Pho.rs: Трассировка лучей и генерация запутанных фотонов

A1 ^0.40 Получите выражение для фазовой скорости $v_p$ через $\epsilon$ и $\mu_0$.

A2 ^0.20 Напишите, как выражается показатель преломления $n$.

A3 ^0.40 В каком направлении $\hat{S} \equiv \vec{S}/S$ переносится энергия? Какова скорость лучей $v_r$?

B1 ^1.50 Пусть волновой вектор $\vec{k}$ лежит в плоскости $xz$: $\vec{k}=k(\sin \theta,0,\cos \theta)$. При заданном $\theta$ плоская монохроматическая волна может распространяться только при определенных направлениях $\vec{D}$ и $\vec{B}$.

Найдите эти возможные направления.

Выразите также все соответствующие показатели преломления через $\theta$, $n_o$ и $n_e$.

При каком угле $\theta$ возможно лишь одно значение показателя преломления?

B2 ^0.80 Поляризация световой волны (направление колебаний $\vec{E}$) может быть перпендикулярна плоскости $xz$ (обыкновенная волна, обыкновенный луч) или лежать в этой плоскости (обыкновенная волна/луч).

Для каждой из волн, найденных вами в B1, запишите единичный вектор в направлении поляризации.

Укажите, какая из них обыкновенная, а какая – необыкновенная.

Вычислите $\operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ – угол между $\vec{E}$ и $\vec{D}$ ($\alpha$ положительный, если вектора $\vec{E}$ и $\vec{D}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\vec{E}$ к $\vec{D}$ происходит по часовой стрелке).

B3 ^0.60 Используйте результаты пунктов B1 и B2 в случае, когда $\vec{k}$ по-прежнему составляет угол $\theta$ с положительным направлением оси $z$, но не лежит в плоскости $xz$.

Укажите возможные значения показателя преломления и соответствующие поляризации.

B4 ^0.80 Пусть $\vec{k} = k(\sin \theta,0,\cos \theta)$, как в пунктах B1–B3. Угол между $\hat{k} \equiv \vec{k}/k$ и направлением луча, $\hat{S}$, обозначим $\alpha_r$ ($\alpha_r$ положительный, если вектора $\hat{S}$ и $\hat{k}$ лежат в плоскости $xz$ и поворот от $\hat{S}$ к $\hat{k}$ происходит по часовой стрелке).

Найдите возможные значения $\operatorname{tg}\alpha_r$, скорости лучей $v_r$ и вектора Пойнтинга $\hat{S}$. Используя эти результаты, выразите величину $n_s = c/v_r$ через $\hat{S}$, $\hat{x}$, $\hat{z}$, $n_o$, $n_e$.

B5 ^1.10 Получите выражения для $\bar{A}$, $\bar{B}$, $\bar{C}$ через $P_1$, $P_2$, $P_3$ и $n \sin \theta_1$, где $P_1=n^2_o \cos^2 \phi+n^2_e \sin^2 \phi$, $P_2=n^2_o \sin^2 \phi+n^2_e \cos^2 \phi$, $P_3=(n^2_o - n^2_e) \sin \phi \cos \phi$. С помощью уравнения (1) найдите $\tan \theta_2$ для двух случаев ориентации: $\phi =0$ и $\phi = \pi/2$.

C1 ^0.80 Найдите все возможные отношения (известные как условия фазового синхронизма) между этими угловыми частотами и волновыми векторами.

Если рассматривать свет состоящим из фотонов, какие законы сохранения подразумевают эти условия для трех указанных фотонов?

Запишите уравнения, выражающие эти законы сохранения для случая, когда фотон с угловой частотой $\omega$ и волновым вектором $\vec{k}$ расщепляется на два фотона с угловыми частотами $\omega_1$и $\omega_2$, распространяясь с волновыми векторами $\vec{k}_1$и $\vec{k}_2$, соответственно.

C2 ^0.80 Рассмотрим световую волну в одноосной среде. Обозначим обыкновенный луч как ${\bf o}$ и необыкновенный луч как ${\bf e}$. Есть 8 возможных путей расщепления световой волны: ${\bf o → o + o}$, ${\bf o → e + o}$, ${\bf o → o + e}$, ${\bf o → e + e}$, ${\bf e → o + o}$, ${\bf e → e + o}$, ${\bf e → o + e}$, и ${\bf e → e + e}$. Предположим, что коэффициенты преломления $n_o$ и $n_e$ оба являются возрастающей функцией от $\omega$. Используя те же обозначения как и в вопросе C1 и считая что $\vec{k}$, $\vec{k}_1$, и $\vec{k}_2$ коллинеарны, укажите какие из 8 путей расщепления не могут быть возможны.

C3 ^1.30 Пусть $M >0$. Выразите $M$, $N$, и $L$ через $\Omega$, $\Omega_e$, $\Omega_o$, $K_e$, $K_o$ и $N_e (\omega,\theta)=\dfrac{1}{n_e(\omega,\theta)}\dfrac{\mathrm dn_e(\omega,\theta)}{\mathrm d \theta}$ и групповые скорости $u_o=\dfrac{\mathrm dw_2}{\mathrm d k_2}$ и $u_e =\dfrac{\mathrm d \omega_1}{\mathrm d k_1}$ для ${\bf o}$ и ${\bf e}$ лучей. Оцените угол между осью конуса и осью $z'$, и также оцените угол между осью и образующей конуса через $L$, $M$, $N$ and $K_o$.

C4 ^0.80 Рассмотрим полное электрическое поле, создаваемое линейными поляризаторами. Найдите вероятности $P(\alpha,\beta)$, $P(\alpha,\beta_{\perp})$, $P(\alpha_{\perp},\beta)$, и $P(\alpha_{\perp},\beta_{\perp})$.

C5 ^0.50 Обозначим $\sigma_a=1$ когда поляризатор 1 с углом $\alpha$ находит $a$-фотон и $\sigma_a=-1$ когда поляризатор 1 с углом $\alpha_{\perp}$ находит $a$-фотон. Аналогично, $\sigma_{\beta}=1$ или $-1$ обозначают случаи когда поляризатор 2 с углами $\beta$ или $\beta_{\perp}$ находят $b$-фотон.

Если $E(\alpha,\beta)$ обозначает среднее от $\sigma_a \sigma_b$, то величина $S=|E(\alpha,\beta)-E(\alpha,\beta')|+|E(\alpha',\beta)-E(\alpha',\beta')|$ имеет чрезвычайно важное значение. Для классической теории света $S \leq 2$. Это одна из формулировок неравенства Белла (CHSH-неравенства, полученного Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом).

Получите выражение для $S$ и вычислите $S$ для случая $\alpha=\frac{\pi}{4}$,$\alpha'=0$ , $\beta=-\frac{\pi}{8}$, $\beta'=\frac{\pi}{8}$.

Укажите, согласуется ли результат для $S$ с классической теорией.

Трассировка лучей и генерация запутанных фотонов

Решение