Адиабатическая атмосфера – атмосфера, находящаяся в равновесии, в которой возможные перемещения воздушных масс происходят без теплообмена друг с другом. В стандартной модели адиабатической атмосферы рассматривается равновесие сухого воздуха. В действительности, в воздухе содержится водяной пар, который, достигая насыщения, конденсируется. Конденсация пара приводит к тому, что величина температурного градиента существенно отличается от полученного в модели сухого воздуха. Учёт содержания водяных паров в атмосфере и является основой данной задачи. Во всех пунктах задачи считайте для любой точки атмосферы верным, что: 1) температуры воздуха и водяных паров равны; 2) отношение плотности водяных паров к плотности воздуха $\cfrac{\rho_\text{п}}{\rho_\text{в}}=\alpha\ll{1}$. Считайте известными следующие данные: 1) ускорение свободного падения $g=9.8~м/с^2$; 2) атмосферное давление на поверхности Земли $p_0=1.01\cdot{10^5}~\text{Па}$; 3) ненасыщенный водяной пар является идеальным трёхатомным газом с молярной массой $\mu_\text{п}=18~г/моль$ с показателем адиабаты $\gamma_\text{п}$; 4) воздух является идеальным двухатомным газом с молярной массой $\mu_\text{в}=29~г/моль$ с показателем адиабаты $\gamma_\text{в}$; 5) универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж/(моль\cdot К)$; 6) удельная теплоёмкость воды равна $c=4200~Дж/(кг\cdot К)$ и не зависит от температуры; 7) удельная теплота парообразования воды при $T_n=273~\text{К}$ равна $\lambda_n=2.491\cdot{10^6}~Дж/кг$. 8) график зависимости давления водяных паров от температуры $p_\text{н.п}(T)$ в диапазоне температур $273~\text{К}-293~\text{К}$ представлен на рисунке ниже:

Часть A. Определение точки конденсации (2.5 балла)

Рассмотрим адиабатическую атмосферу, состоящую из сухого воздуха. На поверхности Земли температура воздуха равна $T_0$.

A1  ^1.00 Найдите температуру воздуха $T_\text{в}$ на высоте $h$ над поверхностью Земли. Ответ выразите через $T_0$, $g$, $\mu_\text{в}$, $R$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{в}$.

Далее в рамках данной части задачи температура зависит от высоты по закону, найденному в пункте $\textbf{A1}$. Также в рамках данной части задачи считайте, что механически водяной пар не взаимодействует с воздухом.

Пусть относительная влажность паров $\varphi=\cfrac{p_\text{п}}{p_\text{н.п}}$ на поверхности Земли равна $\varphi_0$.

A2  ^1.00 Найдите зависимость давления водяных паров от температуры $p_\text{п}(T)$. Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$.

A3  ^0.50 Используя график зависимости $p_\text{н.п}(T)$, найдите для $\varphi_0=65\text{%}$ и $T_0=287~\text{К}$ высоту $h$ над поверхностью Земли, на которой пар становится насыщенным.

Часть B. Конденсация водяных паров(5.5 балла)

После насыщения водяной пар начинает конденсироваться. Это существенно искажает вид зависимости $T_\text{в}(h)$, найденный в пункте $\textbf{A1}$. Считайте, что весь сконденсировавшийся водяной пар мгновенно выпадает в виде осадков.

Для исследования конденсации водяных паров необходимо учесть, что удельная теплота парообразования отличается от значения, известного для $T_n=273~\text{К}$.

B1  ^1.00 Удельная теплота парообразования зависит от температуры $T$ следующим образом: $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$. $\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит.

Рассмотрим воздушную массу $m_\text{в}$, находящуюся в равновесии. В объёме воздуха $V_\text{в}$ отношение массы водяного пара в выделенной массе сухого воздуха $\alpha=\cfrac{m_\text{п}}{m_\text{в}}$ зависит от высоты $h$, т.е $\alpha=\alpha(h)$.

B2  ^0.50 Покажите, что при перемещении выделенной воздушной массы количество теплоты, полученное системой, заключённой в её объёме, можно представить так: $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right) $$

B3  ^0.50 Найдите $\cfrac{d\alpha}{dz}$. Ответ выразите через $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $P_\text{в}$, $P_\text{н.п}$, $\cfrac{dP_\text{н.п}}{dT}$, $\cfrac{dT}{dz}$ и $\cfrac{dP_\text{в}}{dz}$

B4  ^1.00 Найдите температурный градиент $\cfrac{dT}{dz}$. Ответ выразите через $\alpha$, $g$, $R$, $\gamma_\text{в}$, $T$, $\mu_\text{в}$, $\mu_\text{п}$ и  $\lambda(T)$.

На приведённом графике приведена зависимость температуры $T$ в атмосфере от высоты $h$ над поверхностью Земли. Разметка координатных осей неизвестна. Излом на графике происходит при температуре $T_1=283~\text{К}$, а начало координат соответствует поверхности Земли (см.рис).

B5  ^1.80 Найдите температуру $T_0$ на поверхности Земли.

B6  ^0.70 Оцените, на какой высоте $h_2$ начинает выпадать снег.