\varphi} + I\dot{\varphi}\ddot{\varphi}
$$
откуда
$$
\ddot{\varphi}=-\frac{mgA}{I}=\text{const}
$$
Это уравнение равноускоренного движения. Время до остановки равно удвоенному времени прохождения из крайнего положения в положение равновесия:
$$
\tau' = 2 \sqrt{\frac{2I\varphi_0}{mgA}}=2\sqrt{\frac{2R_0^2\varphi_0}{3gA}}=2\sqrt{\frac{2H_0R_0\varphi_0}{3gr}}
$$

D3 ^1.50 Снимите зависимость $\tau'(\varphi_0)$, где $\tau'$ - время от начала движения линейки до момента ее первой остановки, $\varphi_0$ - начальный угол закручивания нитей. Измерения проводите в диапазоне $\varphi_0 \in [\pi; 10\pi]$.

D4 ^1.50 Постройте линеаризованный график и в третий раз определите радиус нити $r_3$.

Ответ: Учитывая D2 построим график в координатах $\tau'(\sqrt{\varphi_0})$. Он линейный. Из теории, его угловой коэффициент равен $k=2\sqrt{\frac{2H_0R_0}{3gr}}$. Отсюда найдем $r_3=\frac{8H_0R_0}{3gk^2}$.

Гайка и линейка на бифилярном подвесе

Решение