Pho.rs: Влажная адиабатическая атмосфера

A1 ^1.00 Найдите температуру воздуха $T_\text{в}$ на высоте $h$ над поверхностью Земли. Ответ выразите через $T_0$, $g$, $\mu_\text{в}$, $R$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{в}$.

1 M1 Правильно записан закон изменения полной энергии: $$P_1dV_1-P_2dV_2=\frac{C_Vdm}{\mu_\text{в}}(T-T_0)+dmgh $$	0.50
2 M2 Условие механического равновесия $$ dP_{\text{в}} = -\rho_{\text{в}} g dh $$	0.25
3 M2 Уравнение адиабаты $$p_\text{в}=p_0\left(\displaystyle\frac{T_1}{T_0}\right)^{\frac{\gamma_\text{в}}{\gamma_\text{в}-1}} $$	0.25
7 $$T=T_0-\frac{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}gh}{\gamma_\text{в}R} $$	0.50

A2 ^1.00 Найдите зависимость давления водяных паров от температуры $p_\text{п}(T)$.
Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$.

1 Условие механического равновесия для пара: $$dP_\text{п}=-\rho_\text{п}gdh $$	0.30
2 $$P_\text{п}=\varphi_0P_{\text{п}0}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{\mu_\text{п}\gamma_\text{в}}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}} $$	0.70

A3 ^0.50 Используя график зависимости $p_\text{н.п}(T)$, найдите для $\varphi_0=65\text{%}$ и $T_0=287~\text{К}$ высоту $h$ над поверхностью Земли, на которой пар становится насыщенным.

1 Используется идея построения численной зависимости $P_п(T)$ на графике $P_{нас}(T)$	0.10
2 $$T_\text{нас} \in [6{,}2; 7{,}0] \: {}^\circ C $$	0.20
3 $$h=\displaystyle\frac{\gamma_\text{в}R(T_0-T_\text{нас})}{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g}\in [710; 800]\: \text{м} $$	0.20

B1 ^1.00 Удельная теплота парообразования зависит от температуры $T$ следующим образом:
$$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n)
$$
Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$.
$\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит.

1 Правильно учтён вклад зависимости внутренней энергии жидкости от температуры: $$\Delta U_\text{ж}=-cm \Delta T $$	0.20
2 Учтена зависимость внутренней энергии пара от температуры: $$\Delta U_\text{п}=\frac{m c_V}{\mu} \Delta T $$	0.20
3 Учтён вклад работы совершаемой на молекулами при испарении: $$A=p \Delta V=\displaystyle\frac{mR}{\mu} \Delta T $$	0.20
4 $$k = \frac{\gamma_\text{п}R}{(\gamma_\text{п}-1)\mu_\text{п}} -с $$	0.40

B2 ^0.50 Покажите, что при перемещении выделенной воздушной массы количество теплоты, полученное системой, заключённой в её объёме, можно представить так:
$$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right)
$$

1 Обосновано пренебрежение давлением и потенциальной энергией пара в сравнении с воздухом	0.30
2 Требуемая формула доказана. $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda(T)d\alpha\right) $$	0.20

B3 ^0.50 Найдите $\cfrac{d\alpha}{dz}$. Ответ выразите через $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $P_\text{в}$, $P_\text{н.п}$, $\cfrac{dP_\text{н.п}}{dT}$, $\cfrac{dT}{dz}$ и $\cfrac{dP_\text{в}}{dz}$

1 $\alpha$ выражается через уравнение состояния: $$\alpha=\frac{m_\text{п}}{m_\text{в}}=\frac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\frac{P_\text{п}}{P_\text{в}} $$	0.20
2 Итоговый ответ через указанные величины $$\frac{d\alpha}{dz}=\frac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\left(\frac{1}{P_\text{в}}\frac{dP_\text{п}}{dT}\frac{dT}{dz}-\frac{P_\text{п}}{P^2_\text{в}}\frac{dP_\text{в}}{dz}\right) $$	0.30

B4 ^1.00 Найдите температурный градиент $\cfrac{dT}{dz}$. Ответ выразите через $\alpha$, $g$, $R$, $\gamma_\text{в}$, $T$, $\mu_\text{в}$, $\mu_\text{п}$ и $\lambda(T)$.

1 Используются уравнения из $B3$ и $B2$ при условии $$ \delta Q = 0 $$	0.10
2 Условие механического равновесия для воздуха (пренебрежение массой пара): $$ \frac{dP_{\text{в}}}{d z} = -\rho_{\text{в}} g $$	0.20
3 Используется подстановка уравнения Клапейрона-Клаузиуса: $$\frac{dP_\text{п}}{dT}=\frac{\mu_\text{п}\lambda(T)P_\text{п}}{RT^2} $$	0.30
4 Из уравнений исключены производные $\tfrac{d \alpha}{dz}$ и получено верное выражение: $$\frac{dT}{dz}=-\frac{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g}{\gamma_\text{в} R}\frac{\left(1+\cfrac{\lambda(T)\mu_\text{в}\alpha}{RT}\right)}{\left(1+\cfrac{\lambda(T)\mu_\text{п}\alpha}{RT}\cfrac{(\gamma_\text{в}-1)\lambda(T)\mu_\text{в}}{\gamma_\text{в}RT}\right)} $$	0.40

B5 ^1.80 Найдите температуру $T_0$ на поверхности Земли.

1 Используется идея нахождения коэффициента $\alpha_1$ (или $P_{\text{в}}(h_1)$) через отношение касательных в точке излома для своего уравнения в $B4$. Например, для авторского решения $$\alpha_1=\displaystyle\frac{1-k}{\displaystyle\frac{\lambda(T_1)\mu_\text{п}}{RT_1}\left(k\displaystyle\frac{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g}{\gamma_\text{в} R}\displaystyle\frac{\lambda(T_1)}{gT_1}-1\right)} $$	0.30
2 $T_0$ находится с помощью адиабаты для сухого воздуха: $$p_\text{в}=p_0\left(\displaystyle\frac{T_1}{T_0}\right)^{\frac{\gamma_\text{в}}{\gamma_\text{в}-1}} $$	0.20
3 Итоговое выражение для температуры через $\alpha_1$ или аналогичное. Например: $$T_0=T_1\left(\displaystyle\frac{\alpha_1\mu_\text{в}p_0}{\mu_\text{п}p_\text{н.п}(T_1)}\right)^{\frac{\gamma_\text{в}-1}{\gamma_\text{в}}} $$	0.30
4 Ответ лежит в интервале (широкие ворота): $$ T_0 \in [299; 319 ] \: \text{К} $$ $\textit{Примечание.}$ Балл ставится, только если зависимость $T(h)$ описана верно на всей исследуемой области.	0.50
5 Ответ лежит в интервале (узкие ворота): $$ T_0 \in [304; 314] \: \text{К} $$ $\textit{Примечание.}$ Балл ставится, только если зависимость $T(h)$ описана верно на всей исследуемой области.	0.50

B6 ^0.70 Оцените, на какой высоте $h_2$ начинает выпадать снег.

1 Правильный метод нахождения $h_2$	0.20
2 Полученное значение $h_2$ отличается не более чем на 15% от значения, соответствующего найденному $T_0$.	0.20
3 Полученное значение $h_2$ отличается не более чем на 10% от значения, соответствующего найденному $T_0$.	0.30

Влажная адиабатическая атмосфера

Разбалловка