A1  ^1.00 Найдите температуру воздуха $T_\text{в}$ на высоте $h$ над поверхностью Земли. Ответ выразите через $T_0$, $g$, $\mu_\text{в}$, $R$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{в}$.

Рассмотрим перемещение порции воздуха на высоту $h$:
$$P_1dV_1-P_2dV_2=\frac{C_Vdm}{\mu_\text{в}}(T-T_0)+dmgh
$$
откуда:

A2  ^1.00 Найдите зависимость давления водяных паров от температуры $p_\text{п}(T)$.
Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$.

Из условия равновесия пара получим:
$$dP_\text{п}=-\rho_\text{п}gdh
$$
откуда:
$$\frac{dP_\text{п}}{P_\text{п}}=\frac{\mu_\text{п}\gamma_\text{в}}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\frac{dT}{T}
$$
Интегрируя, находим:

A3  ^0.50 Используя график зависимости $p_\text{н.п}(T)$, найдите для $\varphi_0=65\text{%}$ и $T_0=287~\text{К}$ высоту $h$ над поверхностью Земли, на которой пар становится насыщенным.

Решая уравнений графически, находим:
$$T_\text{нас}\approx{6{,6}^\circ C}
$$
Тогда:

B1  ^1.00 Удельная теплота парообразования зависит от температуры $T$ следующим образом:
$$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n)
$$
Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$.
$\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит.

Количество теплоты, требуемое для испарения массы $m$ равняется:
$$Q=U_\text{п}-U_\text{ж}+A
$$
Поскольку плотностью воды можно пренебречь:
$$A=pV=\displaystyle\frac{mRT}{\mu}
$$
Поскольку жидкость слабо сжимаема, количество теплоты, необходимое для её нагревания в любом процессе, с хорошей точностью пропорционально изменению её внутренней энергии:
$$U_\text{ж}(T_2)-U_\text{ж}(T_1)=cm(T_2-T_1)
$$
тогда
$$U_\text{ж}(T)=cmT+mC
$$
где $C$ - некоторая постоянная величина
Тогда:
$$Q=mC+m\left(\displaystyle\frac{\gamma_\text{п}R}{\mu_\text{п}(\gamma_\text{п}-1)}-c\right)T=\lambda(T)m
$$
Определяя $C$ из начальных условий, находим:
$$\lambda(T)=\lambda_n+\left(c-\frac{\gamma_\text{п}R}{(\gamma_\text{п}-1)\mu_\text{п}}\right)(T_n-T)
$$
Получим ответ:

B2  ^0.50 Покажите, что при перемещении выделенной воздушной массы количество теплоты, полученное системой, заключённой в её объёме, можно представить так:
$$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right)
$$

Для подведённого к системе количества теплоты имеем:
$$\delta{Q}=\frac{C_Vm_\text{в}}{\mu_\text{в}}+P_\text{в}dV_\text{в}+\lambda(T)dm_\text{п}
$$
или же
$$\delta{Q}=\frac{C_Pm_\text{в}}{\mu_\text{в}}dT-V_\text{в}dP_\text{в}+\lambda(T)dm_\text{п}
$$
Из условия равновесия воздуха:
$$dP_\text{в}=-\rho_\text{в}gdh
$$
откуда:
$$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda(T)d\alpha\right)
$$

B3  ^0.50 Найдите $\cfrac{d\alpha}{dz}$. Ответ выразите через $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $P_\text{в}$, $P_\text{н.п}$, $\cfrac{dP_\text{н.п}}{dT}$, $\cfrac{dT}{dz}$ и $\cfrac{dP_\text{в}}{dz}$

Для $\alpha$ с учётом уравнения состояния имеем:
$$\alpha=\frac{m_\text{п}}{m_\text{в}}=\frac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\frac{P_\text{п}}{P_\text{в}}
$$
Дифференцируя:
$$\frac{d\alpha}{dz}=\frac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\left(\frac{1}{P_\text{в}}\frac{dP_\text{п}}{dz}-\frac{P_\text{п}}{P^2_\text{в}}\frac{dP_\text{в}}{dz}\right)
$$
Рассмотрим производную давления пара по высоте как производную сложной функции:
$$\frac{dP_\text{п}}{dz}=\frac{dP_\text{п}}{dT}\frac{dT}{dz}
$$
откуда:

B4  ^1.00 Найдите температурный градиент $\cfrac{dT}{dz}$. Ответ выразите через $\alpha$, $g$, $R$, $\gamma_\text{в}$, $T$, $\mu_\text{в}$, $\mu_\text{п}$ и $\lambda(T)$.

Приравнивая $\delta{Q}$ к нулю, находим:
$$\frac{dT}{dz}=-\cfrac{g-\lambda \cfrac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\cfrac{P_\text{п}}{P^2_\text{в}}\cfrac{dP_\text{в}}{dz}}{\cfrac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}+\lambda \cfrac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\cfrac{1}{P_\text{в}}\cfrac{dP_\text{п}}{dT}}
$$
Величину $\frac{dP_\text{п}}{dT}$ найдём из уравнения Клапейрона - Клаузиуса:
$$\frac{dP_\text{п}}{dT}=\frac{\mu_\text{п}\lambda(T)P_\text{п}}{RT^2}
$$
После подстановки которой получим:

B5  ^1.80 Найдите температуру $T_0$ на поверхности Земли.

Рассмотрим точку излома на графике. В этой точке $\alpha=\alpha_1$.
Причиной излома является начало процесса конденсирования, в связи с чем для градиента температур слева от точки излома применима формула из части $A1$, а справа — формула из части $B4$. Тогда значение $\alpha_1$ можно найти из отношения угловых коэффициентов в точке излома:
$$k=-\displaystyle \left( \frac{dT}{dz} \right)_{T\to T_{1}-0 } \displaystyle\frac{\gamma_\text{в}R}{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g}
$$
откуда:
$$\alpha_1=\displaystyle\frac{1-k}{\displaystyle\frac{\lambda(T_1)\mu_\text{п}}{RT_1}\left(k\displaystyle\frac{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g}{\gamma_\text{в} R}\displaystyle\frac{\lambda(T_1)}{gT_1}-\displaystyle\frac{\mu_\text{в}}{\mu_\text{п}}\right)}\approx{1{,}01}\cdot{10^{-2}}
$$
Далее:
$$\alpha_1=\displaystyle\frac{\mu_\text{п}p_\text{н.п}(T_1)}{\mu_\text{в}p_\text{в}}
$$
Из уравнения адиабаты для сухого воздуха имеем:
$$p_\text{в}=p_0\left(\displaystyle\frac{T_1}{T_0}\right)^{\frac{\gamma_\text{в}}{\gamma_\text{в}-1}}
$$
Тогда получим:

B6  ^0.70 Оцените, на какой высоте $h_2$ начинает выпадать снег.

Из углового коэффициента первого участка графика находим высоту $h_1$, соответствующую излому на графике:
$$h_1=\displaystyle\frac{\gamma_\text{в}R(T_0-T_1)}{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g}\approx{2680~\text{м}}
$$
Проведя прямую, соответствующую температуре $T_\text{пл}=273~\text{К}$, находим: